Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

ношение было бы равно 15: 16,

а если бы скорость

моторной лодки

была на

2 км/ч меньше, то отношение

было бы равно 7: 8.

Найти скорость

течения

реки. Расстояния измеряются вдоль притока и реки соответственно.

15. Поезд, следующий из пункта А в В, делает

по пути некоторое число

остановок. На первой остановке в поезд садится 5

пассажиров, а на

каждой

50 пассажиров выходит нз

поезда.

Возможен ли случай,

когда в В прибывает

менее 12 пассажиров, если

из А их выезжает 462?

составляющие 31 тыс. руб.

16. Некоторое

предприятие приносит убытки,

в год. Для превращения его

в рентабельное было предложено увеличить ассор­

тимент продукции.

Подсчеты

показали, что дополнительные доходы, приходя­

щиеся на каждый новый

вид

продукции, составят

25 тыс. руб.

в год, а до­

полнительные расходы окажутся равными 5 тыс. руб. в

год при освоении од­

ного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на

10 тыс. руб.

в год больше расходов,

чем освоение предыдущего.

Можно ли указанным спо­

собом сделать предприятие

рентабельным?

§ 2 . З а д а ч и на в о с с т а н о в л е н и е ч и с е л

Пример задачи на восстановление чисел

Задачи

на восстановление

чисел носят ярко выраженный комби­

наторный

характер.

При решении таких

задач

используется

ряд

свойств натураль­

дение нечетных чисел

есть

нечетное

число; условия при которых

при умножении /г-значного

числа

на

однозначное число получаем

k- или (/е + 1)-значмое

число; признаки делимости натуральных

чисел и т. п.

числа («х» обозначают цифры от 0 до 9):

Пример. Восстановить

(

1)

xxlххххххх

xxxxlx

(

2)

хххххх

:

хх7хх

(

3)

ххххх7х

(

4)

ххххххх

(

5)

xlxxxx

(

6)

xlxxxx

(

7)

ххххххх

(

8)

xxxxlxx

(

9)

хххххх

(10)

хххххх

“ 0

8 А. Б. Василевский

113

Делитель — шестизначное

число.

Третья цифра

частного — 7.

При умножении шестизначного числа на

7 получили

шестизначное

число (6-я строчка).

Но это

возможно

только

в том

случае, если

делитель начинается

цифрой

1. Итак,

делитель

имеет вид

Далее, шестизначные числа

записаны

во

2-, 6-,10-й, семизнач­

ные числа—в 4- и 8-й строчках. Поэтому

Е =

8 или Е = 9,

Ж =

8 или Ж = 9,

1 < А <

4.

Если при

умножении

числа

ХАБВ7Г

на

8 или

9

получается

семизначное число, то оно обязательно

начинается

цифрой 1. По­

этому числа в 4-й и 8-й строчке начинаются цифрой 1.

начиналось

Допустим,

что А = 4.

Тогда

число

из 6-й

строчки

бы цифрой 9. Но этого не может быть,

так как при вычитании из

шестизначного числа (строчка

5) шестизначного числа (строчка 6)

получаем шестизначное число (строчка

7).

Итак, А ф 4.

По этой же причине А Ф 3.

Следовательно,

А = 1 или А =

2.

В силу

4-й и

8-й строчек В ф 0.

С

другой

стороны, В < 4

(в силу 6-й строчки).

вид

Если делитель

имеет

11117Г, 11127Г или 11137Г,

то при любом значении

Г в 8-й

строчке

третья

цифра справа не

будет равна 7.

А Ф 1

и В > 3.

Следовательно,

Итак, делитель имеет вид

Х2БВ7Г.

Все до

сих пор

установленное

внесем

в данный

пример:

хх7ххххххх

ПБВ7Г

хххххх

ДЕ7ЖК

хххххТх

1хххххх

х7хххх

87хххх

ххххххх

\xxx7xx

хххххх

хххххх

о

Теперь понятно, что первой

цифрой 5-й строчки является 9,

а 7-я и 8-я строчки начинаются

цифрами 1 и 0:

хх7ххххххх

12БВ7Г

хххххх

ДЕ7ЖК

хххххТх

1хххххх

97хххх

87хххх

1Оххххх

\0xx7xx

хххххх

хххххх

~0

Так как

Поэтому в силу 6-й строчки Ж ф 9.

Итак, Ж =

8.

Далее,

123-7 = 861,

124-7

= 868,

125-7

= 875,

126-7 =

882.

Отсюда

и в силу

6-й

строчки

следует,

что

Б =

4

или

Б = 5.

Но Б ф 4 ,

так как 1249-8

= 9992 (см. 8-ю строчку). Следовательно,

Б = 5.

получаем, что 3-я

строчка

начи­

Сравнивая 3-ю и 4-ю строчки,

нается с 1

(больше

единицы первая цифра

3-й строчки не может

быть еще и потому,

что первая цифра делителя

1).

8*

115

картину:

хх7ххххххх

12557Г

хххххх

ДЕ78К

1xxxxlx

Iхххххх

97хххх

87хххх

1Оххххх

100л:7хлг

хххххх

хххххх

0

Далее,

1251-7 = 8757,

1252-7=8764, 1253-7=8771,1254-7=8778,

1255-7 =

8785, 1256-7 =

8792,

1257-7 =

8799, 1258-7 = 8806.

Поэтому (см. 6-ю строчку)

1 < В <

7.

значении Г) на 8

При

умножении

числа

125575

(при

любом

третья

цифра справа

(в 8-й

строчке) будет

равна

7

только

в том

случае, если произведение В -8 оканчивается

цифрой 2 (8В — число

четное). Но это возможно, если 5

= 4

или

5 =

9.

Но 1 < 5

7.

Итак, 5 = 4.

т. е. Г < 4 .

Так как 7-8 = 56, то Г -8 < 40,

Далее,

125470-7 = 878290 и 125474-7 = 878318.

Поэтому третья цифра слева в 6-й строчке

8,

третья цифра

слева в 5-й строчке

9, тогда

хх7ххххххх

12547Г

хххххх

ДЕ78К

\xxxx7x

1хххххх

979ххх

878ххх

101хххх

100x7хх

1ххххх

хххххх

“ 0

Из

9-й строчки следует,

что

хх7ххххххх

12547Г

хххххх

ДЕ78\

\xxxx7x

1хххххх

979ххх

878ххх

1016ххх

10037xv

12547л;

12547л:

0

Сравнивая 5-, 6- и 7-ю строчки,

получаем,

что четвертая

цифра

слева в 6-й строчке не должна

быть больше

3. А

это возможно,

если 2 < Г

4.

цифра

слева

может

быть

равна

2

или 3.

В 7-й строчке пятая

Но так как

125472-8 =

1003776,

125473-8 =

1003784,

125474-8 =

1003792,

то пятая цифра слева

в 7-й строчке

может быть

только

3

и чет­

вертая цифра в 6-й строчке 3.

С учетом этого получаем следующую ситуацию:

хх7ххххххх

12547Г