Файл: Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем.pdf

рассматривать совместно, не считая какую-либо часть системы, например, объектом управления. Подсистемой управления в данном случае будем подразумевать систему, позволяющую организовать внешние управляющие сигналы: глюкозу и инсулин.

Система управления уровнем сахара в крови характеризуется значением сахара в крови. Это — ее выходная координата, которую можно измерить. На изменение данной координаты влияет работа целого ряда органов, которые в организме структурно выделены и несут свою собственную функциональную нагрузку. Такими, в ос­ новном, являются печень, поджелудочная железа, надпочечники, почки, ткани, гипофиз. Выходы этих органов практически изме­ рению не поддаются, однако активно участвуют в физиологическом процессе и с точки зрения физиологии это участие необходимо отра­ зить в математической модели. Поэтому при построении модели следует избрать путь структурно-функционального моделирования, который связан с рассмотрением физиологических основ работы структурных отделов системы и отображением данной работы в про­ стейшем математическом описании.

После составления математического описания работы органов возникает задача определения параметров (коэффициентов диффе­ ренциальных уравнений) математической модели. С точки зрения математики в данном случае приходится решать некорректную за­ дачу. По экспериментальным характеристикам выхода всей сис­ темы необходимо определить значения параметров блоков системы, выходы которых нам неизвестны. В данном случае приходится ми­ риться с тем, что может существовать не единственный набор пара­ метров модели, обеспечивающий аппроксимацию эксперименталь­ ных данных, приемлемую с точки зрения критерия синтеза, напри­ мер минимума интеграла от квадрата ошибки (см. гл. 1).

Достоверность найденного набора параметров модели может быть повышена, если поиск коэффициентов модели производится на некотором множестве набора экспериментальных характеристик, полученных при различных условиях работы реальной системы. Кроме того, следует в полной мере использовать физиологические данные для того, чтобы установить связи между органами в системе, установить качественно знаки этих связей, попытаться, используя физиологическую интерпретацию коэффициентов модели, установить количественные границы коэффициентов. Эти меры помогают по­ высить достоверность частного решения задачи.

Вместе с тем, найденный набор параметров модели, если и не отражает полностью количественные взаимоотношения органов физиологической системы, то, по крайней мере, позволяет устано­ вить относительные количественные сдвиги в работе органов, на­ пример при патологии относительно нормы. В этом состоит ценность и оправдание такого частного решения математически некорректной задачи [28 ].

Формально поиск коэффициентов модели может быть осуществлен на аналоговой или цифровой вычислительной машине с исполь-

188

зованием процедуры спуска в пространстве параметров модели

(см. гл. 1).

Физиологическое описание системы. Изучение физиологических данных позволяет упрощенно описать работу системы управления уровнем сахара следующим образом. Кровь с содержанием сахара омывает желудок, кишечник, печень, клетки нервной системы, подже­ лудочную железу и ткани организма. Кровь, омывающая кишечник, через воротную вену поступает в печень. Система имеет следующие входы: 1) глюкоза Gi может быть введена в желудок; 2) глюкоза G может быть введена в кровь; 3) инсулин / может быть введен внутримышечно или в кровь. В первом случае концентрация сахара в воротной вене превышает текущее значение сахара в крови на вели­ чину tji. Вследствие определенного регуляторного механизма кон­ центрация сахара на выходе печени (в печеночной вене) будет также отличаться от текущего значения сахара в крови на величину у2. Ткани организма потребляют глюкозу, и поэтому содержание саха­ ра в крови, оттекающей от них, отличается от концентрации сахара в притекающей крови на величину у3. Величина у3 означает безвозвратное потребление сахара при расходе энергии. Поджелу­ дочная железа при гипергликемии (повышенном содержании сахара в крови) выделяет инсулин, влияющий на потребление глюкозы тканями. Адреналовая система (кора надпочечников) при гипо­ гликемии (пониженном содержании сахара в крови) вырабатывает гормон адреналин х, способствующий повышению уровня сахара в крови. Нервная система в зависимости от текущего содержания са­ хара в крови и затрат, необходимых организму при решении той или иной жизненной задачи, вырабатывает установку системы управле­ ния сахаром крови и передает ее на органы, участвующие в процессе регуляции. Данная схема работы является упрощенной, так как действие всех гормонов антагонистов инсулина сведено к действию адреналина.

Подробно работа каждого звена системы управления и решение задачи синтеза оптимальных управляющих сигналов рассмотрены

вмонографии [40].

4.Синтез модели возбуждения нервной ткани

на основе закона сохранения энергии

Процессы, определяющие возбуждение нервной ткани, по своей при­ роде являются энергетическими [29, 30]. Будем считать, что в не­ возбужденном состоянии энергия ткани не превышает некоторого критического порогового значения и отражается в потенциале по­ коя. Это пороговое значение может флюктуировать около среднего уровня в зависимости от интенсивности обменных процессов. Повидимому, значительная часть энергии, высвобождающейся за счет обменных процессов, идет на поддержание устойчивого равновесия, выражением которого является потенциал покоя (энергетический

189

порог). Любое воздействие на нервную ткань, в том числе и электрическое раздражение, должно нарушать это энергетическое равновесие. Можно предположить, однако, что вследствие устой­ чивости, свойственной живой природе, в момент возбуждения в нер­ вной ткани возникает активный энергетический процесс, противо­ действующий внешнему раздражению. Если нервная ткань за счет обменных процессов может длительное время противостоять энер­ гетическому действию раздражения, то результатом такой ответной реакции будет электротон, деполяризация мембраны. Рассмотрим вначале процесс возбуждения, приводящий к достижению порога.

Пороговое соотношение. Энергия. Подсчитаем энергию внешнего раздражения, переданную нервной ткани, по формуле

t t

где E (t) — текущее значение активной внешней энергии; Р (/) — мощность раздражения; R — активное сопротивление нервной тка­ ни; V— амплитуда раздражающего напряжения; ип — порог нер­ вной ткани по амплитуде.

Обычно под сопротивлением ткани (в случае прямого раздра­ жения клетки — под сопротивлением ее мембраны) понимают удель­ ное сопротивление на единицу площади. Поэтому формула (7.6) может представлять удельную энергию внешнего раздражения.

Зададим порог по энергии Еп, характеризующий свойство энер­ гетической устойчивости нервной ткани. Условие, при котором возможно возникновение потенциала действия, запишем следующим

190

Как известно, пороговое уравнение Нернста в общем виде можно записать так:

И. С. Беритов показал, что показатель степени я лежит в пределах от Ѵ2 до 1. Найденное нами из условий баланса внутренней и внеш­ ней энергии пороговое уравнение (7.11) соответствует уравнению Нернста для я = Ѵ2, полученному эмпирическим путем.

Пороговое соотношение. Действие. В 18 ст. П. Мопертюи сформу­ лировал свой известный «принцип наименьшего действия», состоя­ щий в следующем: «Когда в природе происходит некоторое измене­ ние, количество Действия, необходимое для этого изменения, яв­ ляется наименьшим возможным» [31 ]. Действие, которое имел в виду П. Мопертюи,измеряется интегралом от энергии, произведением энер­ гии на время. В связи с этим рассмотрим еще один вариант оценки энергетических процессов, связанных с возбуждением нервной тка­ ни. Будем считать, что раздражение ткани возникает за счет дей­ ствия энергии с течением времени, т. е. за счет превышения ин­ тегралом энергии внешнего раздражения некоторого порогового

т. е. пороговое уравнение Нернста для я = 1.

Удельный энергетический порог. Таким образом, относительно простые предпосылки, основанные на рассмотрении энергетического баланса нервной ткани при раздражении ее электрическими стиму­ лами, привели нас к найденным эмпирически пороговым закономер­

191

Если известна экспериментальная кривая сила — длительность, то можно определить пороговые значения по энергии и действию

Экспериментальные пороговые характеристики, полученные на­ ми для нервного ствола и нейрона, наилучшим образом аппро­ ксимируются пороговым уравнением (7.14) для п = 1. Это дает возможность говорить о том, что процессы возбуждения в нервной ткани проходят на уровне действия. И это же дает возможность рассчитать удельный порог по интегралу энергии — действию для этих типов нервной ткани. В результате для нервного ствола (при R = 1 ком) получаем

Можно считать, что наряду с важнейшими электрическими по­ казателями нервной ткани, такими, как потенциал покоя, удельное сопротивление и удельная емкость, удельное пороговое значение энергии или действия являются важнейшими универсальными пока­ зателями функционального состояния нервной ткани, показателями ее возбудимости. В то же время эти показатели отражают специфи­ ку организации нервной ткани, сложившуюся в процессе эволюции и направленную на адекватное отражение организации среды, воздействующей на нервную ткань.

Принцип энергетического баланса. Выше, рассматривая энер­ гетизм процесса возбуждения, мы считали реакцию нервной ткани достаточно пассивной и проявляющейся лишь в наличии порога, например, по интегралу энергии. Между тем даже появление депо­ ляризации связано не только с внешним раздражением. Уже в этом процессе проявляется активная роль нервной ткани, пытаю­ щейся более действенно, нежели только за счет порога, противодей­ ствовать внешнему раздражению. Завершением этого противодей­ ствия является экстренное выделение нервной тканью энергии в по­ тенциале действия, что тоже направлено на компенсацию энергии внешнего раздражения. Нервная ткань ведет себя, как энергетически открытая система. В связи с этим принцип энергетического баланса нервной ткани сформулируем следующим образом [32].

П р и д е й с т в и и в н е ш н е г о р а з д р а ж е н и я , н а р у ш а ю щ е г о э н е р г е т и ч е с к о е р а в н о в е с и е в н е р в н о й т к а н и, п о с л е д н я я р а з в и в а е т а д е к в а т ­ ные э н е р г е т и ч е с к и е р е а к ц и и , к о м п е н с и р у ю щ и е д е й с т в и е э н е р г и и в н е ш н е г о р а з д р а ж е н и я .

Для составления уравнения энергетического баланса восполь­ зуемся не самим действием энергии (а мы предполагаем, что раздра­ жающим фактором служит действие энергии внешнего раздражения, и противодействие внутренней энергии ткани также проходит на

192