Файл: Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие.pdf

_ , / (д с -3 )(х -4 )

Отсюда

видно,

что функция / (х) =

(х — 3) (х —• 4)

У" К (* + 1 ) (* - 3 )

( * + 1) ( л — 3)

£ 3, — 1.

Далее,

ф (х) =

(х — 4): (х +

определена при всех х

1) > 0 на (— со,

_1) и (4 ,

+ со ).

9.

2) Множество решении пустое,

если а < 0.

Уравнение

имеет два

решения,

если а > 3. Уравнение имеет одно решение,

если 0 < а < 3.

10. 1) Рис. 146; 2) х < — 2, 0 < х < \ , х

> I.

11.

Преобразовать

данное не­

равенство к виду ------------------------------

< 0. Теперь понятно, что оно верно,

если х <

0,75 или 4 < х < 7.

12.

1) Рис.

147;

2)

а >

У 5 .

13.

1) Рис.

148

(графики

изображены для а =

4,

9,

2)

16);

2)

при а > 4 .

15.

Если а=

0,то х =

если а > 1, то х = 0,25

(а —

I)2. 16.

Если 0 < а < 0,5

или

а > 1,

то х =

=

а2 ; (2а— 1).

17.

2) Если а < У 2

— 1,

то

решений нет;

если а — У~2 — 1,

то

х = 0,5 У 2 \

если

У 2

— 1

< я < 0 , 5 ,

то

л12 = 0 , 5 ( а + 1

± У а2+ 2а — 1);

если а > 0,5,

то

х =

0,5 (а +

1 — У а 2+

2 а — 1).

18,

Если

в > 1 , т о *

=

= а : (а 3

— 1);

если а < 1,

то решении

нет.

20. 1) Функции у — (2х — 6 )0,5 и

у — (х +

4)0,5 монотонные;

2)

если а < 0,2 У ? . 2 2 .

1) Обозначить (2х + 1):(л: —

— 1) = t2.

23.

2 < л: < 3.

24.

х <

1. 25. 2)

Один корень при любом значении

|я | > 20,5.

Два

корня, если |я | <

1^2.

26.

Если

а — 0, то х = ± 1, т. е.

И 1

I

211

два решения;

если а ф О, то х =

1, т. е.

одно решение.

28.

Обозначить х —

— (/ = /, x +

i/— 2 = о. Тогда / = 0; 1, т.

е. х = у,

х — у =

1 .

Кроме

того,

_1_

очевидно,

что v = 6 .

Других

решений,

кроме о =

6 ,

уравнение (о +

2) 3 =

== (v — 2 )0,5

не имеет,

так как обе части его являются монотонными функциями.

29. а >

—

30.

х = — 4,

у = 6 .

Обозначить

) / + +

</ = /,

V x - j - 2 y = v.

31.

При a >

V I з +

Построить графики функций

у =

= Y x — / F + 8

V з з '

и У — а V х +

1

при

некоторых

положительных значениях а

(с применением производной!).

32.

3) //=

1 _ | l — Х\ + У х — И

+ 1^1—х—11—х\

(рис. 45); 4)

| (/! =

| х | . 33. 1)

Рис.

149;

2) если а <

— 1 , то

решений нет;

если

— 1 < а < — 0,5,

то

а2: (1 +

2а) < х < — 1;

если

— 0 , 5 < а < 0 , то

х < — 1;

если

а > 0,

то

х <

— 1 и 0 <

х < а" : (1 +

2а). 34.

1) Рис.

150; 2)

если

а <

0,

то решений нет; если 0 < а <

1 , то

1 — 2

< х < 1 + 2

;

если

а >

1 ,

то

— а

: х <

1 +

2 / а

.

35. 2)

Если

a 0

пли а > 1, то х >

1;

если

а = 1,

то

х >

1 если

0 <

а <

1,

то х >

(а2 +

1): а.

36,

Рис.

151. 37.

х = 5 : 8 ,

у — 3:8.

38.

х = 0,

у = — 1.

§

б

2.

^ = 1 ,

х2 =

4.

3- 3)

а <

2,25.

Обозначить

3* =

t и построить график

функции а = 31— <2.

4.

Рис.

152. 5.

4 (х < — 1). 6.

х = ^ 9 : 5 ,

у = 51og9 3—2.

Возвести правую и левую часть второго

уравнения в квадрат. 7.

Т

2) Если а < 1,

то 1— У 9 — а < х < 1 — У 1 — а

или

1 + У"1 — а < * < 1 +

7^9 — а; если

1 < 'а < 9, то

1 — У 9 — а < х < 1

+

7Л) — а; если

а > 9 ,

то

решении нет.

8 .

2) ( - 3 ;

1); 3) ( - 3 ; 0,5

( - 3 - / 5 ) )

и (0,5 ( - 3 + / 5 ) ;

1).

9. 4) (—_оо;

— 1).

10.

— п < х < — 3;

— 3 < х < — 0,5я;

0 < х < 0 , 5 я ;

я < х < У 10.

11.

22 (0; 0,5)

и (1;

+

со); 3) 3

= 0,5 (3 — у Т );

=

0,5 (3 + Уъ )\

4) (0,5(3—

— / 5 ) ;

0,5)

и (1; 0,5(3 + / 5 ) ) .

12.

2)

(0,5; 1); 3) (а; 1). 13. 2)

а- 1

<

* < а.

14.

Прологарифмировать

правую и левую

части

уравнений.

15.

1)

График yi

см.

на рис.

153; 2) х = 9.

16.

Один.

Преобразовать данное уравнение к виду

х =

8 (2—* +

1): (2х +

1).

Построить

графики функций

у = х : 8

и

у =

(2~х +

+ 1):(2*+1).

17. х < 2 или х

> 3.

18.

log3 1,5 < х < 2.

Использовать

равен­

ство х = log22A\

Выражение

loga (2Х^ 1— 3)

имеет смысл,

если

2Л'+ ' — 3 > 0.

20.

1)

Преобразовать

сначала алгебраические суммы,

определяющие у1 и у2, в

произведение;

4)

х < 1,5.

21.

(— со;

0)

и (0; 0,25).

Решить

данное уравнение

относительно а и найти

область изменения а как функции х.

2 2 .

Прологариф­

мировать

обе

части

неравенства

(в

качестве основания

логарифма

взять 10).

23.

16

3 < х

< 0,5

или х > 1.

Использовать формулу log*a = 1 : logn5 (я >_0,

а ф

1,

6

>

0,

6 +

1).

24.

х = а-\- 1

и

х = а — 1,

если

а > 1,

а ф У ч ,

а ф 2;

если

а =

2,

то

х = 3.

При остальных значениях а уравнениене имеет

смысла.

25.

1) Рис. 154;

2)еслиа < 0, то 1

< х < 0,5 (1+7^(1 — 4а);

если а = 0,

то

решений нет;

если 0

<а < 0,25,

то

а < х < 0,5 (1 — 7^7 — 4а) или 0,5 (1 +

_|_ у 1

- 4 а) <

х < 1; если 0,25

<

а < 1,

то

а <

х < 1;

если

а >

1,

то решений

нет. 26. 2) Если

а <

0

или

а =

0,5;

то

решений

нет;

если 0 <

а <

0 ,5, то

1 — y i — а < х < 1 +

У \ — а; если

0 , 5 < а < 1 ,

t q I — У 1 + д < * <

У 1 — а

или

1 + Y l

— cl < х < 1 + У l + а\

если

а > 1 ,

то

1 — У~1 + а < х < 1 +

+ / 1

+

о-

27.

1) (2,1); 2) ^1,1,

^256.

16,

- |- j ;

3) (2,1);

(4,2); 4) (4;

0,25);

5)

(1,2);

(— У^б.О);

^ у -

,

6 ) если а =

6 , то .v =

у = с (с — лю­

бое положительное число);

если b =

1:а,

то х = с,

у — 1 : с (с — любое положи­

тельное число);

если а ф b и b ф 1

:а, то

.v =

1 : а и ( / = 1 : 6 .

§

7

1.

1) Рис. 155.

После

преобразования

данная функция принимает вид:

п

< а <

5л

156. После тождественных преоб­

г/ = 2 : sin4ct; 2)

. 3. 1) Рис.

4.

хх =

—j —,

x2 = ± -g - + 2 лб. Преобразовать левую часть уравнения в произ­

ведение.

5.

3)

хх = 0,5 я (26 +

1);

а 2 = arctg4 +

лб.

6.

3) х = 0,25 я +

лб.

8.

Рис.

157.

= 0,25л(26 +

1), а 2 = 0 ,5 л (26 +

1).

9.

а 1 = 0,5л6,

х2 =

я

10.

а = я 6 —

2.

Преобразовать

данное

уравнение к

виду

= ~ 2 ^ - ( 2 k + l ) .

tg (* + 1) = tg (2а + 3),

откуда

2а +

3 = х + 1 + 6я.

11. 46л < а < 4 л (6 + 1).

12.

2)

а = 0,25л +

лб.

13.

1)

Рис.

158;

2)

Х! = я ,

1

т

л .

х2 = arccos-д-

15. 1, 2 =

0,5(1 + 46

± / 1

+

86);

6 =

0,

1,

2,

3, ...

Преобразовать

данное

уравнение

к виду

sin л y~t

= sin (— nt).

16^_

1)

Рис.

159;

2)

0 < а <

<0, 5 arcsin

-1-

и

0,5-^я — arcsin

1

j < х < 0,5л.

17.

а =

=

Я- 2У -- ’- . 18.

1) Рис.

160;

2)

л6 < а <0,5л + л6.

19.

1) Рис.

161.

20.

а =

1

21.

a = b

= c = d = l .

22. а = 0,5л

+ 6л, у =

— 7л

23.

х =

= -jg -.

---- g----+ 6я.

=

0,5я (1 +

46).

Построив на [0,2я]

графики функций

у = sin6x +

cos5a

и у =

=

2 — sin4*,

вы обнаружите,

л

что они пересекаются в точке x ~ ~ 2 ~* Докажите,

что других решений на [0,2л]

данное уравнение не имеет.

24. * =

л

я&1(

± —4“ +

у =

л

+

л62,

где кх и 62 различной четности.

25.

1) Рис.

162;

2) хх =

± - | -

=

0,5я;

x2= -g-.

26.

Решений нет.

Очевидно,

что данное уравнение эквива­

лентно системе двух уравнений;

| sin а |

=

1,

|

| sin 7дс 1=

1. J

27.

Ни одного.

Построить графики левой и правой части данного уравнения на