Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

уровне действия энергии), а некоторым его аналогом. Чтобы по­ лучить такой аналог, интегрируем уравнение (7.12), считая, что ам­ плитуда внешнего раздражения является постоянной:

Выражение (7.19) для любого внешнего раздражения харак­ теризует определенный в смысле (7.18) аналог действия энергии. Порогом по аналогу действия для нервной ткани считаем Фп. Кро­ ме того, положим, что нервная ткань, изменяя потенциал, оказы­ вает сопротивление внешнему раздражению на уровне аналога дей­ ствия энергии типа (7.14). В результате придем к следующему

о0

где и — текущее значение потенциала нервной ткани; W — теку­ щее значение аналога баланса интегралов энергии неконсерватив­ ной системы нервная ткань — внешнее раздражение.

Если внешнее раздражение мало, то нервная ткань может его скомпенсировать третьим членом уравнения (7.14). При этом по­ тенциал нервной ткани должен измениться так, чтобы выделяю­ щаяся энергия компенсировала энергию внешнего раздражения. Устанавливается новое устойчивое энергетическое состояние, внеш­ не проявляющееся в появлении деполяризации или электротона. Если внешнее раздражение достаточно длительно или велико, то внутренняя энергия может не успеть скомпенсировать энергию внешнего раздражения. И тогда появляются условия, требующие от нервной ткани экстренного выброса порции энергии, т. е. условия, приводящие к генерации потенциала действия. Начало неустойчиво­ го энергетического равновесия в системе нервная ткань — внешнее раздражение определяется переходом уравнения энергетического баланса через нуль. Выделение порции энергии в виде потенциала действия возвращает нервную ткань в устойчивое состояние. Од­ нако, если внешнее раздражение продолжает действовать, то опять возможны переходы в неустойчивое энергетическое состояние с ге­ нерацией потенциалов действия. Исследование показало, что функ­ ция энергетического баланса может неоднократно переходить че­ рез нуль, т. е. являться знакопеременной.

Уравнение потенциала действия. Блейр, Хилл и Рашевский [33] почти одновременно применили дифференциальное уравнение первого порядка (или систему двух таких уравнений) для описания изменения электрического потенциала нервной ткани при электриче­ ском раздражении. Это позволило описать процесс пассивного (электротонического) изменения потенциала от момента приложения элек­ трического стимула до момента возникновения активной реакции — потенциала действия — и получить уточненные пороговые зависимо­ сти между раздражением и возбуждением. Однако отображение про­ цесса возбуждения, включая и потенциал действия, дифференциаль­ ным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами невозможно. Приблизиться к описанию формы потенциала действия, особенно нервного ствола, можно, применив для этого, как это сделали П. Нельсон [34] и мы [11, 35], дифференциальное урав­ нение второго порядка с постоянными коэффициентами и кратными корнями. Вместе с тем Хилл еще в 1935 г. писал [36]: «При прохо­ ждении электрического тока через ткань в ней устанавливается некоторое условие или потенциал...; когда это условие или потен­ циал достигает известного уровня..., система приходит в неустой­ чивое состояние, наступает «раздражение»». Это замечание Хилла с учетом проведенного выше исследования уравнения энергетиче­ ского баланса открывает возможность для достаточно простого описания потенциала действия.

Рассмотрим нелинейное неоднородное дифференциальное урав­ нение первого порядка как модель процесса возникновения и раз­ вития возбуждения нервной ткани. Следуя Блейру, будем считать, что скорость изменения потенциала нервной ткани пропорциональ­ на внешнему раздражению и тем меньше, чем большее значение до­

где k, а — коэффициенты пропорциональности и размерности. Отметим, что коэффициент а имеет простой физический смысл:

он определяется через удельное сопротивление R и удельную емкость С и равен 1 IRC. Известно, что при развитии потенциала действия сопротивление не остается постоянным, а существенно изменяется. Поэтому в отличие от Блейра будем считать коэффици­ ент а переменным. Кроме того, предположим, что электрические параметры нервной ткани (например, сопротивление мембраны) зависят от энергетического баланса. Таким образом, приходим к нелинейному дифференциальному уравнению

В первом приближении коэффициент уравнения (7.22) может быть принят пропорциональным балансу энергии в ткани, т. е.

194

Система уравнений (7.22) и (7.23) является моделью процесса возбуждения нервной ткани.

^где Сх, С2, С3 — постоянные интегрирования, определяемые соот­ ветственно по потенциалу покоя, пороговому уровню деполяриза­ ции и максимальному значению потенциала действия.

Система (7.25) в интервале времени 0 •< t < т подвержена лю­ бым добавочным воздействиям и может отобразить явление сумма-1 ции подпороговых воздействий. В точке т система становится не­ устойчивой, потенциал ткани резко возрастает, а любые добавочные воздействия ничего не изменяют в этом процессе — абсолютная реф-' рактерная фаза до момента времени tx. В момент времени tx порция1 энергии, выделяющаяся в потенциале действия, возвращает си­ стему в устойчивое состояние — наступает фаза относительной реф­

тывалась для различных случаев раздражения на аналоговой вы­ числительной машине [11].

Расчеты показали, что при действии внешнего раздражения, амплитуда которого ниже порога, возникает новое устойчивое со-1 стояние, напоминающее деполяризацию или электротон [37]. Если раздражение имеет отрицательный знак, то возникает явление гиперполяризации. При действии постоянного внешнего сигнала разной амплитуды частота ответов модели в определенных преде-- лах пропорциональна амплитуде раздражения. Если на модель

действуют кратковременные стимулы с определенной частотой и амплитудой, превышающей порог по напряжению, то потенциал действия возникает не сразу. Это объясняется тем, что энергии от­ дельного стимула недостаточно для того, чтобы превысить порог по энергии. Однако каждый стимул отдает свою энергию модели нервной ткани и уменьшает пороговое значение по энергии, а сле­ дующий стимул действует аналогично. Тем самым выполняется условие подпороговой суммации, если по времени стимулы не отстоят далеко друг от друга.

Для модели были сняты пороговые кривые вида сила — дли­ тельность для прямоугольных и треугольных стимулов. Сравнение модельных и экспериментальных кривых свидетельствует о хорошем качественном совпадении.

5.Синтез математической модели простой вероятностной биосистемы

Обучение в лабиринте. Методика обучения животных в лабиринте связана с подкреплением пищей правильного выбора пути. Т-об- разный лабиринт в этом смысле представляет наиболее простую систему. Эксперименты проводятся на животных, которых запус­ кают в лабиринт и которым дают пищу, если они сделали правиль­ ный выбор (например, повернули направо). В отличие от методики условных рефлексов обучение в лабиринте связано с максимальной неопределенностью в начале обучения. При выборе из двух альтер­ натив вероятность поворота направо и налево при первом прохо­ ждении животным лабиринта равны между собой. Построим модель

•обучения в лабиринте для экспериментов, проведенных Дж. Стенли и описанных в работе Р. Буша и Ф. Мостеллера [38]. Эксперимент ■состоял в том, что крыса, повернувшая направо, всегда получала пищу. Данные Дж. Стенли приведены по дням обучения, причем на каждой крысе из крупной партии проводилось по восемь испытаний. Очевидно, естественным тактированием в этом случае является испытание, а результаты представляются изменением относитель­ ной частоты поворота направо в зависимости от номера испытания.

Математическая модель. Пусть относительная частота поворота

направо (вероятность) р зависит от испытания. Тогда вероятность

поворота налево q = 1 — р. Воспользуемся оптимальным под­ ходом, разработанным ранее [39]. Будем считать номер испытания т непрерывной величиной. Тогда дифференциальное уравнение от­ носительной частоты поворота направо принимает вид

где а — параметр обучения, обратный постоянной времени; Р — правая часть, характеризующая силу, способствующую обучению.

1 0 6

Решение уравнения (7.26) с учетом сдвига начальной точки имеет

вид

и правой части Р применим к уравнению (7.27) граничные условия.

На первом шаге т — 1 вероятность Р равна 0,5. В конце обучения

Р(т)= 1 - 0 ,5 е - “ м , |

q (т) = 0,5е~~а(m_1). j

На этих уравнениях достигается экстремум функционала от полной организации [4]. Абсолютная организация изменяется от нуля до максимума в конце обучения, равного логарифму двух

[4].

Параметры модели. Используя экспериментальные данные, можно определить единственный параметр а математической мо­ дели. Если опыт уже проведен и нас интересует некоторая средняя модель, аппроксимирующая опытные данные, то среднее значение параметра можно определить по всем точкам опыта:

то уравнение (7.28) может служить текущей экстраполяционной моделью [4]. Для этого по данным первого опыта вычисляется па­ раметр а. Затем это значение используется для предсказания ре­ зультатов на втором испытании. Далее вновь определяется параметр по опытным данным второго шага и т. д. Значения а могут усреднять­

197