Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
üj\ |
Üj2 |
. . . |
a jn — 1 |
Я / /1 |
0 |
0 |
. . . |
1 |
0 |
|
|
|
|
(4.35) |
0 |
1 |
. . . |
0 |
0 |
~Wn- 1 (*)” |
|
|
^n-i ( 0 |
|
( 0 |
|
|
|
^rt- 2 (t) |
|
|
|
|
• |
К - |
; |
|
У = |
• |
|
|
|
|
• |
Щ ( 0 |
|
|
|
|
. X( 0 |
_ |
|
|
. 4 0 . |
|
|
“ ч/(0 ~ |
|
|
|
|
о |
|
|
F =
0
Далее, обратив матрицу М и умножив уравнение (4.34) слева на
ЛГ“1, получим |
|
|
|
К = M~lNY + |
M~lF, |
(4.36) |
|
или |
|
|
|
К + DK + |
D2 |
= 0, |
(4.37) |
где введены также обозначения |
|
|
|
D = M -'N, |
F2= M~'F. |
|
|
Таким образом, получим систему неоднородных дифференциаль ных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.
Далее, исследуя сложную многомерную динамическую систе
му, характеризуемую системой случайных |
функций |
%(/), ті2 (/), |
|||||||
гіз (t), ..., |
т)л (/), |
получим |
систему однородных |
дифференциальных |
|||||
уравнений |
с постоянными |
коэффициентами |
в |
виде |
|
||||
|
|
= |
Gn% ( 0 |
+ |
anr\2 (t) -f ••• |
+ |
аі„т]л (0 |
, |
|
|
dr]2( 0 |
= |
fl2i% ( 0 |
+ |
a22r\2 (t) |
+ |
+ аъ,г\п(t), |
||
|
dt |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.38) |
|
'dr]dt(t) |
= |
fl"»4i (*) + |
( 0 |
+ |
+ |
tW bi(0 |
> |
|
или в матричной форме |
|
|
0, |
|
|
(4.39) |
|||
|
|
|
|
Y + A Y = |
|
|
|||
102
где
^ 1 1 |
^ 1 2 |
|
% ( 0 |
|
^ 2 1 |
^ 2 2 |
^2п |
■42 |
( 0 |
А = |
|
|
Y = |
• |
|
|
|
|
|
_ й/zl |
&п2 |
&пп _ |
|
0 |
|
|
|
-Ді ( _ |
|
Итак, исследование сложной многомерной динамической систе мы, являющейся моделью некоторой биосистемы, свелось к иссле дованию систем неоднородных дифференциальных уравнений с по стоянными коэффициентами.
Для решения такой системы необходимо сначала найти решение однородной системы, затем частное решение неоднородной. Сумми руя эти решения, получим общее решение неоднородной системы.
Найдем решения однородной системы. Для этого рассмотрим
уравнение |
Y + DY = |
0. |
(4.40) |
|
|
||||
Частное решение этой системы представим в виде |
||||
|
Y = |
Gext, |
|
(4.41) |
|
[ G u |
G 12 |
Gm |
|
G = |
С 21 |
G 22 |
G2n |
|
|
|
|
|
|
|
_ G„i |
Gnu |
Gnn_ |
|
Подставляя уравнение (4.41) |
в (4.40), |
получим |
||
(D + E\)G = 0.
Чтобы эта система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
|
|
|D + |
£Ä| = 0. |
(4.42) |
|
Уравнение (4.42) является характеристическим уравнением. Вы |
|||||
числив собственные числа |
(і = 1 , п) |
и принадлежащие им соб |
|||
ственные векторы G, (і = |
1 , п), |
получим общее решение систем од |
|||
нородных дифференциальных уравнений (4.40) в виде |
|||||
где |
|
Y = GAa, |
(4.43) |
||
|
|
|
|
||
|
0 . . . |
0 - |
a i |
||
|
<z2 |
||||
0 |
e x,t . . . |
о |
|||
|
|||||
Л = |
|
|
I |
a = |
|
_ 0 |
0 . . . |
e ' * t _ |
- V |
||
|
|
|
|
||
Произвольный постоянный вектор а определяется из граничных условий.
103
Воспользовавшись начальными условиями, получим систему не однородных алгебраических уравнений относительно неизвестного вектора а в виде
где
' |
Ьп |
^ 1 2 |
&1п |
В = |
Ь21 |
Ь22 |
b in |
|
|
|
|
_ |
b n 1 |
Ьп2 |
b n n _ |
Да = т], |
(4.44) |
«1 |
"л10)" |
сс2 |
|
а = • ; |
л = . |
_«я_ _лГ
г] — вектор начальных условий.
Из системы (4.44), обратив матрицу В и умножив на т), находим
а = Д ~ Ч |
(4.45) |
Далее, подставляя (4.45) в (4.43), получим общее решение одно родной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с по
стоянными коэффициентами |
|
Y = GB~Xг\еи - |
(4.46) |
Итак, частные решения системы (4.37) строятся методом вариа ции произвольных параметров Лагранжа. Чтобы получить эти решения, надо вычислить коэффициенты системы (4.37), найти соб ственные числа и собственные векторы с требуемой степенью точ ности и, наконец, решить систему уравнений (4.44).
Из изложенного легко заметить, что исследование сложных многомерных динамических систем требует разрешения ряда слож
ных вычислительных |
проблем. |
|
|
|
|
|
|||
Изложим разработанные алгоритмы, позволяющие решить пе |
|||||||||
речисленные выше задачи с помощью современных ЭЦВМ. |
|
||||||||
Вычисление собственных |
чисел и |
собственных |
векторов матриц |
||||||
методом |
итерации. Пусть |
|
> |
Я2 > |
... > А„. Тогда алгоритм со |
||||
стоит в следующем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вначале предположим, что все корни характеристического урав |
|||||||||
нения |
|
|
|Д> + |
ЯД| = |
0 |
|
|
(4.47) |
|
|
|
|
|
|
|||||
действительные и различные, т. е. |
> Я 2 > Я3 > |
... > Хп. |
Если |
||||||
А-i < К < А-з < ... < |
Кп, |
то, |
производя замену |
^ = Д- = |
... = |
||||
Т |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= Яп = |
г—, можно привести их к виду |
__ |
|
|
|||||
|
АЛ |
__ |
__ |
|
|
|
|
||
|
|
к > к > |
••• |
Ж |
|
|
|
||
Для определения первых собственных чисел и собственных век торов данной матрицы D зададимся начальным вектором
у(°) = у(0 ) |y(0)f „ ( О )
У2 .
104
иобразуем последовательные итерированные векторы У(1) = У(1) (уі1’, у%\ . . . , уУ),
у(2) = у (2) {у?\ Уі( \ . . . . А
(4.48)
у(*> = {у}», уР, ..
где
у(*) __ £)y(ft—1)
Рассмотрим отношение компонент двух соседних итерированных, векторов
y(ft+P |
|
|
+ сД£+1 + |
• • • |
+ с Д * +1 |
|
у |
( f t ) |
|
сіЛ?+ с2 ^ 2 Н- ■■■+ сл^п |
|||
|
|
|
||||
= |
*i |
1 + Ьмк+' + бз^+' + |
■• • |
+ ft„a*+I |
||
1+ |
b2a\ + b3aз + • ■• + |
|
||||
|
|
|
||||
где b[ = — ; а г = h (г = |
|
1 , /г), откуда |
легко заметить, что если |
|||
k — достаточно |
велико (£ |
оо), то |
|
|
||
|
|
|
|
y(fc+l) |
|
(4.49) |
|
|
|
|
|
|
|
~у (ft)
Для определения следующих собственных чисел и собственных
векторов составим матричное произведение Y • |
X, где X — строка, |
|||||
составленная из |
компонент вектора |
|
|
|||
|
у(*Г _= |
Ы 4 ', уікУ, |
• . . . |
|
||
Это произведение |
будет |
квадратной |
матрицей |
|||
|
|
--(ft)-(ft)' |
-(ft)—(ft)' |
-<k)-(ky- |
||
|
|
У1 Уі |
|
У1 У2 |
• ■У1 |
У« |
|
|
T/ftO*)' |
~(ft)-(ft)' |
1 |
Я; |
|
|
|
“’S Öa |
||||
7 |
-X = |
У2 У1 |
|
У2 Уч |
||
|
|
|
■ |
(4.50) |
||
|
|
|
|
|
.’ |
|
|
|
“(*)—(*)' |
|
.. W |
_ |
|
где |
|
-J/я г/i |
|
|
||
|
y(ft) |
_ |
|
|
|
|
|
уГ = |
|
= |y(ft)'H ’ |
|||
|
1 у (ft) II |
’ |
|
|||
F |
№)I = |
l / 2 |
( * № |
|
|
|
Уі= і
щв'і - ] / і шп т
Образуем матрицу
D1 = D — KlYmY№r,. |
(4.51) |
105