Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

а <

б

или я >

14,

— (а -

2) +

] / а2 -

20а +

84 >

0,

(4)

— (а - 2) — | а2— 20а + 84 > 0.

Очевидно, здесь второе неравенство является следствием третьего.

Поэтому

система

неравенств (4) эквивалентна

такой системе:

а < 6 или а >

14,

)

— (а - 2) — ] / а3— 20а + 84 > 0. }

^

Решаем

последнее из этих неравенств:

— (а - 2) — У а2 — 20а + 84 > 0,

2 — а >

j/a 2 — 20a -|- 84.

(6)

Правая часть

последнего

неравенства — положительное

число.

Поэтому

2 — а >

0,

т. е. а <

2.

эквивалентно неравенству

Если

a < 2,

то неравенство

(6)

(2 — а)3 > а2 — 20а + 84

или

4

— 4а + а3 > а2 — 20а + 84,

16а > 8 0 ,

а > 5'.

Таким образом, система неравенств (4) решений не имеет и,

следовательно,

ни

при каких

значениях

а не существует

хг > 0

и хг > 0.

х-! < 0

и х2 < 0,

параметр а

Для

того

чтобы

были

должен

удовлетворять

системе

неравенств

a <

6

или а >

14,

— (а — 2) + У а2 — 20а + 84 < 0,

(7)

— (а — 2) — У а2— 20а + 84 < 0.

Очевидно, здесь третье неравенство

является

следствием вто­

рого. Поэтому система неравенств

(7) эквивалентна

системе

а <

6 или a >

14,

(8)

— (a — 2) -f V a 2 — 20a +

84 <

0.

Решаем второе неравенство системы (8):

— (a — 2) +

У а2 — 20a +

84 < 0,

У а2 — 20а +

84 < а — 2.

(9)

Итак,

система

неравенств

(8) эквивалентна

системе

неравенств

,

2 <

а <

6 или

а >

14,

|

а >

5.

|

Отсюда получаем:

5

<

а <

6 или а > 14.

Итак,

если 5 <

а < 6 или

а >

14, то х'х <

0

и х2 < 0.

имеет раз­

Подведем

итоги. Мы

установили,

что уравнение (3)

личные

действительные

корни,

если

а < 6

или а > 1 4 .

Таких

а,

при которых

а'х >

0 и х2 >

0,

не

существует.

При

5 <

а < 6 или

а > 14

оба корня отрицательные.

Поэтому, если а <

5, то один из

корней положительный, а второй отрицательный.

а:

С п о с о б

2. Решаем

уравнение

(3)

относительно параметра

а =

— 4л:2 + 2х + 5

( 10)

х

1

если х Ф — 1 .

а

как

функцию

х,

определенную

на

Теперь

рассматриваем

уравнение (10) к виду

а = а(х) = — 4^ +

6 ------ г.

1

4 '

х +

а’ (х) — 4 4

1

( х

4* 1)а ‘

Производная а'(х) обращается в нуль в точках

хх = — 0,5 и х2 = — 1,5.

Далее,

lim а (х) — 4- оо.

lima (х) =

— со,

X-*-—оо

Х-+-\-оо

lim а (х) = — оо,

lim а (л:) =

4- оо.

—1(ДГ>-1)

1(л:<-1)

Рис. 27

Рис. 28

Е с л и б < а < 1 4 , то

уравнение

(3) действительных корней не

имеет.

а =

6, то х1=

х2=

— 0,5.

*

Если

Если

5 < а < 6, то хг <

0 и х2 <

0.

Если

а =

5, то х2 = 0, хх < 0.

Если а < 5,

то хх <

0 и х2 > 0.

Из графика

видно,

что ни при каком значении параметра а

корень уравнения (3) не равен — 1.

По графику

можно также про­

следить, как изменяется величина

корней уравнения (3) с измене­

нием параметра а.

Из второго

решения

видна роль производной при исследовании

корней уравнений, содержащих параметры. В

этом решении про­

явился функциональный

подход к исследованию

корней уравнений.

Xs — ах +

(2а -f- 32) =

0

(11)

действительные.

На первый взгляд кажется,

что, чтобы

ответить

на вопрос за­

корней уравнений.

(11)

относительно параметра а:

Решаем

уравнение

х3+ 32

если х ф 2 .

функцию

Исследуем

а — а (х) =

х3 + 32

х — 2

Она определена

на

(— оо,

2)

и

(2,

+

о°).

, . .

Зх2 (х — 2) — (х3 +

32)

2 (х3 — Зх2 — 16)

“'< * > = ------

(х — 2).----------- =

-------- (1 = 2? --------'

Замечаем,

что

трехчлен

х3— Зх2— 16 имеет

целый корень

хх = 4. Поэтому

х3— Зх2 — 16 = (х — 4) (х2 + х + 4).

Квадратный

трехчлен

х2 +

х + 4

действительных

корней не

имеет.

ясно,

что

функция

а(х)

подозрительна

на

экстремум

Теперь

в точке х =

4.

а (4) =

48,

а(0) =

— 16.

Далее,

lima(x) =

+

оо,

lima(x) = + оо,

X-*-—оо

lima (х) = +

со,

lima(x)= — оо.

*->-2(л:>2)

д:-*-2(л:<2)

Решение неравенства

вида

а | / (х) | + Ь| ср (х) |— ф (х) >

0, содер­

жащего переменную х под знаком

абсолютной величины,

сводится

к решению следующих систем неравенств:

/( * ) >

о,

f(x )> О,

Ф (*) >

О,

Ф (х) < О,

af (х) + b ф (х) — ф (х) > 0.

af (х) — ^ф (х) — ф (х) > 0.

f (х) < 0,

f(x )<

О,

Ф (х) > 0,

ф (х) < О,

af (х) — 6ф (х) + ф (х) < 0.

а/ (х) + Ьц>(х) + ф (х) < 0.

Пример 4. Решить неравенство

х2 +

2х — 3 | х + 1| + 3 >

0.

(12)

Это неравенство эквивалентно двум системам неравенств:

х + 1

0,

|

х2 + 2х — 3 ( х +

1) +

3 >

0. )

(13)

х + 1 < 0,

|

(14)

х2 + 2х — 3 (— х — 1) -|- 3 > 0. J

Система неравенств (13) эквивалентна следующей:

х + 1 >

0,

|

(15)

х2 — х > 0. J

Квадратный трехчлен х2—х имеет корни хх = 0, х..

Поэтому

система неравенств (15)

эквивалентна такой

системе:

х < 0

или

х >

1. J

(16)

Из (16) получаем

— 1 < х < 0 или

х >

1.

Система неравенств (14) эквивалентна следующей:

* +

1 < 0,

1

(17)

х2 +

5х +

6 >

0.

J

Находим корни квадратного трехчлена

х2 + 5х 6:

Х\ ==— 2, Xg —■— 3.