Файл: Железнов, Ю. Д. Статистические исследования точности тонколистовой прокатки.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 72
Скачиваний: 0
Помимо вышеуказанных характеристик х (/) и D (t), которые являются средними по множеству, рассматривают еще среднее
по времени значение случайной величины х для одной реализации случайного процесса х (t). Оно определяется по формуле
т
(64)
Предельный переход необходим для того, чтобы характери зовать всю возможную кривую х (t) в целом.
Плотность распределения случайного процесса определяет вероятность того, что значения процесса в произвольный момент времени будут заключены в определенном интервале. Автокорре ляционная функция случайного процесса характеризует общую зависимость значений процесса в момент времени П от значений
в момент времени t2, где tx |
t2. |
Спектральная плотность случайного процесса определяет ча стотную структуру процесса. Эти характеристики более детально будут рассмотрены после классификации случайных процессов.
8. Стационарность и эргодичность
Случайные процессы по характеру изменения во времени бы вают стационарными и нестационарными. Стационарные случай ные процессы изучены более детально, и теория стационарных слу чайных процессов находит широкое применение в прикладных за дачах автоматического управления, радиотехники и т. д.
Величины математического ожидания стационарных случайных
процессов не зависят от времени, т. е. х (t) = const. Нестационарные случайные процессы — относительно мало
изученная область теории случайных функций.
Стационарные случайные процессы бывают эргодическими и неэргодическими.
На рис. 13 показаны графики стационарных неэргодических случайных процессов в отношении математического ожидания,
рис. 14 может служить |
иллюстрацией нестационарного случай |
ного процесса, а на рис. |
15 приведены реализации стационарных |
эргодических случайных |
процессов. |
Стационарные случайные процессы обладают свойством, ко
торое известно |
под названием эргодической гипотезы [81. |
|
Если случайный процесс стационарен и удовлетворяет ниже |
||
следующим уравнениям, то он |
называется эргодическим: |
|
|
00 |
СО |
|
|
(65) |
— |
СО |
со |
|
со |
оо |
|
|
(66) |
3* |
35 |
о |
t |
Рис. 15. Кривые стационарных эргодических случайных процессов
Для стационарного и эргодического процесса среднее значение и дисперсия, определенная по одной реализации, равны соответ ствующим средним по множеству.
9. Корреляционная функция случайного процесса
На рис. |
16 приведена реализация стационарного случайного |
||||
процесса. |
|
|
|
|
|
Зная |
значение случайного процесса в момент времени tx, |
||||
мы не |
можем |
заранее |
определить |
значение данной функции |
|
в точке |
12, |
т. |
е. x (t2). |
Неизвестно, |
по какой траектории пойдет |
кривая х (t) после точки [tx, х (П) 1- Однако такие характеристики, как автокорреляционная функция и спектральная плотность, дают некоторую вероятностную информацию о процессе во вре менной и частотной областях.
Автокорреляционная функция R (т) стационарного эргодиче ского случайного процесса х (t) вычисляется как среднее по вре мени от произведения х (t) и x (t + т), отличающихся друг от друга
на |
промежуток времени т, |
т. е. |
|
|
|
|
г |
|
|
|
(67) |
где |
2Т — |
длина реализации, с; |
|
|
т = t2— ix — |
величина |
сдвига, с. |
x{t)
t
Рис. 16. Реализация стационарного случайного процесса
36
Для вычисления автокорреляционной функции часто случай ный процесс центрируют, т. е.
° x ( t ) = x ( t ) — x(t), |
(68) |
о
где х (t) — центрированный случайный процесс;
х (/) — математическое ожидание случайного процесса.
Тогда в формулу (67) вместо х (t) необходимо подставить зна
чение х (О- Автокорреляционная функция обладает некоторыми замеча
тельными свойствами, которые необходимо отметить:
1.Корреляционная функция является четной функцией, т. е. R (— т) — R (т). Это свойство позволяет вычислять автокор реляционную функцию только для положительных значений т; значение R (т) для отрицательных т является зеркальным изобра жением относительно оси ординат.
2.При т = 0 корреляционная функция дает средний квадрат,
а если процесс центрированный, то дисперсию. При т |
>оо полу |
чаем квадрат среднего значения случайного процесса, т. |
е. R (0) = |
=a2; R (оо) = (х)2.
Помимо этого, имеется прямая связь между характером слу
чайного процесса и его автокорреляционной функцией (рис. 17). Как видно из рис. 17, чем медленнее изменяется случайный про цесс, т. е. чем больше преобладают низкочастотные составляющие, тем медленнее убывает автокорреляционная функция R (т) с уве личением т, и чем быстрее изменяется случайный процесс, тем быстрее она убывает.
Следовательно, зная автокорреляционную функцию, можно судить о характере случайного процесса.
Кроме того, по известной автокорреляционной функции можно определить важные вероятностные характеристики случайного процесса.
Рис. 17. Зависимость автокорреляционной функции от вида случайного процесса
37
Иногда удобно рассчитывать нормированную автокорреляцион ную функцию
— Ш |
т |
Тогда при т = 0 р (0) = 1. Это значит, вероятность того, что случайная величина х (^) при сдвиге т = 0 примет значение х (^), равна единице, а с увеличением т эта вероятность уменьшается.
Автокорреляционную функцию можно вычислить и для детер минированных функций, в частности:
а) если х (t) = А то
т |
т |
R(T) = V m ~ J A A d t = ~ A 4 |
\ = Л»; |
следовательно, корреляционная функция также постоянна и не зависит от сдвига т;
б) если х (i) — |
A sin a>t, то |
|
||
|
1 |
т |
|
А2 |
R (т) = lim |
Г |
A sin шМ sin ш (/ + |
||
|
|
х) dt = —р— cos сот. |
||
Т -* со |
^ |
|
|
* |
Если в случайном процессе имеются скрытые периодичности, то в автокорреляционной функции имеется составляющая вида cos сот. На практике иногда приходится определять взаимную зависимость двух стационарных случайных процессов. Эту связь характеризует взаимная корреляционная функция. Взаимная кор реляционная функция (кросскорреляционная) вычисляется по добно автокорреляционной функции по формуле
|
т |
|
Rxy (т) = 1im -^=- |
[ * (t)y(t + т) dt. |
(70) |
г -> со Л |
J T |
|
Взаимная корреляционная функция характеризует связь двух случайных процессов между собой в различные моменты времени. Взаимная корреляционная в отличие от автокорреляционной функции в общем не симметрична относительно оси ординат. На рис. 18 показана типовая кривая взаимной корреляционной функ ции. Сдвиг максимума взаимной корреляционной функции ука зывает на наличие запаздывания в системе. Используя свойства корреляционной функции, можно экспериментально определить динамические характеристики любого объекта. Для этого необ ходимо иметь реализации входного и выходного сигнала объекта.
При отсутствии связи взаимная автокорреляционная функция равна нулю при всех т.
Ниже, на примере покажем методику расчета автокорреляци онной функции на основании экспериментально снятой кривой случайного процесса (см. рис. 16).
Обработка имеющейся реализации производится так:
38
Рис. |
18. |
Кривая взаимной корреляционной функ- |
Рис. 19. Выбор длительности |
||
ции |
процессов X (t) и У (t) |
дискретизации |
случайного |
про |
|
|
|
|
цесса |
|
|
|
1. |
Весь интервал записи реализации Т делим на п равных ча |
|||
стей, длительность которых составляет Дt = Т1п\Т = |
4 с, п = |
40, |
|||
At = |
0,1 с. |
|
|
|
|
В составе случайного процесса могут присутствовать низко частотная и высокочастотные гармоники. Для получения более точной информации о спектральном составе процесса выбор вели чины At играет важную роль. При большем значении At высокие частоты могут отфильтровываться, а слишком малые значения At приведут к неоправданным лишним расчетам.
При выборе величины At надо исходить из того, чтобы она как
минимум четыре-пять раз уложилась |
в один |
период |
(рис. |
19), |
||||||
который соответствует максимальной частоте, т. е.: |
|
|
||||||||
|
|
r.nin — 5 ; |
2я |
= 5 At |
At = |
2я |
|
|
||
|
|
|
|
Шшах |
|
|
5й>шах |
|
|
|
2. Записываем значение случайной функции х (/,) |
в каждом |
|||||||||
сечении: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,83 |
* Hi) == 0,79 |
0,84 |
0,86 |
0,90 |
0,78 |
0,76 |
0,82 |
0,89 |
0,84 |
|
0,88 |
0,89 |
0,83 |
0,79 |
0,86 |
0,90 |
0,94 |
0,75 |
0,78 |
0,74 |
|
0,71 |
0,78 |
0,84 |
0,92 |
0,87 |
0,85 |
0,86 |
0,91 |
0,93 |
0,93 |
0,90 |
0,85 |
0,81 |
0,80 |
0,78 |
0,84 |
0,82 |
0,85 |
0,80 |
|
|
|
3. |
Определяем среднее |
значение х = £*,./40 = 0,84. |
Далее |
||
центрируем случайный процесс. |
mAt находим средние значения |
||||
4. |
Для различных значений т = |
||||
произведений ординат центрированного случайного процесса: |
|||||
|
|
|
N—щ |
|
|
|
R {m) = ~ЛГ— m |
<=1 |
*0i)-*(0+m). |
(71) |
|
|
'v |
|
|
|
|
Для удобства вычисления по формуле (67) составлена расчетная табл. 5.
На основании табл. 5 рассчитана автокорреляционная функ ция случайного процесса. По данным таблицы построена кри вая нормированной р (m) = R (m)/R (0) автокорреляционной функ ции (рис. 20). Для дальнейших расчетов полученную кривую
39