Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А I

ГАРМОНИЧЕСКОЕ

ВОЗБУЖДЕНИЕ

§ 1. Колебания без трения

Симметричные характеристики. Рассмотрим стацио­ нарные вынужденные колебания нелинейной системы, описываемые [12] уравнением 1

x(t) +

R (х) = F cos at,

(1.1)

где R (х) — симметричная

характеристика,

R (х) = — R (— х).

В соответствии с идеей метода переменного масштаба [9, 13] преоб­

разуем уравнение (1.1) к виду

 

 

 

г"(е) + г ( е ) = Я ( 8 ) .

(1.2)

Для этого воспользуемся

соотношениями

 

 

z(в) = /(*),

е = Ф ( 0,

(1.3)

где / (х) — амплитудная

функция;

ф (f)

— фазовая функция.

Про­

дифференцируем дважды

по е первое

соотношение (1.3).

Имеем

z" (е) = 1- if M i f + г w 4-(i) - г w (f )2+

+ Г(х) ф * ~ ^

• 4 - = г w

 

+ г w - V - f

w ^ - •

ф 2

ф

ф а

ф 2

ф 3

Подставив выражения (1.3) и (1.4) в уравнение (1.2), после простых

преобразований получим

 

 

 

 

 

х +

X W _

Д Ш

J

i +

f W ; ^ W

= Ж^О-Н (е). (1.5)

 

/ М

Ф(о

 

 

/ м

/ w

Сопоставляя

уравнения

(1.1) и (1.5), видим, что они будут совпадать

при выполнении условий

 

 

 

 

 

 

 

, Г

|

1 _

Ж = 0 ;

(1.6)

1 Здесь и далее величины с точками — производные по времени, со штриха­ ми — по координатам е или х.

/ ( T w ( ° = R ( x ) l

( I J )

^-Н(г)

=Fcos(x>t.

(1.8)

Выражение (1.6) можно записать так:

dx

l

d/' (x)

1

d(p(0

или

(х)_ d(j)(0

Г (*)

qi (о

 

Интегрируя, получим In /' (х) = In ф (t) +

С0 . Полагая произволь­

ную постоянную равной нулю (С0

= 0), приходим к равенству

П*) =

Ф(0-

(1-9)

Подставляя это равенство в формулы

(1.7) и (1.8), будем

иметь

f(x)f'(x)=R(x);

 

(1.10)

Я (в) =-Д—cosarf.

(1.11)

Ф(0

 

 

Теперь уравнение (1.2) можно записать так:

 

2" (е) -ф- г (в) = - Д -

cos arf.

(1.12)

В случае стационарных вынужденных колебаний амплитуда бу­ дет постоянной. В этом состоит аналогия между стационарными и свободными колебаниями. В последнем случае, как известно [10, 131, для устойчивых колебаний с умеренно большими амплитудами допустимо линеаризовать фазовую функцию, т. е.

в в ф ( 0 » В ( .

(1.13)

Дифференцируя это выражение по времени, получаем

 

ф ( 0 » е ,

(1.14)

где 0 — частота свободных колебаний. Кроме того, приближенное равенство (1.13) позволяет записать соотношение

* = - § - .

(1.15)

Подставляя выражения (1.14) и (1.15) в уравнение (1.12), находим

z"(e)-fz(e) = ^-cos^-e.

(1.16)

Стационарные колебания определяются частным решением урав­ нения (1.16), которое находим в виде

z = сх cos

е, сг = const.

(1.17)

ю

Подставляя это выражение в уравнение (1.16), имеем

<в

F

ш

cos —Q- е =

—Q- cos -g- е.

Группируя члены и приравнивая нулю коэффициент при косинусе,

получаем сг = —-;

ГТ~~- Следовательно, частное решение (1.17)

принимает вид

 

 

 

 

2 = =

cos^-e.

(1.18)

Переходя здесь к

переменным

в соответствии

с формулами (1.3)

и (1.13), находим решение для стационарных колебаний г :

Амплитудную функцию найдем из выражения (1.10), которое можно записать так: fdf = R (х) dx. Интегрируя это выражение,

получаем JL = j # (х)

dx + С„

откуда

 

 

 

1

 

f(x) =

[2^R(x)dx

+ C]2 , С = 2С2 .

(1.20)

Как показано в работе [13], произвольная постоянная может принимать любые значения, что физически соответствует произ­ вольному выбору начала координат. В частности, полагая С = 0, получаем

 

 

 

1

 

f(x)

=

[2 ^R(x)dx)2

.

(1.21)

Иногда удобно положить

С = — 2 j R (х) dx | ж = 0 . Тогда

формула

(1.20) принимает вид

 

X

 

 

 

 

_1_

 

f(x)

=

[2 \R{u)du]2

.

(1.22)

 

 

6

 

 

Полагая в решении (1.19) cos со? = 1, х =

Л, приходим к уравнению

амплитудно-частотной характеристики

 

 

 

 

=

 

С1 -2 3 )

устанавливающей зависимость между амплитудой Л стационарных колебаний, частотой возмущения со и частотой свободных колебаний 0, в свою очередь зависящей от амплитуды.

Проиллюстрируем построение амплитудно-частотной характе­ ристики конкретными примерами.

Предполагается, что свободные колебания затухли.

11

Рассмотрим стационарные колебания маятника. Физический ма­ ятник (рис. 1) подвешен в точке О и колеблется в плоскости ху под воздействием пульсирующего момента М0 cos at. Положение центра тяжести С определяется координатами х и у. Если пренебречь тре­ нием в шарнире О и сопротивлением воздуха, то на маятник, помимо веса W и момента Af0cos at, будут действовать силы инерции: гори-

Ид COSCjt

W ••

 

w ••

зонтальная

— х и вертикальная

у,

 

 

где g — ускорение силы

тяжести.

Кроме

 

того, будет действовать инерционный мо­

 

мент — /г|з, где ар — угол

поворота

маятни­

 

ка, / — момент

инерции

маятника

относи­

 

 

 

 

тельно оси, проходящей

через

центр тя­

 

 

 

 

жести

С перпендикулярно

к плоскости ху.

 

 

 

 

 

Применив

принцип

 

Даламбера,

 

запи­

 

 

 

 

шем уравнение движения как уравнение

 

 

 

 

равновесия.

Приравняв нулю

алгебраиче­

 

 

 

 

скую

 

сумму

моментов

 

относительно

точ­

 

 

 

 

ки О, получим

 

 

 

 

 

 

 

 

D

, г

*

 

 

—

 

 

 

 

ХУ

 

w

 

 

у х +

 

 

 

 

т

 

 

 

 

—1

— )

Рис. 1. Схема физического

 

Я —S—

 

\ — (8

м а я т н и к а '

 

 

 

 

 

+ М0 cos at =

0.

 

(1.24)

Из рис. 1 видно, что х = h sin

у = h cosi|). Дифференцируя эти

равенства дважды по времени, имеем х = А-ф cos тр;

у = —/zip sin -ф;

* =

Л (opcosij)—i|j2sini|?);

у =

—/г (-ф sinг|з

 

T]J2 COS-ф).

Подставляя

эти

выражения

в уравнение (1.24), находим

 

 

 

 

 

 

 

 

W

 

(sin2 ajj + cos2 г|з)

— Wh sin +

M0

cos at = 0.

 

 

I + —h2

Поскольку sin2 ij) + cos2 -ф = 1;

/ = — r2

 

где r — радиус инерции,

 

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

 

 

 

 

 

 

то после преобразований окончательно получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•ф +

-у- sin -ф =

М cos at,

 

 

 

 

 

(1-25)

Здесь / = h + 4h

- ',

М = М0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак,

характеристика

уравнения

(1.25)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ ("Ф) =

-f- sin гр

 

 

 

 

 

(1.26)

является симметричной, непрерывной и мягкой (рис. 2, а).

 

 

 

Подставляя выражение (1.26) в формулу

(1.22) с заменой х на

находим амплитудную функцию

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_£_

sin udu

= Y2JT(l-cosi))

 

 

= 2

]/-f

sin - | - .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.27)

График амплитудной функции (1.27) представлен на рис. 2, б.

12

Смотрите также файлы