Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

-f 3 sin2acos2a = sin"a +

cos°a +

sin22a.

11.

194.

12. Вычислить

tg 142°30',

использовав

равенство

142°30' =

90°

45° -f- 0,5

•

15°.

13. Очевидно,

log0 16 =

= 4 : log2 6 =

4 : (1 + log23).

Далее, m = Iog1227 = 3 log12 3 = 3:Iog3 12 =

3 : (1 +

+21og3 2 )= 3 :^1 +

]0 g23 'j

=31og23: (2+log2 3). Отсюда log„3=2m: (3—m). Ответ:

logo 16 =

4 (3 — m)

■ 14.

0.

16.

Очевидно,

55 +

,—

= (4 +

/ 3 9 ) 2

и

103 —

— з + m

8 / 3 9

— 16 / 3 9

=

(8 — Г39)2. Ответ:

12.

§ 3

1 . 1) -v-! = 2 ,

ух = 2 ;

х2 =

— 2 ,

//„ =

— 2 ;

х3 — — 2 ,

ys = 2 ;

х4 = 2 ,

</4 =

— 2; х5 = 4 ]^0,4,

i/ 5 =

— 2 7^0,4; х„ =

— 4

0,4,

//„ = 2

0,4 ;

2) уравне­

ния перемножить почленно;

3) разложить левые части уравнении па множители,

затем преобразованные уравнения сложить почленно; 4) обозначим: y-\-z=t,

уг =

= н.

После исключения х получается

легко

решаемая система уравнении:

t" —

— At — ц + 1

= 0 , I2 — 41 +

it-|-5 = 0; 5) умножаем первое уравнение на у,

вто­

рое— на х.

После почленного вычитания полученных уравнений

получим 8 z2x —

— 4z2i/ =

0,

откуда у — 2х. Дальнейшее решение очевидно. 2.

После почленного

вычитания третьего

уравнения

из второго

и четвертого из второго

получаем:

(у — х) (г + 1) = 0,

(г — х) (у +

1) = 0.

Дальнейшее

решение очевидно.

3.

1) х

— 2

У 2 ; х » 1 + / 3 ;

2) х — любое действительное число.

4.

Система

ре­

шений не имеет. Исследовать функцию а =

— х1— 4х® +

8х на

(4,

+ с о ).

вто­

6 . Из первого

уравнения

г = 3 — х — у.

Подставив это значение z во

рое уравнением выполнив

очевидные преобразования, получим (х — 3)2-|-(|/— 2)2=

= 0.

Отсюда х = 3,

у — 2, затем найдем г =

— 2.

7.

Рис. 132. 8 . Рис.

133.

х=2,

у = 1 .

9.

Пусть

х1 их2 — корни

данного

уравнения.

Тогда

х1

х2 =

с: а ,

х1 + х2 = — Ь:а.

Пусть х\

и х'2 — корни

нового

уравнения.

Тогда

(х — Xj)

(х — х'2) =

0 или (х — Xi— 1) (х — х2+ 1) = 0.

Раскрыв скобки,

получим иско­

мое уравнение.

1 3 .

Да.

1 4 . Сложить почленно данные уравнения.

1 5 .

1)

Рис.

1 3 4 ;

2)

если

а

<

2 .

1 6 .

Решить

данное уравнение

относительно у.

1 7 .

2 )

х >

2 и

х < — 3 .

1 8 .

а >

1 .

2 0 .

По теореме Виетах1 -х 2 = <7,

хх +

х2 = — р,

ху +

+

х| =

(х2 +

х2)2 — 2 X i

• х2 =

р2 +

2(7- 2 1 . Рис.

1 3 5 . 2 2 . х1 =

3 ,

ух = — 2 ;

х2 =

=

— 3,

г/2 =

2 ;

х3 = 2 ,

(/з =

— 3;

х4 = — 2 ,

р4 = 3 .

2 3 .

Рассмотреть

значения

функции при х = 0, 1,

— 1.

24.

Использовать формулу Виета: — 15 < q < — 8 ;

— 3 < — р < — 1 .

25. (х + у + г) 2 = х2 -|- у'2-|- г- -\- 2ху +

2xz +

2 i/z = а - ( - 2 (л:г/ -|- уг -}- л'г) = 0 ,

(а)

(х2+ U2+ г2) 2 = а2 = л“>+ i f +

+ 2х2у2+ 2 х2г2 + 2 у2г2.

Отсюда

х4 + у4+ г4 = я3 — 2 (х2у2+ х2г2 + г/2г2) .

(б)

Из равенства (а)

ху + yz + хг = — 0 ,5а;

(ху -f- уг + гх) 2 = 0 ,25а3

нли

х2у2+ if-z2 + z2x2 + 2xy2z + 2х2(/г + 2xyz2= 0 .25а3.

(в)

Отсюда х2у2+ y2z2+

z2x3 =

0,25а2— 2xyz (у +

х + г) =

0 ,25а2 — 0 = 0 ,25а2.

Из равенств (в) н (б)

х4 +

</4 +

г4 =

0 ,5а2 .

26.

х, = Xj + * 2 =

— b: а,

х2 — х2 ■х2 =

с : а.

Поэтому

(х — Х[) ( х — Д.‘2) =

х +

^х —

= 0.

27.

1) Если дискриминант данного квадратного трех­

члена меньше нуля; 2 ) если дискриминант равен нулю.

то х

< 63 : (9а — 5).

28.

Если а = 5:9,

то — о о < х < + с о .

Если а > 5 : 9,

Если а < 5 : 9, то х

> 63 : (9а — 5).

30. Рис 136.

31. ут1п =

у (а2) =

а3 — ах.

§

4

1.

1)

Выразить х +

у и ху

из первого

и

второго

уравнений и подставит

в третье.

2 . 1) Рис. 137.

3. Если

а = ± 3, то х = 0,5;

если

а ф ±

1,

а ф ± 3>

то

х1 = ( а + 1 ) : ( а — 1)

и

х2 =

(а — 1): (а +

1).

4. 1)

Рис.

138;

2 ) а = 0,75-

5.

1)

Рис.

139; 2) четыре;

3) да, если а =

| ОЛ|,

где А — точка пересечения ги­

перболы с биссектрисой первого или третьего

координатных

углов.

7.

1) Гра­

фик у3 см.

на рис. 140;

2) если

0,5 < а <

1,

1

< а < 2. 8 . 0 < х <

3,

х < 0.

Рассмотреть это неравенство, если:

1) х >

3;

2) 0 < х < 3;

3) х < 0.

9.

— 3 <

< р < 6 .

10. Рис. 141.

11. Рис. 142. 12.

Раскрыть скобки в выражениях (х +

х ~ 1)2

и

(х + х- 1 )3 и сравнить результат с исходным уравнением.

13.

1) Гра-

У

V / - T - 4

' b

W

/ х

-/ -0.5

0

0,5

Рис.

136

Рис. 137

14 А. Б. Василевский

209

фик у3 см. на рис.

143; 2)

одно.

14.

Разложить трехчлен х2— | х | — 2 на мно­

жители для X < 0 и х > 0 .

15.

а < — 2и а > 0,5

(1 + 1^5).

17. 2) и 3).

Если

а > 0 , то X > 0 и — а < х < — 0,5сг; если

а < 0 , то

0 < дг < — 0 ,5 а

и х >

— а.

18. Если а — — 3,

то — со <

.v <+

со;

если а > — 3, то

— 4 : (а -f- 3) <

< * < 14 : (а + 3); если а < — 3,

то

14 : (а + 3) < х < — 4 :(а + 3).

19.

Обо­

значить у = х2: (х2 +

1) и

решить

данное

уравнение относительно

а. 20.

Если

а = 1 0 ,

то

х < 8 ; если а > 1 0 , то

^ ( ю _а)

< х < —g—; если

а < 1 0 ,

ТО X <

< 4а: 5 и

л: > (3 + 16 а ): 2 (10 — а).

21.

9 :8 < а < 71 :24.

23. 1)

Записать

систему

в виде

7

1

1

■

X Z

12

1

1

"

5

X Z

+

ху

12

1

~г

1

1

ху

1/2

"

3

из этой системы

1

_ 1_

1

ху

zx

определить

X Z

Уг ’ 2 ) обозначить

= и,

~У

1.

Рис. 144. 2. Функции <р (х) = (х + 8 )0,25 и / (х) = 2 + (* — 8 )0,25

опре­

делены

при х » 8 , обе монотонно возрастающие и непрерывные,

причем <р(8) =

= / (8 ) и при любом х > 8 (* + 8 )0,25 — (х — 8 )0,25 > 0.

Поэтому

данное уравне­

ние имеет_только один корень х = 8 . 3. 1) Обозначить

х3 + х2 +

0,5 ==/;

х = 1