Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf

Иr(X,U)

Рис. 9. Нормированная плот­

ность распределения систе­ мы двух случайных вели­ чин

Плотность распределения системы, например, двух случай­ ных величин, определяется по равенству

Геометрически функция w (х , у) описывает некоторую поверх­ ность в пространстве (рис. 9). Эта поверхность называется поверх­ ностью распределения. Если известна плотность распределения системы двух случайных величин w (х, у), то по нижеследующим формулам можно определить плотность распределения случайных величин, входящих в систему:

Однако по известным w (х) и w (у) не всегда удается определить плотность распределения w (х, у) системы. Для определения w (х, у) необходимо еще знать зависимость между х и у. Такую зависимость можно охарактеризовать с помощью условных законов распре­ деления. Что такое условный закон распределения?

Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим такой пример: система случайных величин X и А представляет собой длину волны и амплитуду волнистости холоднокатаного листа. Если нас инте­ ресует амплитуда волнистости А безотносительно к ее длине волны X, то плотность распределения w (А ) есть безусловный закон распределения амплитуды волнистости листа. Этот закон распределения мы можем исследовать, рассматривая все листы, измеряя амплитуды их волнистости. Но если нас интересует закон распределения амплитуды волнистости с вполне определенной длиной волны X, то будем измерять не все листы, а только определенную группу с длиной волны X. В этих условиях мы по­ лучим условный закон распределения амплитуды волнистости

25

(коробоватости) при длине волны к с плотностью w (A/к). Этот условный закон w {Aik) отличается от безусловного w {А).

Теперь, зная условный закон распределения одной из величин и закон распределения второй величины, входящей в систему, можно определить закон распределения системы по формуле [1 ]

Из системы (39) можно также определить условные законы рас­ пределения, если известны безусловные распределения.

Нужно отметить, что через условные распределения можно определить зависимость и независимость случайных величин.

Если непрерывная случайная величина X не зависит от Y, то

Для независимых непрерывных случайных величин всегда

Для простоты рассмотрим числовые характеристики для си­ стемы двух случайных величин. Основными числовыми характе­ ристиками распределения системы двух случайных величин яв­ ляются начальные и центральные моменты порядка к, s [11. На­ чальный момент порядка к, s определяется выражением

а центральный момент того же порядка формулой

—0 0 — 00

где w (х, у) — плотность распределения системы.

Для системы двух случайных величин обычно применяются

26

5. Корреляционный анализ

Как показывают исследования в области производства тонко­ листового проката, качество тонких листов и полос на выходе со стана зависит от множества факторов, взаимозависимость между которыми определять детерминированно нельзя вследствие их случайной природы. Поэтому приходится находить эту зависимость на основании результатов наблюдения с помощью корреляцион­ ного анализа.

Для описания зависимости двух случайных величин поль­ зуются корреляционным моментом kxy (второй смещенный цен­ тральный момент) и коэффициентом корреляции гху. Корреля­ ционный момент k (х , у) непрерывных случайных величин X и Y вычисляется по формуле

COV (X, у) = kxy = М[(Х — X) (у — I/)] =

СО СО

(47)

—СО — СО

Корреляционный момент (ковариация) характеризует степень зависимости и независимости X и Y. Если случайные величины X -и Y независимы, то kxy = 0, если же эти величины зависимы, то kxy Ф 0. Здесь зависимость между X и К отличается от детерми­ нированной (функциональной). При обработке результатов экс­ перимента мы встречаемся со «стохастической», т. е. вероятно­ стной зависимостью. Поясним это. Если величина Y связана с ве­ личиной X функционально, то зная значение X, можно точно опре­ делить величину К, а при вероятностной зависимости, зная ве­ личину X, определить точно Y невозможно, а можно указать только ее закон распределения, при некотором значении X. Ка­ чественно вероятностная зависимость может быть сильной (тес­ ной) или слабой. С увеличением тесноты связи вероятностная за­ висимость стремится к функциональной. Следовательно, функ­ циональная зависимость является частным случаем вероятностной и является ее предельным состоянием.

Количественно теснота вероятностной связи определяется коэффициентом корреляции. Коэффициент корреляции отличается от корреляционного момента тем, что он является безразмерным. Это достигается путем деления на произведение среднеквадратич­ ных отклонений случайных величин, входящих в систему, т. е.

(48)

где гху — коэффициент корреляции;

ох, °у — среднеквадратичное отклонение величин X и К.

27

У

Если величины X и У независимы, то, как было указано ранее, гху — 0, так как kxy — 0. Такие величины называются некорре­ лированными, хотя некоррелированность не всегда означает не­ зависимость случайных величин [1 ].

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты ли­ нейной зависимости между случайными величинами X и К. В слу­ чае функциональной зависимости между X и К

коэффициент корреляции гху — ± 1 . Эти значения являются пре­ дельными. Следовательно, для стохастической зависимости — 1 < <Сгху<С 1- Когда гху > 0, имеет место положительная корреля­ ция и при увеличении X величина У также увеличивается. На рис. 10 показана положительная корреляция величин X и У; «ели гху < 0, то имеет место отрицательная корреляция (рис. 11). При гху = 0 корреляционная связь между этими величинами ■отсутствует (рис. 12).

6. Регрессионный анализ. Обработка результатов пассивного эксперимента

Теперь определим форму кривой так, чтобы с достаточным при­ ближением все распределение масс вероятностей концентрирова­ лось плотно около этой линии.

Как было указано в предыдущем параграфе, стохастическую зависимость между X и У можно искать в виде

функций называются линией регрессии. Линии регрессии могут быть линейными и нелинейными. Здесь мы будем рассматривать только линейную регрессию.

28

При линейной регрессии линии, описываемые уравнениями (50) и (51), являются прямыми. Тогда эти уравнения можно напи­ сать в виде

Как видно из уравнения (52), задача состоит в определении не­ известных рху и b с условием, что данная прямая будет как можно ближе к экспериментальным точкам (хъ у г), (х2, г/2), . . (хп, уп). Эти параметры можно определить по методу наименьших квадра­

тов:

П

i=i

Из условия экстремума можно найти:

п п п }

п 2 х‘У‘ — 2 xi £ yt

Перестановкой индексов в первой формуле можно определить

Р х у

Иногда уравнения линии регрессии, если известен коэффи­ циент корреляции, удобно определить в следующем виде:

Определим доверительный интервал для коэффициента корре­

29