Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf

Скачать файл (7,54Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

ГЛАВА I

Определение 1.8. Точка а е ! называется предельной точкой множества УсгХ, если любая окрестность точки а содержит хотя бы одну точку из У, отличную от а. Замыканием У множества У называется множество, полученное присоединением к У всех его предельных точек. Если У=У, то множество У называется зам кнутым. Подмножество У метрического пространства X открыто, если его дополнение X\ Y замкнуто.

Определение 1.9. Множество У называется плотным в мно жестве Z, если Z e F , и всюду плотным в пространстве X, если

? = Х.

Пространство X называется сепарабельным, если в этом про странстве существует счетное всюду плотное множество.

Определение 1.10. Пусть хь . . . , х т		являются		элементами
линейного пространства X, а \|3i , . . .,	pm — действительными чис-
		т
лами. Совокупность всевозможных	сумм	^	\|3iXj	называется
линейной оболочкой этих элементов.		£=1
линейной оболочкой этих элементов.

1.2.БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА1

Если линейное пространство является в то же время и метри ческим, то оно называется линейным метрическим пространст вом. Частным случаем последнего является линейное нормиро ванное пространство.

Определение 1.11. Линейное пространство Е называется нор мированным пространством, если каждому элементу х е £ по ставлено в соответствие вещественное число ||х||;>=0, которое называется нормой элемента х, причем соблюдаются следую щие условия:

1)||х||=0 тогда и только тогда, когда х = 0;

2)|рх|| = |Р |•||х|| (однородность нормы);

3)\\х + у\\sg; ||х||+ ||г/|| (неравенство треугольника). Легко показать, что величина

Р (Ч У) = \U-yW = \\у—х\\

является метрикой, поэтому нормированные пространства пред ставляют частный случай метрических пространств.

Норма элемента является естественным обобщением поня тия длины вектора.

Не следует думать, что все метрические пространства явля-

1 Излагается по работам [1.13, 1.18, 1.37].

17 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА

ются в то же время и нормированными, так как выполнения аксиом метрического пространства недостаточно для того, чтобы величина р(х, 0) являлась нормой элемента х.

Определение 1.12. Последовательность точек {хп} метричес кого пространства X называется фундаментальной, если для лю

бого е>0	найдется натуральное	число N = N(e) такое, что
р(хт, хп) < в	при m,n^N. Если в	метрическом пространстве X

каждая фундаментальная последовательность сходится к не которому элементу того же пространства, то X называется пол ным пространством.

Очевидно, что любая сходящаяся последовательность в то же время и фундаментальна. Обратное утверждение имеет ме сто не во всех пространствах.

Определение 1.13. Линейное нормированное пространство В называется пространством Банаха, если оно полно относительно сходимости по норме. Банаховым является любое конечномер ное линейное пространство.

В теории приближенных методов важную роль играют мно жества следующего вида.

Определение 1.14. Множество Т в метрическом пространстве X называется компактным, если из всякой бесконечной последо вательности {xn}cz7' можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу х е ! Компактное метри ческое пространство называется компактом.

В конечномерном банаховом пространстве всякое ограничен ное множество компактно, поэтому примерами компактных мно жеств являются отрезок на прямой, шар в m-мерном простран стве и т. п. Смысл введенного понятия становится особенно яс ным, если учесть, что в нормированном линейном пространстве компактное множество можно со сколь угодной точностью заме нить множеством, лежащим в конечномерном подпространстве, т. е. в замыкании линейной оболочки некоторого конечного множества элементов х\ ,. .. , хп^Е.

Определение 1.15. Система элементов {e,}czE называется полной в нормированном пространстве Е, если для любого е>0

и любого	найдутся такое натуральное число п и такой
	П

набор чисел |3i ,. .., |3п, что \\х— ^ |ЗгЩ||^8. Если любой эле-

г=1

мент х е £ однозначно представляется в виде х =

;=1

система элементов щ, е2, .. ., еп ,. .. называется базисом про странства Е.

2 — 2733

ГЛАВА I

Определение 1.16. Система элементов {еД называется мини мальной, если ни один элемент этой системы не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных элементов.

Любая конечная система линейно-независимых элементов минимальна. Любой базис является минимальной системой, в то же время система степеней {th} неминимальна в L2 (0,1).

Понятие минимальности играет важную роль при исследова нии устойчивости приближенных решений операторных уравнений..

В ряде случаев оказывается необходимым рассматривать функциональные пространства более узкие, чем банаховы.

Определене 1.17. Бесконечномерное линейное пространство Н называется вещественным гильбертовым пространством, если выполняются следующие требования.

1. -Каждой паре х и у элементов из Н поставлено в соответ ствие действительное число (х,у), называемое скалярным про

изведением этих элементов, причем
а) (х,у) = (у,х);
б)	(x + y,z) = (x,z) + (y,z)-,	действительного числа (3;
в)	(\|3х, у) =Р(х, у) — для любого
г)	(х, х) 5=0, причем (х, х) =0 только при х = 0.
2.	Пространство Н полно по метрике р(х, у) =ф (х — у, х — у ).
Из	определения ясно, что любое	гильбертово пространство

является в то же время и банаховым с нормой ||х||=У(х, х). Обратное утверждение имеет место в том и только в том случае, когда для любых элементов х, у ^ В выполняется равен

ство параллелограмма

\\x+y\\*+\\x-yP=2(\\x\\*+\\y\p). (1.2)

Конечномерное линейное пространство размерности т со скалярным произведением будем называть евклидовым и обо значать Нт.

В гильбертовых пространствах имеет место важное неравен ство Буняковского—Шварца

I (х>У) I =£= IWI •llyll

(1.3)

и естественным образом вводится понятие ортогональности. Определение 1.18. Два элемента х и у<=Я называются орто

гональными, хА_у, если (х, у) =0. Элемент х называется орто гональным подпространству /,с=Я, если х ортогонален каждому элементу этого подпространства. Совокупность всех элемен тов х, обладающих этим свойством, образует подпространство М, называемое ортогональным дополнением к L.

Определение 1.19. Система элементов {еДсгЯ называется ортогональной, если

(^г> &h) ---&ihy

(1.4)

19		ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
где 6ifc=	\| q	— символ Кронекера.
Числа	Ci—(x,ei)		называются		коэффициентами	Фурье эле
мента х по системе {е,}.
Значение коэффициентов Фурье состоит в том, что линейная
	гг
комбинация ^		Сгвг	дает	лучшую	аппроксимацию	элемента х
	£= 1				п
					п
по сравнению с другими комбинациями вида						(3<ej, т. е.
					1= 1
	I 1	П		j	П
	I 1	Zj Cie\ \|" У IWI2—X j
		2=1		'	г=1
			< 11*- Ei		11•
				i=i
Из этого соотношения вытекает известное неравенство Бес
селя			оо
			оо
			X	(х,ег-)2< М 2-		(1.5)
			2= 1

Отметим, что любая ортонормальная система является ми нимальной.

Определение 1.20. Полная ортонормальная система называ ется ортонормальным базисом пространства Н.

Необходимым и достаточным условием полноты ортонормальной системы является наличие в (1.5) знака равенства для любого х е Я . Неравенство (1.5) в этом случае переходит в равенство Парсеваля.

В заключение данного параграфа отметим, что любая ли нейно-независимая система элементов {qpi}czH может быть ортонормирована при помощи процесса ортогонализации Шмидта. При этом элементы ортонормальной системы {е*} определяются по следующим формулам:

ei = Vi{\\Vi\\)-^	п4=ф1;
	( 1.6)
^г+1= фг+1—	(фг, фг+i) Фг,
h—A

причем линейные оболочки систем {ф*} и {е*} совпадают.

ГЛАВА I

1.3.ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

ИСОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА1

Определение 1.21. Если каждому элементу х линейного про странства X поставлено в соответствие некоторое действитель ное число f(x), то f(x) называется функционалом на X. Фун кционал f(x), определенный на линейном нормированном про странстве Е, называется линейным непрерывным функционалом, если выполнены следующие условия:

1)f($x + \y) = |3/(х) +Я/(г/) (линейность);

2)/ (xn)^-f(x) при хп~ух (непрерывность).

Таким образом, функционал представляет собой действитель ную функцию, определенную на линейном пространстве. В част ности, любая вещественная непрерывная функция скалярного или векторного аргумента является примером непрерывного функционала.

Определение 1.22. Линейный функционал / называется огра ниченным на Е, если для всех выполняется неравенство |/(х) |sg;c||x||, с > 0. Наименьшее из чисел с, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой функционала f(x) и обозначается ||/||, причем

\|\|/\|\|= s u p s	u p	\|/(*)\|.
жеЕ	\|\|хЦ=1

В гильбертовом пространстве Я любой линейный непрерыв ный функционал единственным образом записывается при по мощи скалярного произведения

f(x) = (x,y), ||/||= ||у\\н, х, у<=Н.

Определение 1.23. Множество всех непрерывных линейных функционалов /(х ), определенных на линейном нормированном пространстве Е, образует банахово пространство Е*, которое называется пространством, сопряженным к пространству Е.

Подчеркнем, что сопряженное пространство является ба наховым, т. е. нормированным и полным, даже если исходное нормированное пространство неполно. При помощи линейных функционалов в нормированном пространстве вводится понятие сходимости, отличное от сходимости по норме.

Определение 1.24. Последовательность Х\ , .. ., хп ,. .. эле

ментов линейного нормированного пространства Е слабо схоСЛ

дится к элементу х<=Е и обозначается хп— ух, если /(х„)->-/(х) для любого непрерывного линейного функционала /е £ * .

Введенную ранее сходимость по норме часто называют силь ной сходимостью. В конечномерных пространствах оба типа

1 Излагается в основном по работам [1.12, 1.13, 1.18, 1.26, 1.37].