Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

РИЖСКИЙ

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

М. С. Б Р И К М А Н . Д. С. КРИСТИНКОВ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

ИДЕНТИФИКАЦИЯ

УП Р А В Л Я Е М Ы Х

СИ С Т Е М

ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗИНАТНЕ:

РИГА 1974

О корабль, отнесут в море опять тебя волны. Что ты? Постой! Якорь брось в гавани.

Гораций

ПР Е Д И С Л О В И Е

Вэтой книге рассматриваются некоторые аспекты проблемы идентификации динамических систем (построение математических моделей по данным нормального функционирования или планируемого эксперимента): вопросы формализованного описа­ ния и математической постановки задачи иденти­

фикации на основе использования операторного подхода к описанию исследуемых систем; предла­ гаются устойчивые и сходящиеся алгоритмы реше­ ния уравнений идентификации, а также методы проверки идентифицируемости систем и истинности построенных моделей.

В связи с некорректностью по Адамару рассмат­ риваемой задачи большое внимание уделено во­ просам исследования и синтеза приближенных, регуляризующих алгоритмов ее решения, построен­ ных на базе проекционного и итерационного спосо­ бов решения функциональных уравнений и метода регуляризации Тихонова. При этом определению во всех случаях подлежит только полностью иденти­ фицируемая часть исследуемой системы.

Необходимо подчеркнуть, что в книге рассмат­ риваются аналитические методы идентификации, а не вопросы статистического оценивания, что обу­ словлено рассмотрением бесконечномерного про­ странства функциональных параметров системы.

Некоторые из полученных результатов выходят за рамки темы, определяемой названием книги, и могут быть использованы при решении других за­ дач современной теории управления. Это, естест­ венно, может потребовать некоторых доработок и изменений в соответствии с особенностями решае­ мой задачи. На подробном изложении подобных вопросов авторы не останавливались.

Книга написана, в основном, для инженеров, однако для ее понимания необходимо применение понятий функционального анализа и теории операторных уравнений, которые не входят в обычный курс математики для инженеров. Поэтому в первой главе изложены в виде, удобном для последующих ссылок и справок, необходимые сведения из этих разделов современной математики. Для тех читателей, которые пожелают углубить свои знания в данных разделах математики, мы рекомендуем подробнее изучить литературу к первой главе.

Замысел, план книги, а также общая научная редакция при­ надлежат Д. Кристинкову.

Авторы благодарны профессору, доктору физико-математи­ ческих наук Н. М. Матвееву, доктору технических наук Я. А. Гельфандбейну, кандидатам технических наук Б. Н. Новогранову и И. В. Марееву за помощь, полезные советы и за­ мечания, способствовавшие улучшению книги. Авторы также выражают свою благодарность Н. Арцыбашевой и С. Стебакову за помощь при оформлении рукописи.

М. С. Брикман, Д. С. Кристинков

ВВ Е Д Е Н И Е

Всвязи со сложностью и многообразием процессов, протекаю­ щих в современных системах управления, а также большим чис­

лом составляющих их элементов традиционный метод построения их математического описания, состоящий в получении уравнений системы на основе рассмотрения физико-химических закономер­ ностей исследуемых процессов, часто оказывается недостаточно эффективным. Это объясняется сложностью и недостаточной изученностью явлений, протекающих в исследуемой системе, а также большой размерностью и плохой обозримостью получае­ мых уравнений. -

Кроме того, никакое теоретическое рассмотрение не в состоя­ нии учесть все многообразие процессов, возникающих в функ­ ционирующих системах. Например, вне поля зрения остаются шумы элементов, изменения параметров вследствие старения или выхода из строя, погрешности измерения, неучтенные внеш­ ние воздействия и т. п. Поэтому теоретически построенное ма­ тематическое описание в значительной мере утрачивает силу при переходе к реальным условиям функционирования. —

Впоследние годы все более широкое признание и интенсив­ ное развитие получает иной подход к задаче построения матема­ тического описания — идентификация управляемых систем. Сущность этого подхода заключается в решении следующей об­ ратной задачи теории управления — построении модели на ос­ нове обработки экспериментальных данных, собранных непо­ средственно в процессе функционирования исследуемой системы,.

Внастоящее время существует много разнообразных мето­ дов идентификации, что обусловлено особенностями постановки задачи и свойствами исследуемых систем. Пригодность того или иного метода идентификации определяется такими особеннос­ тями, как линейность или нелинейность характеристик, дискрет­ ность или непрерывность системы, степень выраженности дина­ мических свойств, уровень случайных помех, возможность введе­ ния искусственных возмущений и др.

По способу накопления экспериментальных данных методы идентификации принято делить на активные и пассивные.

Активный эксперимент основан на введении в объект искус­ ственных возмущений различного вида как детерминированных,

так и случайных. В настоящее время интенсивно разрабатыва­ ется методика составления активных планов эксперимента при детерминированных зондирующих сигналах, позволяющая быс­ тро вскрывать нужные эффекты, целенаправленно продвигаться к области наилучшего режима, строить модели процесса, аде­ кватные полученным в результате эксперимента результатам. Во многих случаях для активной идентификации объектов, не под­ верженных воздействию помех, успешно применяются периоди­ ческие, в частности, синусоидальные зондирующие сигналы, при помощи которых удается сравнительно просто определить час­ тотные характеристики идентифицируемой системы.

Однако в условиях производства возможности реализации активного эксперимента существенно ограничены требованием значительной величины пробного воздействия, что в некоторых случаях может привести к отходу от нормальных условий функ­ ционирования либо даже к срыву технологического процесса.

Применение случайных тестовых сигналов позволяет осу­ ществлять идентификацию при небольшой амплитуде искусствен­ ных возмущений. Особенно широкое применение при опреде­ лении динамических характеристик статистическими методами находят псевдослучайные двоичные последовательности, что объясняется удобством их реализации и обработки на цифро­ вых вычислительных машинах.

Однако, хотя псевдослучайные зондирующие Сигналы и по­ зволяют проводить идентификацию при небольших величинах искусственных возмущений, отмеченный выше недостаток мето­ дов активного эксперимента имеет место и в этом случае. Кроме того, в условиях производства часто встречаются процессы, ко­ торые вообще не допускают подключения пробных воздействий. Вследствие этого, а также наличия неуправляемых переменных, которые необходимо учитывать и использовать при построении математического описания системы, значительно сужается сфера применения методов активной идентификации.

Способ пассивного наблюдения предполагает регистрацию переменных в режиме нормальной работы системы без внесе­ ния преднамеренных возмущений. Этот способ увеличивает дли­ тельность эксперимента, однако он оказывается экономически оправданным, когда статистическому исследованию подверга­ ется реальный промышленный процесс с непрерывным произ­ водством дорогостоящего продукта, а иногда и единственно возможным. Дополнительным преимуществом этого метода является возможность использования информации о предысто­ рии функционирования идентифицируемой системы. Поэтому пассивные наблюдения в настоящее время — основные сред­ ства получения информации об исследуемой системе с целью последующей ее идентификации.

В большинстве работ рассматриваются вопросы идентифика­ ции линейных систем, причем в качестве математического опи­ сания используется непараметрическое (интегральное уравне­ ние с неизвестной импульсной переходной функцией или его дискретный аналог) либо параметрическое (дифференциальное или разностное уравнение) представление исследуемой системы. Критерий эквивалентности обычно представляет квадратический функционал относительно разности выходных сигналов системы и модели.

Методы идентификации нелинейных систем не столь универ­ сальны. В этом случае единственным непараметрическим пред­ ставлением является описание нелинейной системы при помощи функционального ряда Вольтерра. Однако необходимость огра­ ничения количества членов подобного ряда конечным числом в итоге сближает данную модель с параметрическими. Парамет­ рические описания нелинейных систем существенно различаются между собой, что объясняется спецификой постановки конкрет­ ных задач. В основном параметрические модели представляют интегральные, дифференциальные или разностные нелинейные уравнения, содержащие неизвестный вектор параметров.

Рассмотрим основные методы решения задачи идентификации, разрабо­ танные к настоящему времени.

В книге В. В. Солодовникова и А. С. Ускова [2.31] исследованы вопросы определения непараметрического представления стационарных линейных сис­ тем на основе критерия минимума среднеквадратической ошибки и предло­ жены вычислительные алгоритмы решения получаемых уравнений. Рассмот­ ренные в работе методы позволяют сравнительно просто решить задачу иден­ тификации стационарной линейной системы, но их распространение на слу­ чай нестационарных линейных систем является затруднительным.

Большие перспективы при идентификации как линейных, так и нели­ нейных непрерывных систем имеет развитый в работе [2.33] аппарат спек­ трального анализа систем на конечных нестационарных отрезках времени. В этом случае для составления математического описания оказывается до­ статочным найти спектральное представление определяемой характеристики. Область применения данного метода ‘сужается тем, что объем вычислений может резко возрасти при неудачном выборе системы координатных функций вследствие отсутствия в общем случае достаточной информации для их выбора.

Когда задача идентификации решается для большого класса систем с идентичными статистическими характеристиками входных сигналов (напри­ мер, при осуществлении активного эксперимента), для решения уравнений идентификации удобным оказывается аппарат теории канонических разложе­ ний случайных функций [2.25]. Однако при решении отдельных задач иден­ тификации или в случае варьирования статистических характеристик вход­ ных воздействий этот метод может оказаться неэкономичным с вычисли­ тельной точки зрения.

Н. С. Райбманом на основе развитой им теории дисперсионных функций слу­ чайных процессов. При этом в качестве модели исследуемой системы рас­ сматривается условное математическое ожидание выходного сигнала при фик­ сированных значениях входного воздействия, а в качестве характеристики построенной модели — мера определенности, равная отношению дисперсии построенной модели к безусловной дисперсии выходного сигнала. Диспер­ сионные методы идентификации обладают достаточной точностью, но тре­ буют большого объема экспериментальной информации для построения мо­ дели.

В монографии Я. А. Гельфандбейна [2.13] подробно рассмотрен широ­ кий круг вопросов, связанных с идентификацией функционирующих динами­ ческих устройств, и предложено большое число алгоритмов решения задачи идентификации. Исследованные в этой работе методы охватывают способы идентификации линейных и некоторых нелинейных систем при пассивном и активном способах наблюдения.

Вопросы получения информации об исследуемой системе с целью после­ дующего ее использования в задачах управления и самонастройки изучены в известных работах Р. М. Юсупова. Такой подход позволяет повышать эффективность идентификации и осуществлять построение математической модели параллельно процессу управления. Если модель системы зависит от

В ряде задач управления оказывается достаточным построение статисти­ ческой модели исследуемой системы. Вопросы построения подобных описаний рассмотрены в работе [2.4] на основе стандартных методов регрессионного анализа. Предложенные алгоритмы могут применяться и при наличии мед­ ленного дрейфа параметров.

Внекоторых случаях исследователь располагает априорной информацией

одействующих в системе помехах, что позволяет применять для построения математических моделей методы теории статистических решений или аппарат калмановской фильтрации. Для одновременного осуществления процессов

идентификации и управления в рассматриваемом случае хорошие резуль­ таты дает применение теории дуального управления.

Если информация о плотностях распределения помех отсутствует, то применение алгоритмов стохастической аппроксимации [2.37] позволяет осу­ ществлять идентификацию стационарных систем без предварительного опре­ деления статистических характеристик наблюдаемых процессов. Для решения задачи идентификации при помощи стохастической аппроксимации обычно используется представление искомой характеристики в виде разложения в конечный ряд по известной системе линейно-независимых функций, причем точность решения в значительной мере зависит от выбора этих функций.

Большое число работ посвящено вычислительным алгоритмам решения уравнений идентификации. Следует отметить работы [2.13, 2.31], в которых изложен простейший вариант метода механических квадратур для опреде­ ления импульсной переходной функции стационарной линейной системы с ко-