Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf

x(t)

Рис. 25. Переходный процесс в стационарной системе

вмалом. К таким системам относятся системы автоматического регулирования технологическими процессами. Эти системы до­ пускают с заданной точностью линеаризацию уравнений динамики

вдостаточно малой окрестности величин у и у 2, . . ., уп, т. е. приближенную замену нелинейных систем практически равно­ ценными линейными.

Сущность линеаризации уравнений динамики системы заклю­ чается в том, что полные выходные величины yt заменяются их малыми отклонениями^ Ау. от некоторого постоянного уровня уг Это достигается путем разложения в ряд Тейлора по степеням Ау,-.

12. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) и резонансный режим динамической системы

Рассмотрим линейную динамическую систему, структурная схема которой приведена на рис. 24. Пусть уравнение динамики данной системы описывается относительно пары входа х и выхода у дифференциальным уравнением второго порядка, т. е.

Используя операционное исчисление, уравнение (85) можно написать в алгебраической форме. Для этого левую и правую часть уравнения преобразуем по Лапласу.

Допустим, функции у Ц), х (t) и f (t) удовлетворяют преобра­

46

где р = с + /со — комплексный оператор преобразования. При ну­ левых начальных условиях:

Тогда уравнение (85) можно записать в операторной форме

Решив уравнение (86) относительно изображения выходной ве­ личины, получим

По формуле (87) определено изображение Лапласа выходной величины. Оригинал у (t) можно вычислить с помощью формулы обращения (обратное преобразование Лапласа)

c+i и

С— / (О

На основании формулы (87) определяется одна из важнейших характеристик динамической системы — ее передаточная функция.

Передаточная функция системы по управлению х (() будет равна

Далее мы будем оперировать передаточной функцией вида (89). Если в формулу (89) вместо р подставить его выражение р = /со (здесь с = 0), то получим амплитудную и фазочастотную харак­ теристику системы

1 (1 — а2ш2)2 + а2со2

47

X

В формуле (91) амплитудная характеристика системы:

а фазочастотная:

Если выражение (92) показывает, насколько изменится (умень­ шится или увеличится) амплитуда выходного гармонического сиг­ нала системы при различных частотах со входного сигнала, то формула (93) характеризует отставание по фазе выходного сигнала (рис. 26) в зависимости от со.

Характер изменения А (ш) зависит от коэффициентов и по­ рядка дифференциального уравнения динамики системы.

На некоторых частотах сор функция А (со) может принимать пиковые значения. Такие частоты называют резонансными.

Если частота внешнего возмущения равна или близка к сор, то в системе появится резонансный режим, который может при­ вести к нежелательным последствиям. Поэтому для нормальной работы системы необходимо заранее определить частотный спектр и амплитудные значения входного сигнала.

Если входной сигнал представляет собой случайный процесс, то необходимо знать спектральную плотность сигнала. Если пики спектральной плотности совпадают с частотой ыр ампли­ тудно-частотной характеристики системы, наступит резонансный режим (рис. 27).

48

13. Спектральная плотность выхода линейной стационарной системы

Рассмотрим прохождение случайного сигнала через линейную систему. Если динамическая система полностью определена, т. е. известно уравнение динамики, ее решение h (t) при стандартном возмущении, а также передаточная функция W (р), то по извест­ ному входному сигналу х (/) можно определить соответствующий

Спектральная плотность выхода линейной стационарной си­ стемы при случайном входном сигнале определится на основании формулы (74).

Такое соотношение имеет место для выходного сигнала:

В линейной системе амплитудная и фазочастотная характери­ стики определяются равенством

Таким образом, спектральная плотность выходной величины может быть получена умножением спектральной плотности входной величины на квадрат модуля частотной передаточной функции линейной системы [8].

Приведенное выше доказательство справедливо, если случай­ ный процесс на выходе также стационарен.

Если спектральная плотность входного сигнала задана гра­ фически, то кривая спектральной плотности определяется следую-

щим образом. Под кривой спектральной плотности строится график квадрата модуля частотно-передаточной функции. Масштаб по оси абсцисс должен быть одинаковым. Далее на основании формулы (99) величина Sx (со) по всем частотам умножается на значение [А (со) ]2. Полученный результат будет равен спектральной плотности на Еыходе линейной системы.

Пример

Случайный сигнал, приведенный на рис. 16, проходит через линейную систему с передаточной функцией

График спектральной плотности входного сигнала показан на рис. 23.

Определить графически выходную спектральную плотность.

Тогда

Определив спектральную плот­ ность выхода, можно найти ее дисперсию. Если случайный про­ цесс входа центрирован, то

IA(W)J'

00

о

Se„ix(cu) Ю'?тнг с

Последний интеграл представляет собой площадь под кривой спектральной плотности Sy (со), которую нетрудно определить графически, если показанную кривую представить в виде прямо­ угольников (рис. 28). Сумма площадей этих прямоугольников равна интегралу

со

| S (со) da>.

о

Не умаляя достоинства статистических моделей, необходимо отметить, что во многих случаях детерминированные математиче­

Однако детерминированное исследование процесса прокатки на непрерывных станах должно сопровождаться разработкой ве­ роятностных моделей, так как многие факторы, влияющие на процесс прокатки, как было сказано выше, имеют случайную природу.

Результаты исследований непрерывного стана как объекта автоматического управления, находящегося под влиянием слу­ чайных возмущений, приводятся в следующих главах.

4*