Файл: Брикман, М. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
11 ВВЕДЕНИЕ
вечной памятью, а также ряд статей, в которых подробно рассмотрены во просы применения метода наименьших квадратов для решения той же за дачи.
Метод наискорейшего спуска, предложенный Л. В. Канторовичем [1.10] для решения широкого класса функциональных уравнений, использован ря дом авторов для решения уравнений идентификации стационарных систем в установившемся и пеустановившемся режимах, а также для определения импульсной переходной функции нестационарной линейной системы. Прак тическую ценность большинства работ по вычислительным аспектам иден тификации снижает отсутствие исследований по устойчивости и сходимости предлагаемых алгоритмов.
Весьма важное значение в задаче идентификации имеет вопрос о бли зости модели и объекта в том случае, когда уравнение, описывающее модель, адекватно уравнению объекта.
Следует подчеркнуть, что задача идентификации относится к классу обратных задач и является некорректно поставленной по Адамару в том смысле, что отсутствует непрерывная зависимость решения задачи от экс периментальной информации.
Таким образом, расхождение истинной и определенной характеристик может быть сколь угодно велико, если для решения задачи использовать обычные вычислительные процедуры.
В последние годы советскими математиками разработав мощный аппарат для решения некорректно поставленных задач, позволяющий получать реше ние, устойчивое по отношению к вариациям исходных данных задачи.
Основными методами, позволяющими связать точность решения с по грешностью имеющейся информации, являются: метод регуляризации А. Н. Тихонова [1.31], метод квазирешений В. К- Иванова [1.7] и различные их модификации [1.4, 1.17]. Эффективность использования метода регуляри зации для решения уравнений идентификации продемонстрирована примени тельно к задачам определения непараметрических, представлений стационар ных линейных и нелинейных систем.
Другой путь решения некорректных задач, сводящихся к интегральным уравнениям Фредгольма первого рода, предложен Л. П. Грабарь [2.14] п состоит в аппроксимации искомого решения отрезком разложения по поли номам Чебышева. Степень аппроксимирующего полинома выбирается с уче том информации о погрешностях эксперимента. Этот метод был применен для определения импульсной переходной функции стационарной линейной системы [2.18].
Корректное решение многих задач идентификации может быть получено также при помощи предложенного А. Г. Ивахненко метода группового учета аргументов.
Таким образом, к настоящему времени разработано боль шое количество методов идентификации различных классов сис тем (дискретных и непрерывных, линейных и нелинейных, одно мерных и многомерных). При этом вследствие многочисленности
ВВЕДЕНИЕ |
1о |
|
1Z, |
||
|
предложенных алгоритмов и большого разнообразия исследуе мых процессов каждый из разработанных методов применим для определенного, довольно узкого класса систем. Кроме того, во многих работах отсутствует исследование оценок погрешности, устойчивости, сходимости и корректности предлагаемых алгорит мов, а также степени адекватности построенной модели и объ екта, что в значительной степени ограничивает возможности применения этих методов.
Ниже рассматриваются вопросы разработки устойчивых ана литических методов решения задачи идентификации на основе использования операторного подхода к описанию динамических систем, что позволяет распространить полученные результаты на системы достаточно общего вида, т. е. на системы, уравне ния которых линейны относительно определяемых характерис тик*. Такими системами, в частности, можно считать нелинейные управляемые системы, описываемые непараметрическим пред ставлением типа ряда Вольтерра, либо параметрическим, ли нейным относительно обобщенных параметров**. Для решения получаемых уравнений идентификации предлагаются сходя щиеся алгоритмы проекционного и итерационного типов, что позволяет связать информацию о погрешностях эксперимента с точностью решения задачи и тем самым удовлетворить требо ваниям устойчивости. Кроме того, предлагаемые алгоритмы по зволяют во многих случаях находить оценки погрешности при ближенного решения, а также исследовать степень адекватности модели и системы.
Следует отметить также, что полученные в монографии урав нения идентификации и предложенные методы их решения мо гут найти широкое применение и в других разделах теории управления, например, при синтезе оптимальных, в смысле Ви нера, линейных систем; в задачах статистической линеаризации при использовании как обычных, так и дисперсионных методов;, при статистическом синтезе нелинейных систем, представимых функциональным рядом Вольтерра, в случае гауссовских вход ных сигналов и др. Поэтому вопросы создания простых устой чивых методов решения уравнений идентификации имеют боль шое самостоятельное значение и перспективы.
*См. определение 2.3, § 2.2.
**Выбор для исследования подобного класса систем базируется на воз можности аппроксимации широкого класса нелинейных операторов при по
мощи полилинейного операторного ряда, линейного относительно определяю щих ряд обобщенных параметров.
Г Л А В А I
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
Излагаемое ниже ни в коей мере не претендует на полноту,
так как приводятся без доказательств только |
те результаты |
из области функционального анализа, которые |
будут необхо |
димы при разработке аналитических методов задачи иден тификации. Желающим подробно изучить функциональный анализ или ознакомиться с доказательствами приведенных теорем рекомендуем воспользоваться работами, упомянутыми в списке литературы в конце книги.
Кроме традиционных разделов функционального анализа приводим ряд сведений из теории приближенного решения операторных уравнений и некорректно поставленных задач. Это объясняется целью — разработать устойчивые сходящиеся вычислительные алгоритмы приближенного решения задачи идентификации.
В конце книги в приложении приводятся основные типы функциональных пространств, которые используются при ис следовании конкретных задач.
1.1. АБСТРАКТНЫЕ ПРОСТРАНСТВА1
Под абстрактным пространством X понимается некоторое мно жество элементов а, Ь, с ... Обычно в качестве элементов про странства рассматриваются числа (натуральные, рациональные, действительные и т. д.), векторы, матрицы, функции одной или нескольких переменных и т. д.
Понятие множества играет основную роль при введении понятия пространства, однако само оно является настолько общим, что трудно дать ему определение, которое не сводилось бы к замене слова «множества» его синонимами.
Ниже мы будем рассматривать только векторные или ли нейные пространства.
Определение 1.1. Вещественным линейным пространством называется множество элементов X, удовлетворяющее следую щим требованиям.
1. Определена сумма а + b двух любых элементов множес тва X, являющаяся элементом того же множества, причем опе рация сложения имеет следующие свойства:
а) a + b= b + a — коммутативность;
1 Излагается в основном по работам [1.13, 1.18, 1.37].
ГЛАВА I |
14 |
|
б) |
а + (Ь + с) —(а + b) + с — ассоциативность; |
что |
в) |
в X существует единственный элемент 0 такой, |
|
а+ 0= 0+ а= а;
г) для каждого элемента а из X существует однозначно
определенный элемент того же пространства |
( — а) |
такой, что |
а + ( — а) = { — а )+ а = а —я = 0. |
( — а) |
— элемен |
Элемент 0 называется нулевым, а элемент |
том, противоположным а.
2. Определена операция умножения элементов множества X на вещественные числа а, р, . . . , причем аа принадлежит мно жеству X и выполнены условия:
а) а(ра) = (сф)а — ассоциативность умножения; *( ^+"р)?а —Па +рц } — дистрибутивность умножения;
в) \а= а\=а.
При рассмотрении линейных пространств вводятся понятия линейной зависимости и линейной независимости элементов.
Определение 1.2. Элементы х\ , . .. , хп вещественного линей ного пространства X называются линейно-зависимыми, если име ются не равные одновременно нулю действительные числа Pi , . . . , рп такие, что
П |
|
Y Pi*i = 0. |
(1.1) |
2=1 |
|
В противном случае элементы хг , . . . хп называются линейно независимыми. Бесконечная система элементов называется ли нейно-независимой, если любой конечный набор различных эле ментов этой системы линейно независим.
Определение 1.3. Если в линейном пространстве X сущест вует от линейно-независимых элементов, а любые (от+1) эле ментов линейно зависимы, то от называется размерностью про странства X. Если размерность конечна (от<оо), то простран ство X называется конечномерным.
Одной из важнейших операций математического анализа является предельный переход. С целью введения этой операции в функциональном пространстве используется понятие метри ческого пространства, играющее значительную роль в совре менной математике.
Определение 1.4. Пространство X называется метрическим, если каждой паре его элементов х, у ставится в соответствие неотрицательное число р(х, у) — расстояние между элемен тами х и у, удовлетворяющее следующим условиям:
а) р(д:, у) =0 тогда и только тогда, когда х = у (аксиома тож дества) ;
15 |
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА |
||
б) |
р(х, у) = р(у, х) (аксиома симметрии); |
треугольника). |
|
в) |
р(х, у) *Sp(x, z) + p(z, у) |
(неравенство |
|
Элементы метрического пространства называются точками. |
|||
Открытым (соответственно |
замкнутым) |
шаром с центром |
|
в точке а и радиусом г называется совокупность элементов х метрического пространства X, удовлетворяющая неравенству р(а, х ) < г (соответственно, р(а, х ) ^ г ) . Окрестностью точки а называется произвольный шар с центром в этой точке. Мно жество метрического пространства, лежащее внутри некоторого шара конечного радиуса, называется ограниченным.
Введем понятие предела в метрическом пространстве. Определение 1.5. Элемент х метрического пространства X
называется пределом последовательности элементов xi ,. ..,
хп , ••• из X:
х = lim хп,
если р(х, хп)—>-0 при п-^-оо.
В метрическом пространстве вводятся многие понятия тео рии множеств. Если элемент а принадлежит множеству X, то
пишут: й е ! Запись а е ! обозначает, что элемент а не при надлежит множеству X. Множество называется пустым и обоз начается 0 , если оно не содержит ни одного элемента.
Определение 1.6. Множества X и У называются эквивалент ными тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Если все элементы, из которых состоит множество У, входят и в множество X, то У называется подмножеством
X(Yc=X).
Например, натуральные числа образуют подмножество в множестве всех действительных чисел.
Определение 1.7. а) Объединением Z = X\JY называется мно жество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств X и У;
б) пересечением Z = X[)Y называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как X, так и У;
в) разностью Z — X\Y называется совокупность тех элемен тов X, которые не принадлежат У.
Простейшим примером бесконечного множества является счетное множество, т. е. множество, элементы которого можно пронумеровать при помощи бесконечной последовательности х\, Х2 , . . . , хп , ••• Так, счетное множество точек действительной оси представляет собой пример бесконечного множества меры нуль. Счетными являются множества натуральных, целых и рациональных чисел, множества целых степеней некоторого числа и т. п.