Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 93
Скачиваний: 0
с постоянными коэффициентами |
|
|
|
|||
— |
= |
аи т]і (0 + |
а12ч\2(0 + |
• • • |
+ |
Оіпіія (0. |
(О |
= |
а2і1Ъ (0 + |
а22г)2 (() + |
• • • |
+ |
а.опУ\п (t), |
Л |
|
|
|
|
|
(4.19) |
|
|
|
|
|
|
|
dr\n (t) |
|
ОяіЛі (0 + |
a“2% (t) + |
|
+ |
ßnnT|n (0. |
dt |
|
|
||||
где коэффициенты |
|
сіц (г = 1, |
п; / = 1, |
/г) |
неизвестны и требуют |
|
определения. Эти коэффициенты, вообще говоря, являются перемен ными, зависящими от времени, а система уравнений (4.19) — систе мой линейных однородных обыкновенных дифференциальных урав нений с переменными коэффициентами.
С целью облегчения исследования рассмотрим случай, когда все эти коэффициенты постоянные, т. е.
ац (і = 1, п; / = 1, п) = const.
Здесь задача определения неизвестных коэффициентов сводится к следующему. Пусть над исследуемой системой произведено т не зависимых испытаний за определенный промежуток времени и в результате опыта определены соответственно т дискретных реализа
Ѣ і Ѵі), Ц2І ( h ) , |
Т і з / O ' , ) , . . . , Г }nj ( t ) |
ций случайных функций |
|
(i ----- T7N-, |
j = 1, m). |
Воспользовавшись дискретными значениями случайных функ ций, можно определить неизвестные коэффициенты системы (4.19).
Для этого введем в рассмотрение интеграл квадрата |
отклонений |
|||
(^н» ^і2> • • • I ßiп>0 = j" {тщ(0 1 |
|
|||
|
|
N |
|
|
|
|
о |
|
|
— [ач тг\і{І) |
■“ Ч" аиіШцп (О]}2 dt, |
|
||
S2(Q2i, ü2г, . . . , 0-2п>0 = |
j {тПт), if) |
|
||
|
|
N |
|
|
— K i |
••• + а2птЦ (t)]}2dt, |
^4'20^ |
||
Sn(anь a(l2, . . . . |
a™, t) = |
[ |
{т„я (0 — |
|
|
|
О |
|
|
— [ а щ т Ці (t) + |
----------- 1- а „ „ |
т л |
( ^ ) ] } 2 d t , |
|
7 4-828 |
97 |
где |
(0 >•••» m-r\n (0 — математические ожидания соответ |
ствующих случайных функций.
Неизвестные коэффициенты ац (і = 1, я; /' = 1, я) подберем так, чтобы функционалы (4.20) обратились в минимум.
Раскрывая условия минимизации, получим систему я линейных неоднородных алгебраических уравнений я-го порядка относитель но неизвестных коэффициентов ац, матричная форма которых сле дующая:
где |
|
|
Baiö)= d iö) |
(б = |
!7я), |
|
|
(4.21) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*11 |
*12 |
• |
* ^1л |
|
йбі |
|
|
dßi “ |
*21 |
^22 |
* |
• *2л |
|
«62 |
|
|
dö2 |
В = |
|
|
; |
a w = |
• |
; |
di6) = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
&mt ■ |
_ &bn _ |
.
1чзюс: (4.22)
bt’ = |
- Ио« л , № |
ч ( м л ; |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
___ |
___ |
dM ~ |
1 С dran.0 v) |
(6 = |
||||
“дг j |
Jt— |
rn4 (ty)dt |
1 , я; / = |
1 ,я). |
||
|
о |
|
|
|
|
|
Далее, решая последовательно системы |
уравнений |
(4.21), на |
||||
ходим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а(6) = ß - 1d(fi). |
|
(4.23) |
|
Следовательно, определение всех неизвестных коэффициентов системы (4.19) сводится к вычислению элементов обратной матрицы В и произведению матрицы на соответствующий вектор. Эти действия легко программируются на современных ЭЦВМ. Внося получен ные значения неизвестных коэффициентов из (4.22) в исходную си стему уравнения (4.19), получим систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэф фициентами
Лі (0 = |
вцЛі (0 + |
ЯиЛя (0 + • •■ |
+ |
а \ п Ч п (0. |
|
|
т]2 (t) = |
а21г|! (t) 4 - |
а2 2 г| 2 (/) + • • • |
+ |
ЯглЛл (0 |
> |
(4.24) |
|
|
|
|
|
|
|
Лл (0 = |
«ліЛі (0 + |
ал2г|2 (t) + • • • |
+ |
annr\n (t) |
|
|
с начальными условиями |
|
|
|
|
|
|
|
Л/ (0 М = |
Л/. Л/ (0 |*=о = |
0. |
|
(4.25) |
|
98
Итак, исследование сложных систем или процессов свелось к исследованию систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (4.24).
Исследуем систему (4.24), частные решения которой представим
в виде |
|
|
|
тіі (0 = |
тіа (0 = |
. . . , г\п (0 = а„ем. |
(4.26) |
Подставляя (4.26) в систему (4.24), получим |
|
||
Хагеи — апа.хеи — а12а2еи — • • - — аХпапеи = О, |
|
||
Ха2еи — а21а2еи — а22 |
— • • • — а2папеи — О, |
|
|
Хапеи — а,лахеи — ап2а2еКІ — . . . — аппапеи = 0.
Сократим эти уравнения на е\*и преобразуем их:
(аи — X) ф- а12а2ф- |
• • • |
ф- аіпап = 0, ■ |
||
fl2ia i + |
(а22 |
а2+ |
*' ' |
~Г 0.2пап — О, |
ап\а1+ |
ап2&2+ |
*• • + |
(flnn — Â.) ап — 0 . ■ |
|
Нас будут интересовать только ненулевые решения системы (4.27), которые сводятся к условиям
а11 |
^ |
а12 |
а13 . • |
а\п |
ß |
21 |
^ 2 2 |
^ ^23 • • |
&2п |
(4.28)
&п\ |
0п2 ал3 • ■. &пп ^ |
Такая система называется вековым или характеристическим уравнением для системы (4.24). Далее, раскрывая (4.28), получим уравнение
Хп ф- ргХп 1 ф- р2Хп 2ф- • • • ф- рп—іХ ф- рп = 0, |
(4.29) |
которое имеет п корней Хъ Х2, ..., Хп. Здесь возможны следующие варианты:
1) |
все Xj (J = 1, |
п) — действительные и различные; |
||
2 ) среди Xj (/ = |
1 , п) есть k кратных корней; |
|||
3) |
среди Xj (J = |
1 , п) есть комплексно-сопряженные корни |
||
|
К — аі + |
Фо |
= a;-!-i — Ф/+1» |
|
|
К |
— а /г + |
Ф*> |
^fe+l = a fe+i — Ф н - 1 - |
Пусть Xj найдены и все они действительные и различные, т. е. Хх Ф Х2 ф Х3 ф ... Ф Хп, тогда все частные решения принимают
7* |
99 |
вид |
|
|
|
|
|
|
Т]ц = |
а ие Ч |
Ли = |
“ и « Ч . . . . |
Лія = |
аі„еѵ , |
|
т)21 = |
а 81е*-‘‘, |
т)22 = |
а 22^«‘, . . . . |
Л2л = |
a2neXti, |
(4.30) |
Ляі = |
ап1ехп, |
т)П2 = |
охп2е'пі, • • • 1 |
Лпл = |
Яллб п , |
|
где неизвестные |
коэффициенты |
|
|
|
||
а П? °^І2 > • • ■> °Лл,
®-2 1 > ®^2 2 і • • • » ®2л»
OCnl» OS/(2, . . . j CXnn
определяются решением следующих систем однородных алгебраи ческих уравнений:
|
(<2 1Г — К,) а/і + |
ü12(Xj2+ |
•••-)- din.OC.jn ~ |
О, |
|
|||||||
|
a21ajl “Ь id22 — ^/) OCj2 |
+ • • • - ) - |
d 2 nOC.jn = |
о, |
(4.31) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ссІп = |
|
||
|
а „ і а , - і |
+ а „ 2сс/2 |
+ |
• • • |
+ |
( й л л |
— |
Я / ) |
О , |
|
||
|
|
/==1, 2,3, |
. . . , л. |
|
|
|
|
|
||||
Все приведенные выше системы однородных алгебраических |
||||||||||||
уравнений решаются в соответствующих предположениях |
|
|||||||||||
|
|
“ / / |
= 1 |
|
( j= l,n ), |
|
|
|
|
|||
которые в матричной форме можно представить в виде |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(4.32) |
|
(ап — М |
|
|
|
|
|
|
|
|
~сс2Г |
|
|
|
аі 2 |
|
|
din |
|
|
|
|
а3і |
|
||
|
dn |
(^-22 |
|
|
|
^2п |
|
|
|
|
|
|
А = |
*21 |
|
|
|
|
|
, |
а, = |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
&п\ |
dfi2 |
|
(ß/m |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
йц — \ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а2Х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решая |
(4.32), |
получаем |
_ |
^nl _ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ас= |
^4Г1Рі- |
|
|
|
|
|
|
||
Далее, |
внося |
найденные |
значения |
а ц ( і |
= |
1, п\ j = |
1, л) в |
|||||
систему |
(4.30), |
находим |
частные |
решения |
исходной |
системы |
||||||
100
дифференциальных уравнений и на их основе — общие решения исходной системы
тіі(0 = CjCXueV -f С2а21е%--1+ |
•• • |
+ Спа„іЛ', |
Л2(0 — C j a ^ + С2а 22«А>'+ |
••• |
+ С пап2ех^, |
Лл(0 = Схаіпех‘‘ + С2а 2 пех,і + |
• • • |
+ С„а ппе^', |
где произвольные постоянные интегрирования С, определяются изначальных условий (4.25).
3.Синтез параметров динамической модели
Как было показано выше, взаимоотношение двух случайных фак торов 1 (t) и г| (t), обуславливающих состояние биосистемы, описы валось дифференциальным уравнением я-го порядка с постоянными коэффициентами вида
<2 /0 |
dntj{t) |
ß/i |
dn~% (t) |
+ a j n - i |
+ a/„x/ (0 = Л/ ( 0 , |
|
dtn |
|
dtn~l |
|
|
которое после замены переменных можно переписать так:
|
|
dw |
, (t) |
|
|
|
|
|
|
|
• + а / л — 1 ® ! ( 0 |
< 2 / 0 |
--------- ^ |
------------Ь ß / l & ' n - l |
( 0 + |
< 2 / 2 ® л — 2 |
( 0 |
+ |
• ' |
||||
+ |
fl/Д (/) = Г)/ (/), |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
d%(/) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
= о>, (0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
= ^ 2 |
(0 . |
|
|
|
|
|
|
(4.33) |
или |
в |
матричной |
форме |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
MY + |
NY -\- F — 0, |
(4.34) |
||||
|
|
|
|
|
~аі0 0 0 .. . 0 0 (Г |
||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 . |
. |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 , |
. |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
м = |
0 |
0 |
0 . |
. |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 . |
. |
0 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 . |
. |
0 |
0 |
0 |
101