Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 137
Скачиваний: 0
ГЛАВА I |
16 |
Определение 1.8. Точка а е ! называется предельной точкой множества УсгХ, если любая окрестность точки а содержит хотя бы одну точку из У, отличную от а. Замыканием У множества У называется множество, полученное присоединением к У всех его предельных точек. Если У=У, то множество У называется зам кнутым. Подмножество У метрического пространства X открыто, если его дополнение X\ Y замкнуто.
Определение 1.9. Множество У называется плотным в мно жестве Z, если Z e F , и всюду плотным в пространстве X, если
? = Х.
Пространство X называется сепарабельным, если в этом про странстве существует счетное всюду плотное множество.
Определение 1.10. Пусть хь . . . , х т |
являются |
элементами |
||
линейного пространства X, а |3i , . . ., |
pm — действительными чис- |
|||
|
|
т |
|
|
лами. Совокупность всевозможных |
сумм |
^ |
|3iXj |
называется |
линейной оболочкой этих элементов. |
|
£=1 |
|
|
|
|
|
|
1.2.БАНАХОВЫ И ГИЛЬБЕРТОВЫ ПРОСТРАНСТВА1
Если линейное пространство является в то же время и метри ческим, то оно называется линейным метрическим пространст вом. Частным случаем последнего является линейное нормиро ванное пространство.
Определение 1.11. Линейное пространство Е называется нор мированным пространством, если каждому элементу х е £ по ставлено в соответствие вещественное число ||х||;>=0, которое называется нормой элемента х, причем соблюдаются следую щие условия:
1)||х||=0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)|рх|| = |Р |•||х|| (однородность нормы);
3)\\х + у\\sg; ||х||+ ||г/|| (неравенство треугольника). Легко показать, что величина
Р (Ч У) = \U-yW = \\у—х\\
является метрикой, поэтому нормированные пространства пред ставляют частный случай метрических пространств.
Норма элемента является естественным обобщением поня тия длины вектора.
Не следует думать, что все метрические пространства явля-
1 Излагается по работам [1.13, 1.18, 1.37].
17 ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
ются в то же время и нормированными, так как выполнения аксиом метрического пространства недостаточно для того, чтобы величина р(х, 0) являлась нормой элемента х.
Определение 1.12. Последовательность точек {хп} метричес кого пространства X называется фундаментальной, если для лю
бого е>0 |
найдется натуральное |
число N = N(e) такое, что |
р(хт, хп) < в |
при m,n^N. Если в |
метрическом пространстве X |
каждая фундаментальная последовательность сходится к не которому элементу того же пространства, то X называется пол ным пространством.
Очевидно, что любая сходящаяся последовательность в то же время и фундаментальна. Обратное утверждение имеет ме сто не во всех пространствах.
Определение 1.13. Линейное нормированное пространство В называется пространством Банаха, если оно полно относительно сходимости по норме. Банаховым является любое конечномер ное линейное пространство.
В теории приближенных методов важную роль играют мно жества следующего вида.
Определение 1.14. Множество Т в метрическом пространстве X называется компактным, если из всякой бесконечной последо вательности {xn}cz7' можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому элементу х е ! Компактное метри ческое пространство называется компактом.
В конечномерном банаховом пространстве всякое ограничен ное множество компактно, поэтому примерами компактных мно жеств являются отрезок на прямой, шар в m-мерном простран стве и т. п. Смысл введенного понятия становится особенно яс ным, если учесть, что в нормированном линейном пространстве компактное множество можно со сколь угодной точностью заме нить множеством, лежащим в конечномерном подпространстве, т. е. в замыкании линейной оболочки некоторого конечного множества элементов х\ ,. .. , хп^Е.
Определение 1.15. Система элементов {e,}czE называется полной в нормированном пространстве Е, если для любого е>0
и любого |
найдутся такое натуральное число п и такой |
|
П |
набор чисел |3i ,. .., |3п, что \\х— ^ |ЗгЩ||^8. Если любой эле-
г=1
мент х е £ однозначно представляется в виде х =
;=1
система элементов щ, е2, .. ., еп ,. .. называется базисом про странства Е.
2 — 2733
ГЛАВА I |
18 |
Определение 1.16. Система элементов {еД называется мини мальной, если ни один элемент этой системы не принадлежит замкнутой линейной оболочке остальных элементов.
Любая конечная система линейно-независимых элементов минимальна. Любой базис является минимальной системой, в то же время система степеней {th} неминимальна в L2 (0,1).
Понятие минимальности играет важную роль при исследова нии устойчивости приближенных решений операторных уравнений..
В ряде случаев оказывается необходимым рассматривать функциональные пространства более узкие, чем банаховы.
Определене 1.17. Бесконечномерное линейное пространство Н называется вещественным гильбертовым пространством, если выполняются следующие требования.
1. -Каждой паре х и у элементов из Н поставлено в соответ ствие действительное число (х,у), называемое скалярным про
изведением этих элементов, причем |
|
|
а) (х,у) = (у,х); |
|
|
б) |
(x + y,z) = (x,z) + (y,z)-, |
действительного числа (3; |
в) |
(|3х, у) =Р(х, у) — для любого |
|
г) |
(х, х) 5=0, причем (х, х) =0 только при х = 0. |
|
2. |
Пространство Н полно по метрике р(х, у) =ф (х — у, х — у ). |
|
Из |
определения ясно, что любое |
гильбертово пространство |
является в то же время и банаховым с нормой ||х||=У(х, х). Обратное утверждение имеет место в том и только в том случае, когда для любых элементов х, у ^ В выполняется равен
ство параллелограмма
\\x+y\\*+\\x-yP=2(\\x\\*+\\y\p). (1.2)
Конечномерное линейное пространство размерности т со скалярным произведением будем называть евклидовым и обо значать Нт.
В гильбертовых пространствах имеет место важное неравен ство Буняковского—Шварца
I (х>У) I =£= IWI •llyll |
(1.3) |
и естественным образом вводится понятие ортогональности. Определение 1.18. Два элемента х и у<=Я называются орто
гональными, хА_у, если (х, у) =0. Элемент х называется орто гональным подпространству /,с=Я, если х ортогонален каждому элементу этого подпространства. Совокупность всех элемен тов х, обладающих этим свойством, образует подпространство М, называемое ортогональным дополнением к L.
Определение 1.19. Система элементов {еДсгЯ называется ортогональной, если
(^г> &h) ---&ihy |
(1.4) |
19 |
|
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
||||
где 6ifc= |
| q |
— символ Кронекера. |
|
|||
Числа |
Ci—(x,ei) |
называются |
коэффициентами |
Фурье эле |
||
мента х по системе {е,}. |
|
|
|
|||
Значение коэффициентов Фурье состоит в том, что линейная |
||||||
|
гг |
|
|
|
|
|
комбинация ^ |
Сгвг |
дает |
лучшую |
аппроксимацию |
элемента х |
|
|
£= 1 |
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
по сравнению с другими комбинациями вида |
(3<ej, т. е. |
|||||
|
|
|
|
|
1= 1 |
|
|
I 1 |
П |
|
j |
П |
|
|
Zj Cie\ |" У IWI2—X j |
|
||||
|
|
2=1 |
|
' |
г=1 |
|
|
|
|
< 11*- Ei |
11• |
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
|
Из этого соотношения вытекает известное неравенство Бес |
||||||
селя |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
(х,ег-)2< М 2- |
(1.5) |
|
|
|
|
2= 1 |
|
|
|
Отметим, что любая ортонормальная система является ми нимальной.
Определение 1.20. Полная ортонормальная система называ ется ортонормальным базисом пространства Н.
Необходимым и достаточным условием полноты ортонормальной системы является наличие в (1.5) знака равенства для любого х е Я . Неравенство (1.5) в этом случае переходит в равенство Парсеваля.
В заключение данного параграфа отметим, что любая ли нейно-независимая система элементов {qpi}czH может быть ортонормирована при помощи процесса ортогонализации Шмидта. При этом элементы ортонормальной системы {е*} определяются по следующим формулам:
ei = Vi{\\Vi\\)-^ |
п4=ф1; |
|
( 1.6) |
^г+1= фг+1— |
(фг, фг+i) Фг, |
h—A |
|
причем линейные оболочки систем {ф*} и {е*} совпадают.
2*
ГЛАВА I |
20 |
1.3.ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
ИСОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА1
Определение 1.21. Если каждому элементу х линейного про странства X поставлено в соответствие некоторое действитель ное число f(x), то f(x) называется функционалом на X. Фун кционал f(x), определенный на линейном нормированном про странстве Е, называется линейным непрерывным функционалом, если выполнены следующие условия:
1)f($x + \y) = |3/(х) +Я/(г/) (линейность);
2)/ (xn)^-f(x) при хп~ух (непрерывность).
Таким образом, функционал представляет собой действитель ную функцию, определенную на линейном пространстве. В част ности, любая вещественная непрерывная функция скалярного или векторного аргумента является примером непрерывного функционала.
Определение 1.22. Линейный функционал / называется огра ниченным на Е, если для всех выполняется неравенство |/(х) |sg;c||x||, с > 0. Наименьшее из чисел с, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой функционала f(x) и обозначается ||/||, причем
||/||= s u p s |
u p |
|/(*)|. |
жеЕ |
||хЦ=1 |
|
В гильбертовом пространстве Я любой линейный непрерыв ный функционал единственным образом записывается при по мощи скалярного произведения
f(x) = (x,y), ||/||= ||у\\н, х, у<=Н.
Определение 1.23. Множество всех непрерывных линейных функционалов /(х ), определенных на линейном нормированном пространстве Е, образует банахово пространство Е*, которое называется пространством, сопряженным к пространству Е.
Подчеркнем, что сопряженное пространство является ба наховым, т. е. нормированным и полным, даже если исходное нормированное пространство неполно. При помощи линейных функционалов в нормированном пространстве вводится понятие сходимости, отличное от сходимости по норме.
Определение 1.24. Последовательность Х\ , .. ., хп ,. .. эле
ментов линейного нормированного пространства Е слабо схоСЛ
дится к элементу х<=Е и обозначается хп— ух, если /(х„)->-/(х) для любого непрерывного линейного функционала /е £ * .
Введенную ранее сходимость по норме часто называют силь ной сходимостью. В конечномерных пространствах оба типа
1 Излагается в основном по работам [1.12, 1.13, 1.18, 1.26, 1.37].