Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

х < - 1 ,

\

х < — 3 или х > — 2. ]

х2 + 2х + 3 >

3 | х + 1|.

(18)

Строим

графики функций

/ (х) =

х2 + 2х +

3 и

ср (х) = 3 \х + 1|

(рис. 29).

Из

рис.

29 видно, что левая

часть

неравенства (18) больше

правой

части на интервалах:

(— оо,

Xj), (— 2,

0) и (х2,

+

оо).

Так

как

хх <

— 2,

т. е.

хх +

1 < 0,

то

для

определения хх

решаем уравнение

х2-|- 2х ~Т 3 = — 3 (х -|- 1).

Получаем хг = — 3.

Так как

х2 > 0 ,

т. е.

х2 +

1 >

0,

то для определения х2 решаем

уравнение

х2 + 2 х + 3 = 3 ( х + 1).

Получаем х2 =

1.

Решение неравенств

методом

интервалов

Дано неравенство F ( x ) > 0 и требуется определить все

его

решения, принадлежащие

отрезку

[а,

Ь]. Пусть функция у =

F (х)

непрерывна на [а, х^;

(хь х2); . . .

;

(хп,

Ь\.

Находим нули функ­

ции

у = F (х).

Полагаем

для

определенности,

что F (х) = 0

при

х =

с и x = d и с 6 (*i,

х2);

d £ (xn, Ь]. Итак,

y = F(x)^= 0 на

[а, хх); (хъ

с); (с, х2);

.. . ;

(хп,

d);

(d,

Ь].

Из этих

промежутков

берем

по

одному

произвольному

числу:

х^;

т2 £(хъ с);

т3£(с, х2) и т. д. Вычисляем F(m^),F(m2),

F (т3) и т. д. Пусть, например,

F (т2) >

О,

F (т3) >

0. Тогда

в силу

непрерывности

функции

у = F (х)

на (xlt

с)

и

(с,

х3)

решениями

неравенства

.F(x) > 0

будут

все

точки

интервалов

(xlt

с)

и (с, х2).

Пример 5. Решить

неравенство

л^ +

х3 — 7х2 — х - [ - 6 > 0 .

(19)

Находим действительные корни многочлена, стоящего в левой

части неравенства (19): хг =

— 3;

х2 = — 1;

х3= 1;

х4 =

2

(приме­

нили свойства рациональных корней, см. § 3 гл.

1).

на мно­

Теперь

левую часть

неравенства

(19) можно разложить

жители:

х 1+ х3 — 7х2 — х +

6 =

(х — 1) (х +

1) (х — 2) (х +

3) > 0 .

(20)

Перепишем

левую

часть

неравенства

(20) в

порядке

убывания

ее множителей:

(х +

3 ) ( х + 1 ) ( х — 1)(х — 2 ) > 0 .

(21)

Числа

— 3,

— 1, 1,

2 делят

всю

числовую ось

на пять

частей

(рис. 30):

( - с о , - 3 ) ,

( - 3 , - 1 ) ,

( - 1 ,

1),

(1,

2),

(2,

+

оо).

нера­

На (— оо, — 3) все

множители,

входящие в левую

часть

венства (21), отрицательны. Поэтому интервал

(— оо,

— 3)

является

решением неравенства

(19).

На (— 3, — 1) х + 3 > 0 , х + 1 < 0 , х — 1 < 0, х — 2 < 0.

Поэтому интервал (—3,

—1) не является решением неравенства (19).

На ( - 1 ,

1)

х — 3 0, х + 1 > 0, х — 1 <d 0, х — 2 < 0.

Следовательно,

интервал

(— 1,

1)

является

решением

неравен­

ства (19).

2 ) х + 3 > 0 ,

х + 1 > 0 ,

х — 1 > 0,

х — 2 < 0.

На(1,

Интервал (1, 2) не является решением неравенства (19).

0.

По­

На (2,

+ оо) х +

3 >

0,

х +

1 >

0, х — 1 >

0,

х — 2 >

этому интервал

(2, -f

оо) является решением неравенства (19).

Таким образом, решением неравенства

(19) являются интервалы

(— оо, — 3), (— 1, 1) и (2,

+

оо).

(х + 3) (х + 1) (х — 1) (х — 2) < 0.

Пример 6. Решить неравенство

х4— Зх3— х + 3 < 0.

(22)

Находим

действительные

корни

многочлена

Л4(х)=х4— Зх3—

—х -f- 3:

Л-1 =

1, х%— 3.

Теперь левую часть неравенства (22) можно разложить

на мно­

жители:

'

М (х) = (х — 1) {х — 3) (х2+ л + 1) <

0.

(23)

Многочлен

х2 + х + 1 не имеет

действительных корней

и поло­

жителен на всей числовой оси.

(х — 1) (jc— 3 ) < 0 .

Точки 1 и 3

делят числовую

ось на три интервала:

На (— со,

(— со,

1), (1, 3),

(3,

+оо).

1)

х — 1 < 0, х — 3 < 0 .

Поэтому

(х— 1)(х — 3) > 0

на

(— со,

1)

и

на

(3, +

ос),

а на (1,

3)

( * - 1) (х — 3) < 0,

откуда

1 < х <

3.

Пример 7.

Решить неравенство

х6— х3— х2 + 1 < 0.

Разложим левую часть на множители:

х6— х3— ха + 1 = х*(х2— 1) — (х2— 1) =

= ( х 2 — 1) (х 3 — 1) =

(X — I ) 2 (х +

1) (х 2 +

X 4 - 1 )

<

о.

(24)

Квадратный

трехчлен

х2 +

х +

1 >

0

при

всех

значениях

х.

Множитель (х — I)2 неотрицателен

на всей числовой оси. Поэтому

неравенство

(24) эквивалентно

неравенству

х + 1

<

0,

следова­

тельно,

х < — 1. ■

Графический метод

решения неравенств,

содержащих

параметры

Пусть дано неравенство F (х,

а) < 0

и

требуется

решить

его

относительно

переменной

х (а

параметр).

Решаем

уравнение

F (х, a) = 0 относительно

параметра

а. Получаем a = f(x). Строим

график функции а = f (х).

По графику определяем множество реше­

ний данного неравенства.

Пример 8. Решить относительно х неравенство

4х2 +

(а — 2) х +

{а — 5) <

0.

(25)

Рассмотрим уравнение

4х2+

(а — 2) л: +

(а — 5) =

0.

(26)

Решив это уравнение относительно а, получаем

— 4л:2 -f- 2л:

5

,

Исследованием функции

а (л:) = • — 4л:2 + 2х + 5

х + 1

мы занимались в связи с решением примера 2 (см. рис. 27).

Графику

Решив

неравенство (25)

относительно а, получаем:

1) а <

— 4л'2 + 2х + 5

(27)

х +

1

если

х +

1 >

0, т. е. если

л: > — 1;

2) а

— 4л:2 +

2л: + 5

(28)

х +

1

если

х + 1 <

0, т. е. если

х < — 1.

точек которой удовлетворяют

Часть

плоскости, координаты (а, х)

значении параметра а, проводят через соответствующую

точку на

оси Оа прямую, параллельную оси Ох. Абсциссы точек

отрезка

этой прямой, ограниченного точками графика функции а (х),

являются