Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

Трехчлен, стоящий в круглых

скобках, достигает своего наи­

меньшего значения при

— 1,5.

Поэтому функция

F (а) = а2 + За — 5

на

5 2 возрастающая

и достигает своего наибольшего значе­

ния

при а — 2; F (2) = 5.

5

/

возрастающая и достигает своего

Функция ф(а) = а4 на I

2

| / з + т ^ 3 + 1 ^ 3 — / ^ 3 < 2 / 3.

Обычно путем

неоднократного

возведения

в степень

обеих час­

тей неравенства

такого

вида

сводятся

к рациональным.

Но в дан­

ном случае такой

путь

сложен.

Здесь

гораздо

проще

поступить

следующим образом.

что

левая часть неравенства меньше пра­

Нам нужно доказать,

вой. Поэтому будем

находить (при помощи таблиц)

приближенные

значения

обеих

частей

неравенства

(левой

части — с

избытком,

правой — с недостатком).

точностью

до

1,

потом

до 0,1

Вычисления

ведем сначала с

и т. д. до тех пор,

пока не

убедимся

в справедливости

данного

неравенства.

у/ 3 +

3 + | / 3 —

2 ? / Т

С

точностью

д о

1:

2 +

2 =

4

2

С

точностью

до

0 ,1 :

1 , 6 + 1 , 2 = 2 , 8

2 , 8

Итак,

l A

+

/~ 3

+

П

-

/

3

<

2,8,

a 2

V

3

> 2,8.

Утверждение

задачи доказано.

Упражнения

1.

Доказать неравенства: 1) log81 576<Iog30 192; 2) 334>

261;

3) 202303^?303а02.

2.

Доказать,

что если а >

0,

то верно неравенство

' а3 + За2 + 15 > 13а.

3.

Доказать,

что если

а > О,

b > 0,

то 2(а4 +

64) + 1 9 >

12а6.

4.

Доказать,

что - j +

“ _

a

+

с + а _

ь

+

а + 1 ' ~ с

> 3-

если а ■

6,

с — стороны треугольника.

У к а з а н и е .

Перейти

к новым переменным

х,

у,

г,

обозначив 6+ с—а—х,

с + а — Ь = у, a + b — c = z.

+

5.

Доказать,

что если а >

О,

b >

0,

то верно неравенство а4 +

а36 — 4a26 -f-

ab +

62 > 0.

6.

Доказать,

что

если а

0,

6 >

0,

с >

0,

то

имеет

место

неравенство

6а +

46 + 5с > 5 |Лт6 +

7 J^ac +

3 Т^бс.

+

1

7.

Доказать,

что если а >

0,

то верно

неравенство

(a -|- 1) + а (а — 4) +

> 0.

а

b

с

8.

Доказать

>

3,

если

а >

0, 6 > 0 ,

с > 0 .

неравенство -у - + - у +

- у

9.

Доказать,

что для любых действительных

чисел х и у

верно неравенство

х4 + yi > х3у + ху3.

1

1

1

10.

Доказать,

Н------ Ь

< 2 ,

если я > 2

(и—на-

что у т р у + „ у у

gn ^ д

туралыюе число).

6с

ас

аб

11.

Доказать,

если а > 0,

6 > 0 , с>0.

что -у —+ - у —+ у

— » a + 6 + с,

12.

Доказать,

что ЗаЬс < a3 + 63 + с3,

если а > 0,

6 >

0,

с > 0.

13.

Доказать,

что

если

х и

д — неотрицательные

числа,

п — натуральное

число,

то 2Л—1(хп + I/") >

(х + (/)” .

14.

Доказать, что у = - +

у

=

- +

< —

+ у -

+

- у .

если

а > 0 ,

6 > 0,

с > 0.

15.

Доказать,

что для любого натурального п верно неравенство

1

\2П

/

1

1 + - 2г ) > ( 1 + Т

4 А. Б. Василевский

49

метры,— это

исследование их

корней

как

функций параметров.

Это исследование можно

провести

одним

из

следующих способов:

а) решить данное уравнение / (х,

а) — О относительно неизвестного х

и исследовать

функцию х=ср(а);

б) решить уравнение / (х, а) — О

относительно

параметра

а (до решения

уравнения относительно х)

и исследовать

функцию

а = ф(х).

В ряде

случаев целесообразно

применить комбинацию обоих способов.

Пример 1.

Решить уравнение

(а2— 5а +

6)х = а2 —- 4

(1)

Л —

а2 — 5а + 6

’

( 2)

если а2— 5а + 6 Ф 0.

что х является

функцией

аргумента а,

Из равенства

(2) ясно,

поэтому, чтобы

ответить

на

вопросы

задачи,

нужно

исследовать

функцию

f(a) =

а2— 4

а2— 5а -f- 6

Так

как а2— 5а + 6 = (а — 3) (а — 2),

то

а2— 5а + 6 = 0,

если

а = 2 или а = 3.

Но а2 — 4 = 0 также

при а =

2.

мно­

Поэтому если

а = 2,

то

уравнение

(1)

имеет

бесчисленное

жество

решений.

то

Если

а ф 2 и а ф З ,

1 v >

(а + 2) (а — 2) _ а + 2

(а - 3) (а - 2)

а — 3'

При а = 3 уравнение (1) решений не имеет.

имеет

нуле­

Так как а + 2 = 0, если

а = — 2, то уравнение (1)

вое решение при

а — — 2 .

Построим

график функции

f (а)

=

CL

1 2

(рис.

26).

-

— о

Из графика

видно,

что

/ ( а ) >

0

Cl

— 2)

и (3,

-f со);

на

(— со,

/ (а) < О на (— 2, 3).

если а <

Итак, уравнение (1) имеет положительные

корни,

— 2

и а > 3. Его

корни отрицательны,

если

— 2 <

а <

3.

Пример 2.

Решить уравнение

4х2 + (а - 2) х + (а — 5) = 0.

( 3 )

Исследовать, при каких значениях па­

раметра

а уравнение

(3)

имеет:

положи­

тельные

корни;

отрицательные

корни;

один положительный и один

отрицатель­

ный корень;

равные корни; не имеет ни

одного действительного

корня.

задачи

Получить

ответ

на

вопросы

можно

двумя

способами:

отно­

1. Сначала

решить уравнение (3)

сительно х, потом заняться

исследовани­

ем его корней.

2. Решить уравнение (3) относитель­

но параметра

а

и

исследовать

а

как

Рис. 26

функцию х. Как

видим,

в

этом

случае

не

решая

исследование

корней

уравнения

(3)

можно выполнить,

уравнения

(3)

относительно х.

(3)

относительно

х,

получаем

С п о с о б

1.

Решив

уравнение

хх

-

— (а — 2) + У (а — 2)2 — 16 (а — 5)

’

g

х2

— (а — 2) -

У (а — 2)3— 16 (а — 5)

8

Обозначим: D = (а — 2)2 — 16 (а — 5) = а2 — 20а + 84.

Если

D =

0,

то

хх =

х2==---- S- (а — 2) =

(2 — а).

О

84

О

6, а2= 14.

Квадратный трехчлен а2— 20а +

имеет корни ах =

Итак,

если

а =

6, то

хг = х2 = (2 — 6): 8 =

— 0,5;

если

а =

14,

то хг — х2 = (2 — 14): 8 =

—1,5.

имеет действительных корней.

Если

D <

0, то уравнение (3) не

Очевидно, D < 0, если

6 <

а < 14.

или

а > 1 4 ,

то

уравнение

(3)

Если

D >

0, т. е.

если

а < 6

имеет два различных действительных корня.

Для

того

чтобы

хг >

0

и х 2>

0, параметр а должен удовле­

творять

следующей

системе неравенств:

4*

51