Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.10.2024
Просмотров: 110
Скачиваний: 0
Г л а в а 4. РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. А л г е б р а и ч е с к и й м е т о д р е ш е н и я т е к с т о в ы х з а д а ч
О составлении уравнений по условию задач
Мы не останавливаемся здесь на анализе той схемы решения текстовых задач методом составления уравнений, которой поль зуются ученики восьмилетней и средней школы. Она хорошо оправдывает себя при решении несложных задач. При решении же сложных задач трудно с самого начала установить, какую из не известных величин целесообразно обозначить через х, и еще труд нее выразить через одну (или даже две переменные) все остальные не известные величины. Такой подход затрудняет и составление урав нений. Поэтому главное при решении сложной текстовой задачи — последовательный перевод на язык уравнений каждого ее предло жения. При этом мы не ограничиваем себя количеством переменных, которые войдут в эти уравнения.
Поясним сказанное примером.
Задача. Из пункта А в пункт В выехал автомобиль, одновре менно из пункта В навстречу ему выехал мотоцикл. Через неко торое время они встретились. В момент их встречи из В в Л выехал второй мотоцикл и в некоторый момент времени встретился с авто мобилем. Расстояние между пунктами первой и второй встреч равно
то автомобиль |
встретился |
бы с первым |
мотоциклом через 3 ч |
||
после их выезда и расстояние между пунктами |
встреч |
было бы |
|||
равно 30 км. |
Определить |
расстояние от |
А до В, |
если |
скорости |
обоих мотоциклов одинаковы, причем скорость мотоцикла не больше скорости автомобиля.
В задаче говорится о следующих неизвестных величинах:
S = |AB| — расстояние между пунктами А и В (км); |
|
|||
va— скорость |
автомобиля |
(км/ч); |
|
|
vM— скорость |
мотоцикла; |
прошел |
автомобиль до встречи |
с первым |
Sa — расстояние, которое |
||||
мотоциклом; |
прошел |
первый мотоцикл до |
встречи |
|
SMl — расстояние, которое |
||||
с автомобилем; |
|
|
|
|
109
Sa — расстояние, которое |
прошел |
автомобиль |
до |
встречи |
со вто |
||||||||||||
рым мотоциклом; |
прошел |
второй |
мотоцикл |
до |
встречи |
||||||||||||
S„3 — расстояние, |
которое |
||||||||||||||||
с автомобилем; |
|
|
автомобиль |
прошел |
путь Sa (ч); |
||||||||||||
ta— время, |
за |
которое |
|||||||||||||||
tй — время, |
за |
которое |
автомобиль |
прошел |
путь |
5а; |
|||||||||||
ta— время, |
через |
которое встретился |
автомобиль |
со вторым мото |
|||||||||||||
циклом (при уменьшенной скорости автомобиля на 20 км/ч); |
|||||||||||||||||
tMl— время, |
за |
которое |
|
первый мотоцикл |
|
прошел |
расстояни |
||||||||||
tM2— время, |
за |
которое |
|
второй |
|
мотоцикл |
прошел |
расстояние |
|||||||||
Из первого |
и второго |
предложения |
задачи узнаем, что: |
|
|||||||||||||
|
|
|
ta |
|
|
|
|
|
^а^а> |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Smi = V„tM = |
VMtа, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Sa+ |
Sm, = |
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^a^a "T ^м^а = |
S. |
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
Из третьего |
предложения |
следует, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Оа*а + |
|
(*а — ta) = S. |
|
|
|
|
(2) |
|||||||
В четвертом |
предложении |
говорится, |
что |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Sa — Sa — -g- S, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
т. e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Vat'a— Vata = |
|
|
S. |
|
|
|
|
|
(3) |
|||||
Из пятого предложения получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(va — 20) • 3 + |
vM• 3 = |
S, |
|
|
|
|
(4) |
|||||||
|
|
|
(va — 20) t"a+ |
oM(4 — 3) = |
S |
|
|
|
(5) |
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ua — 20)£ — (ua — 20)-3 = |
30. |
|
|
(6) |
||||||||||
Таким образом, |
определение |
расстояния |
\АВ\ |
свелось |
к |
решению |
|||||||||||
системы уравнений |
(1) — (6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Исключив |
ta из уравнений (5) |
и (6), |
получаем |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
S + Зим |
|
|
Зиа — 30 |
|
|
|
|
(7) |
||||||
|
|
|
Va + V„ — 20 |
~~ |
va ~ 20 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ПО
Исключив t'a |
из уравнений (2) и (3), |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
■S+ |
|
|
|
“д" 5 + |
Vja |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 8 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Уз + Ум |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
После |
исключения |
t a из уравнений (1) |
и (8) |
следует |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
у * + 2р„ = 11р, + 2ом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
у&+ ум |
|
|
9оа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Преобразовав |
уравнение (9), |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Отсюда vM: va= |
2 |
или vM: va = 1 : 2. |
Но так как |
по |
|
условию |
задачи |
||||||||||||||||
ум< Уа> то |
|
|
|
|
|
Уз = 2vu. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Из уравнений (7) и (4) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2vM+ va — 20 |
|
|
р, — 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
п п |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ра+ рм— 20 |
|
|
Ра.— 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Решив |
систему уравнений (10) и (11), получаем: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
j |
pMl = |
20 км/ч, |
|
|
|
( Ум, = 5 км/ч, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
' 1 va, = 40 км/ч; |
|
|
|
1 иаг = |
10 |
км/ч. |
|
|
|
||||||||||
Очевидно, второе решение не удовлетворяет условию задачи. |
ответ: |
||||||||||||||||||||||
Подставив |
значения va и vM в |
уравнение |
(4), |
получаем |
|||||||||||||||||||
S = 120 |
км. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Два |
мальчика |
измеряют |
садовую |
дорожку |
шагами, |
начав |
двигаться |
|||||||||||||||
с противоположных |
ее концов. |
После |
того |
как |
каждый |
из |
них |
сделал по |
|||||||||||||||
10 шагов, |
расстояние |
между |
ними стало |
равным |
22 |
м. |
|
Найти |
длину садовой |
||||||||||||||
дорожки, |
если |
известно, |
что |
шаг одного мальчика на 20 |
см |
короче шага дру |
|||||||||||||||||
гого, |
и, чтобы пройти всю дорожку, ему надо сделать на |
|
10 |
шагов больше, чем |
|||||||||||||||||||
товарищу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рычажных весах, |
уравновешивается |
|||||||||||
2. Тело, взвешенное на неравноплечих |
|||||||||||||||||||||||
при взвешивании на одной чашке |
грузом а, |
при взвешивании на другой — гру |
|||||||||||||||||||||
зом Ь. |
Каков истинный вес тела? |
|
|
|
|
х и высотой |
|
у. Найти зависи |
|||||||||||||||
3. |
Задан цилиндр |
с |
радиусом основания |
|
|||||||||||||||||||
мость у от |
х и изобразить ее графически, |
если известно, что сумма площадей |
|||||||||||||||||||||
оснований |
|
на 2 л квадратных |
единиц |
меньше площади |
боковой |
поверхности. |
|||||||||||||||||
4. Из пунктов А и В одновременно |
навстречу |
друг |
другу |
выехали два |
|||||||||||||||||||
велосипедиста, которые встретились в 12 |
км от |
пункта |
В. |
Продолжая свое |
|||||||||||||||||||
движение и доехав до пунктов В и А, |
они сразу же повернули |
обратно и снова |
|||||||||||||||||||||
встретились в 6 |
км от |
А. |
Определить |
скорость |
велосипедистов |
и |
расстояние |
||||||||||||||||
\АВ \, |
если |
известно, что второй велосипедист вернулся |
в пункт В через 1 ч |
||||||||||||||||||||
после того, |
как первый вернулся |
в пункт А. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
111
5. Поезд должен пройти расстояние |
|
от |
Л |
до В за |
определенное время. |
||||||||||||||||||||||
После трехчасового пути он был задержан |
на промежуточной станции па 1 |
ч и, |
|||||||||||||||||||||||||
чтобы прибыть в срок, |
оставшуюся |
часть |
пути |
шел со скоростью |
на 4 |
км/ч |
|||||||||||||||||||||
большей, чем первоначальная. Если |
бы с такой |
скоростью |
он шел весь путь |
||||||||||||||||||||||||
АВ, то |
он прибыл бы в В на 1 |
ч 12 мин раньше. |
Найти расстояние | ЛБ| . |
|
|||||||||||||||||||||||
6 . Рабочие Иванов и Петров обрабатывают детали |
на двух станках-автома |
||||||||||||||||||||||||||
тах. По плану они должны выпускать |
вместе 2000 |
деталей |
в неделю. В первую |
||||||||||||||||||||||||
неделю оба работали |
с |
одинаковой |
скоростью. Во вторую неделю Петров по |
||||||||||||||||||||||||
высил скорость |
обработки, |
но из-за |
болезни работал только 27 |
ч вместо полной |
|||||||||||||||||||||||
рабочей недели, т. е. 41 ч. В третью |
неделю Иванов |
ушел в |
отпуск, |
н вместо |
|||||||||||||||||||||||
него поставили Новикова. Новиков |
потратил |
1 ч на |
ознакомление со станком, |
||||||||||||||||||||||||
после чего |
начал |
работать, |
|
но |
до конца |
недели работал на малой скорости |
|||||||||||||||||||||
п обрабатывал на 6 деталей |
|
в час |
меньше, |
чем Иванов. |
Петров же выздоровел |
||||||||||||||||||||||
и всю третью неделю работал с такой |
же |
|
скоростью, |
как во вторую. Оказа |
|||||||||||||||||||||||
лось, что в третью неделю было выпущено |
на |
180 |
деталей больше, чем во вто |
||||||||||||||||||||||||
рую, и на 104 |
детали |
меньше, |
чем в первую. |
Сколько |
деталей в час обрабаты |
||||||||||||||||||||||
вал каждый |
рабочий в каждую неделю? Определите |
процент |
выполнения |
плана |
|||||||||||||||||||||||
в каждую неделю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Коров кормили двумя |
видами |
кормов. |
В 1 |
ц |
первого вида |
содержится |
||||||||||||||||||||
15 кг белка |
и 80 кг углеводов. |
В |
1 |
ц |
второго |
вида |
содержится |
5 |
кг |
белка |
|||||||||||||||||
и 30 кг углеводов. |
Всего |
коровы |
получили |
58 |
ц |
углеводов |
н 10,5 |
ц белка. |
|||||||||||||||||||
Найтн общий вес корма, данного коровам. |
|
каждый. На мишени обнаружено |
|||||||||||||||||||||||||
8 . |
Два |
стрелка сделали |
|
по |
30 |
выстрелов |
|||||||||||||||||||||
40 пробоин. Сколько раз попал каждый, если |
известно, что у первого стрелка |
||||||||||||||||||||||||||
на один неудачный |
выстрел |
|
приходилось |
|
в 5 |
раз |
больше |
удачных |
выстрелов, |
||||||||||||||||||
чем у второго стрелка? |
|
состоящая из 30 |
человек, |
получила на экзамене оценки |
|||||||||||||||||||||||
9. |
Группа студентов, |
||||||||||||||||||||||||||
«2», «3», «4», «5». Сумма полученных оценок |
равна 93, причем «троек» |
было |
|||||||||||||||||||||||||
больше, чем «пятерок», |
и меньше, |
чем «четверок». |
Кроме того, число «четве |
||||||||||||||||||||||||
рок» делилось на 10, |
а |
число |
«пятерок» |
|
было |
четным. |
Определить, |
сколько |
|||||||||||||||||||
каких оценок получила группа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10. |
У школьника |
есть |
1 |
руб. |
|
монетами достоинством |
до |
10 коп. |
включи |
||||||||||||||||||
тельно. |
Известно, что если отобрать |
по одной монете |
каждого типа, |
имеюще |
|||||||||||||||||||||||
гося у школьника, |
то |
в сумме |
получится |
|
15 |
коп. |
Сколько |
монет каждого до |
|||||||||||||||||||
стоинства имеется, |
если монет самого |
большого достоинства |
больше числа всех |
||||||||||||||||||||||||
прочих |
монет на 4? |
|
|
|
положительного |
|
числа |
/(, |
увеличенный |
на |
девять, |
||||||||||||||||
11. |
Квадрат |
целого |
|
|
|||||||||||||||||||||||
делится |
без остатка |
на |
неполное |
частное |
|
от |
деления |
числа |
К на три и |
дает |
|||||||||||||||||
в частном 130. Найдите К- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12. |
Три |
тракторные |
бригады |
вместе |
|
вспахивают |
поле |
за |
4 дня. |
Первая |
|||||||||||||||||
и вторая бригады вместе вспахали |
бы это |
поле за 6 |
дней, а |
первая |
п третья — |
||||||||||||||||||||||
за 8 дней. Во |
сколько |
раз |
|
вторая |
бригада |
вспахивает за |
день больше, чем |
||||||||||||||||||||
третья? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Двое рабочих получили одинаковые задания: изготовить определенное число деталей за определенный срок. Первый выполнил задание в срок, а вто рой выполнил в срок только 90% задания, не додав столько деталей, сколько первый делал за 40 мин. Если бы второй рабочий делал в час на три детали больше, он выполнил бы задание на 95%. Сколько деталей должен был изго товить каждый рабочий?
14.В реку впадает приток. На притоке на некотором расстоянии от его устья расположен пункт А. На реке на таком же расстоянии от устья притока расположен пункт В. Время, которое требуется моторной лодке, чтобы доплыть от пункта А до устья притока и обратно, относится ко времени, которое
требуется ей, чтобы доплыть от пункта |
В до |
устья |
притока и обратно, как |
32:35. Если бы скорость моторной лодки |
была |
на 2 |
км/ч больше, то это от |
112