Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf

p ( T )

Рис. 20. Кривая нормированной автокорреляционной функции

автокорреляционной функции обычно аппроксимируют аналити­ ческой функцией вида

при отсутствии скрытых периодичностей и

при наличии скрытых периодичностей. Для сложных процессов используют сумму функций вида (72 и 73). На рис. 20 приведена аппроксимируемая по формуле (73) кривая. Более точная аппрок­ симация может быть получена в виде суммы двух функций вида (73).

Т а б л и ц а 5. Расчетная таблица автокорреляционной функции

40

10. Спектральная плотность случайного процесса

Спектральная плотность не содержит дополнительной инфор­ мации по сравнению с автокорреляционной функцией, так как они связаны взаимным преобразованием Фурье. Однако опреде­ ление спектральной плотности в некоторых задачах становится необходимым. Спектральная плотность S (со) позволяет непосред­ ственно судить о частотных свойствах случайного процесса. Она характеризует интенсивность случайного процесса при различных частотах, отличающихся друг от друга на бесконечно малую ве­ личину.

По физическому смыслу спектральная плотность — это вели­ чина, которая пропорциональна средней мощности процесса в ин­ тервале частот от со до со, + Асо.

Спектральная плотность функции х (t) в общем виде опреде­ ляется по формуле [8]

ного процесса почти невозможно, так как для определения изо­ бражения Фурье F (/со) необходимо знать аналитическое выраже­ ние случайного процесса х (/). Поэтому спектральную плот­ ность случайного процесса определяют в соответствии с теоремой Винера— Хинчина. Автокорреляционная функция и спектральная плотность представляют собой взаимные преобразования Фурье:

Спектральная плотность S (со) и автокорреляционная функция являются четной и вещественной функцией, поэтому формулы (75) и (76) удобно представить в следующем виде:

00

41

Спектральная плотность имеет одно очень важное свойство, по которому можно вычислить средний квадрат случайного про­ цесса (или дисперсию, если процесс центрирован):

и видом функции х (/), которая описывает данный случайный про­ цесс. На рис. 21 показаны кривые спектральной плотности, соот­ ветствующие случайным процессам, приведенным на рис. 17.

Как видно из рис. 21, чем медленнее изменяется величина х (/), тем уже график спектральной плотности, и чем шире график спек­ тральной плотности, тем быстрее изменяется величина х (t). Пики на рис. 21 указывают на то, что в случайном процессе преобладают частоты, соответствующие этим пикам.

Спектральный анализ случайного процесса аналогичен раз­ ложению периодической функции в ряд Фурье. Различие состоит в том, что при разложении периодической функции получаем диск­ ретный спектр частот, соответствующих гармоникам разложения. При спектральном же анализе случайного процесса имеем непре­ рывный спектр частот.

Ниже приведем расчет спектральной плотности для случай­ ного процесса, показанного на рис. 16.

Для расчета- S (со) по формуле (77) аппроксимируем кривую

Таким образом, в первом приближении

R{ т) = 30,9-10 4е 0,39 1т 1cos 3,2т.

Рис. 21. Зависимость спектральной плотности от вида случайного процесса

42

Рис. 22. Спектральная плотность слуРис. 23. Спектральная плотность случайного чайного процесса, полученная с попроцесса (см. рис. 16), вычисленная на ЦВМ мощью аппроксимации (см. рис. 16)

Тогда спектральная плотность определится с помощью интег­ рала:

По формуле (81) рассчитана спектральная плотность данной реализации и построена кривая S (со) (см. рис. 22).

Недостатком этого метода является то, что в этом случае мы не можем выделить все преобладающие частоты. Из кривой автокорреляционной функции видно, что в процессе преобладают как минимум две частоты. Для получения пиков в графике спек­ тральной плотности, соответствующих частотам, необходимо ав­ токорреляционную функцию интегрировать по всему спектру. Это достигается путем использования в расчетах цифровых вы­ числительных машин (ЦВМ).

Для сравнения методик спектральная плотность данного про­ цесса была рассчитана с помощью ЦВМ. Кривая спектральной плотности приведена на рис. 23. В этом случае кривая спек­ тральной плотности получается более информативной, чем на основе аппроксимации автокорреляционной функции.

11. Преобразование случайного процесса в динамической системе. Структура динамической системы; стационарность и линейность

Динамическая система в процессе работы в реальных условиях находится под действием случайных сигналов. Работа сложных систем в основном определяется наличием этих сигналов. Случай­ ные возмущения, действующие на объект управления, могут быть

43

внешними и внутренними. Последние возникают в самой системе, в ее отдельных элементах. Внешние связаны со средой, в которой находится данная система. В некоторых системах входной сиг­ нал представляет собой случайный процесс, например, толщина входной полосы (подката) на непрерывных станах холодной про­ катки.

Нужно отметить, что действующие случайные возмущения обычно сопровождаются неслучайными сигналами. Поэтому вход­ ной сигнал можно представить в виде суммы случайного и законо­ мерного сигналов.

Следовательно, задача исследования систем со стохастическим входом сводится к определению вероятностных характеристик (математическое ожидание, дисперсия) выходного сигнала, кото­ рый в общем также является случайным, по вероятностным харак­ теристикам входа.

Данная задача легко решается для линейных систем. В этом случае приходим к следующей задаче: зная математическое ожи­

дание х (t) и автокорреляционную функцию Rx (т) входного слу­ чайного сигнала и оператор динамической системы (передаточную

функцию), определить математическое ожидание у (t), дисперсию Dy (t) и автокорреляционную функцию Ry (т) выходного пара­ метра у (/).

Что же касается закона распределения, то нужно отметить, что он может изменяться при прохождении через линейную си­ стему.

Однако, если на входе действует случайный сигнал с нормаль­ ным распределением, то и на выходе случайная величина будет подчинена нормальному распределению.

На практике мы имеем дело с системами, состояние которых

и принимают различные значения. Движение этих параметров оп­ ределяется начальным состоянием системы и внешними возмущаю­ щими воздействиями, которым подвержена система. Подобные си­ стемы называются динамическими системами. Основной характе­ ристикой динамической системы является уравнение или система уравнений, описывающие движение системы или переход ее из одного состояния в другое. Эти уравнения обычно связывают вы­ ходные параметры системы с входными и внешними воздействиями. Если система непрерывная, то уравнением динамики является обыкновенное дифференциальное уравнение. В общем уравнение

44

fcuc. 24. Структурная схема динамической системы

Часто на практике представляют интерес не все выходные величины, а одна из них; тогда уравнение (82) можно записать в следующем виде:

Если в процессе работы все без исключения параметры системы остаются без изменения, т. е. коэффициенты bn (t) = ■■•= b0 (t) = = const, то такая система называется внутренне стационарной. В противном случае система нестационарна.

Пусть на вход системы подан сигнал x(t), тогда реакция си­ стемы на этот сигнал будет у (/).

Если при сдвиге входного сигнала той же формы выходной сиг­ нал не изменится, а только сдвинется по времени на т, то такая система называется внешне стационарной [9] (рис. 25). Внешняя стационарность системы относительна. Система может быть ста­ ционарной относительно какого-нибудь входа и выхода, а также при всех комбинациях входов и выходов. Система может обладать внутренней стационарностью и не быть внешне стационарной, и наоборот. Абсолютно стационарной называется система, которая стационарна и внутренне, и внешне.

Если оператор динамической системы линеен, то такая система называется линейной, т. е. линейной комбинации любых входных воздействий соответствует такая линейная комбинация соответ­ ствующих выходных реакций. Математически это можно выразить следующей формулой для п входов и выходов:

в частном случае для двух входов и выходов можно записать

■4 [*i (О ~Ь х2 (^)] = Axi (i) -f~ Ах2 (t)•

Формула (84) показывает справедливость принципа суперпо­ зиции (наложения) для линейных систем.

На практике линейные системы встречаются реже, чем нели­ нейные. Чаще имеем дело с непрерывными системами, линейными

45