Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 21.10.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Далее, подставив X = NX в исходное уравнение АХ = XX, получим

ANX = XX.

Матрица N имеет первый и п-й столбцы, равные нулю. Следова­ тельно, в произведении AN = А2 эти столбцы равны нулю. Можно показать, что матрица А2 имеет те же собственные значения, что и матрица А, за исключением первых двух комплексно-сопряженных значений.

Для нахождения первых собственных значений матрицы А 2, т. е. второй пары сопряженных собственных значений ее, следует применить уже описанный итерационный процесс.

Изложенный выше метод позволяет находить все комплексные собственные значения и принадлежащие им собственные векторы данной матрицы. Допущенные в этом методе погрешности при опре­ делении предыдущих значений распространяются и на следующие значения. Таким образом, происходит накопление погрешности. Особенно погрешность увеличивается при высоком порядке матри­ цыЛ.

Методы вычисления любого собственного числа действительной матрицы. Из изложенных методов вычисления собственных значений и принадлежащих им собственных векторов легко заметить, чтовычислительная процедура, весьма удобно реализуемая на совре­ менных ЭЦВМ, имеет и существенный недостаток, заключающийся в накоплении погрешности.

Кроме указанных, в вычислительной математике существует ряд других численных методов вычисления собственных значений; в частности методы, основанные на предварительном раскрытии характеристического уравнения и получении полинома от X, т. е.

Если

I

 

— I =

 

-)-

+ ••• +

 

— ,

( . )'

 

 

А

EX

 

Хп

 

РіХп~^1

Рп-\Х + Рп

0

4 82

а затем на решении этого полинома.

 

 

известны

собственные значения,

то определение принад­

лежащих им собственных векторов не представляет особого труда. Итак, в данном случае определение собственных значений тре­ бует вычисления коэффициентов полинома (4.82), затем с помощьючисленных методов — определения их корней (4.82), и, наконец, по найденным собственным значениям — построения всех принад­

лежащих им собственных векторов.

Для вычисления коэффициентов полинома (4.82) можно реко­ мендовать видоизмененный метод [17], заключающийся в следующем.

Пусть задано характеристическое уравнение

 

IЛ — £Я| =

0,

(4.83)

где

а12..

а\п

 

ап

 

А = а21

^22 **

@2п

 

 

 

_ ап\ ап2 •• •&пп _

111

Чтобы вычислить коэффициент полинома (4.82), достаточно привести матрицу А к нормальной форме Фробениуса

 

0 .

.

 

А П -І)

“i

" 0

0

& \n

 

1

0 .

.

0

J n - 1)

 

#2n

 

D = 0

1 .

.

0

„(П-1)

(4.84)

O3 n

_ 0

0 .

.

1

U-nn

_

Для этого введем в рассмотрение матрицу

01 _

1

- 1 = 0

о

о

- . .

 

0 • . .

1 .

•о . . .

0 аіп~|

0

О2п I

' 0

t ■

(4.85)

0

a3J

Е

т

 

 

 

1

апп}

 

 

 

1 &2nl&\n &ЪпІ&\п

СГ1 =

1 0

0 1

. . . 0 '

.. 0

-- Q-nn/ß-ln 0

0

. . .

1

_ Е _

 

t

 

_

1 /ain

 

 

 

..

0 __

 

 

0

0

 

 

Далее образуем

произведение

 

 

 

 

 

 

 

аи

а12 **• &\п

 

 

СГ1А =

а21

а22

•*•

# 2 п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ &nl

Оп2

•.

Qtm_

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

Uik —

 

0\k

 

п

 

k

о

I)»

 

 

 

 

u \n

 

 

 

 

 

 

= ~

 

(k = l,n ) .

(4.86)

 

 

 

“in

 

 

 

 

Умножая матрицу СГ'Л справа на матрицу Съ получим

 

 

 

Г Д 1)

 

 

1

 

 

 

 

a g /

 

___

 

 

 

 

 

On

 

 

С Г ' А С ,

 

 

Д 1)

 

 

0-2/1

 

=

 

Й21

а й /

• • •

 

 

 

 

 

/70)

а й

* * *

Uа nnJ(І)

 

 

 

 

_J^n\

 

а\к =

 

 

й/п =

з

aikakn.

(4.87)

а 'ік + и

2

 

 

 

 

 

 

fe=I

 

 

112

Приняв матрицу Сі 'ЛС за исходную, повторим процесс и полу­ чим

 

 

Г „ < 2 )

„ ( 2 )

 

о (2 П

 

 

 

 

 

 

0 ц

О-12

------

 

 

 

 

 

 

& \п

 

 

 

 

 

с г 'с г 'л е д

„ ( 2 )

„ ( 2 )

• .

„ ( 2 )

 

 

 

 

 

о .21

Ö 22

^ 2 л

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

„ ( 2 )

„(2 )

 

(2)

 

 

 

 

 

 

[ _ а п \

0 Л2 • • • ^ л л _

 

 

 

 

где alf вычисляется по формулам, подобным (4.87).

 

 

 

Итак,

продолжая процесс п — 1

раз,

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" 0

0 . . .

0

(л—1)“

 

 

 

 

 

&іп

 

 

 

 

 

 

1

0 . . .

0

„(Л-1)

 

 

 

 

 

02л

 

D =

. . . с т ' А с . а . • С п ^ С п —1 =

0

1 . . .

0

„(Л-1)

^3 л

 

 

 

 

 

 

_0

0 . . .

1

а (п_1)

 

 

 

 

 

 

 

 

ь*лл

_

После приведения исходной матрицы А к форме Фробениуса характеристический многочлен уравнения (4.83) можно вычислить так:

— я

0

0 . . .

1

— X

0 ...

0

1

— X . ..

0

0

0 . ..

т. е.

 

„(л-1)

-

 

0

аіп

 

 

 

„(Л-1)

 

П— 1

0

0 2 л

—

0

„(Л—!)

-:=о

 

азл

 

1

<2 лл

 

 

(4.88)

Pi = ( - 1 Г ЬЧ

Г П,

Pi= ( -

1)"+Іг т , 1 . . . , рп= (

- і г + ' а і г 1'.

%п +

ргХп

1 + р27Р

2 + • • • -f- рп-\Х + Pn =

Oj

(4.89)

 

 

 

 

 

(4.90)

Остается определить корни полученного многочлена (4.89).

Для решения этого полинома можно воспользоваться методами выделения квадратных множителей. Полученный полином предста­ вим в виде квадратных множителей

Хп Р і ^ ‘ ' + Р2Хп 2 Ат

+ р л -і^ + Рл = 0.

С4 9П

(Р + д\1]Х + qV) (X2+ q f ]X + qf )

. . . {X* + q\k)X + q{2k))=

0.

Приравнивая каждый множитель нулю, получим

 

X2 A- q?]X +

= 0,

 

я2 + рГ ^ + ^ 2) = о,

 

X2+

q[k) X +

<?2(fc)=0.

 

8 4-828

и з

Решая последовательно эти уравнения, находим все возможные корни типа

Ѵ ж = - 4 " ± ] / " ( 4 " ) - $ (£‘ = (4.93)

Итак, вычисление корней полинома (4.90) сводится к определе­

нию коэффициентов ql‘\ qi!) (i = 1, k) полинома (4.91). При этом наиболее целесообразным нам кажется метод Хичкока, заключаю­ щийся в следующем.

Пусть задан многочлен п-го порядка

 

 

 

 

 

F (к) = к -(- рхкп 1

р2к 1 2

• • • -ф- Рп—

+ Рп

(4.94)

и требуется его представить в виде

 

 

 

 

 

 

F (к) = (к2—f—^7і *A.—}—92*') (к2 -f- q\ ^к -f- q2 ’) +

■• •

+ fa2 +

 

 

 

+

qlk)h + q(k))-

 

 

 

 

Для этого произведем деление (4.94) на трехчлен

 

 

 

 

S-2М =

+

^!1’^ +

 

qi

 

 

 

где g!1’, qil) — неопределенные числа.

 

 

 

 

 

В результате деления можно получить

 

 

 

 

F (к) =

(к2+ q^k +

q$})L (к) + кР fa!” , q?>) + Qfa!”, $>),

где P fa!” ,

^ ”) и Q fa!”,

^” 1) многочлены от </!”

и q ^ ■

(4.95)

 

Для того чтобы при некоторых значениях д!” и

<7 ” ’

трехчлен

(4.95) был

делителем

(4.94),

необходимо

и достаточно обращение

в нуль многочленов Р

fa!” , д” ') и Q fa!”,

qil)). Таким образом, для

определения gl” и qil)

нужно найти решение системы

 

 

 

^fa!” , i $ ’) = 0,

Qfa!” , ^ ”) =

0.

 

(4.96)

Хичкок разработал метод решения этой системы, который по существу является методом Ньютона с той лишь разницей, что по

методу Хичкока не используется явный вид многочленов Р fa!” , ^” ’)

и Q fa!1', р2(1)), а их значения и значения производной находятся пу­ тем двукратного деления многочлена (4.90) на приближенное вы­ ражение

 

 

 

§2 0$ = ^2 + д!”^ +

<?2

 

 

 

А именно, разделив многочлен L (к),

входящий в

(4.95),

снова

на g2 (к), получим

 

 

 

 

 

 

L (к) = (к2+

ql" к +

4 l)) Lx (к) + kR fa!” , $ ')

+ 5 faf”, <?!” ).

(4-97)

Подставляя

(4.97)

в (4.95), имеем

 

 

 

 

F (к) = (Г +

<7іШ Л + è " ? fa (к) +

(к2+

<?!” к +

$ ') X

 

X [ЛД fa!”, $ )

+

5 fa!1’, ?£’)] + кР fa!1’, qp) + Q fa!” , «$’). (4.98)

114

Смотрите также файлы