Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 100

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

нены шарниром С, масса которого т настолько велика, что массой упругих элементов можно пренебречь.

Будем рассматривать стационарные вертикальные колебания мас­ сы т вдоль оси х, вызванные пульсирующей силой F0 cos at, пре­ небрегая при этом сопротивлениями движению. В произвольном положении х на шарнир С со стороны упругих элементов будут дей­ ствовать силы Р = k (lx — у , равнодействующая которых направ­ лена по вертикали и составляет

Q = 2P sin

=

2k (lx — 4) sin wx,

 

 

где k — жесткость упругих

элементов; фх

— угол

наклона их к

горизонту. Из рис. 8 видно, что

 

 

 

 

 

 

/, — L =

Vx2

+ / 2

—

L ;

sin ф, =

.

*

..

 

Следовательно, уравнение движения имеет вид

 

 

 

тх + 2k (Vx^+P

-

g у

= р

=

F0

cos at. '

 

Это уравнение, с учетом обозначения

п = | /

2

 

можно

предста­

вить так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х + п*х (1

 

, l*

 

) =

F cos Ы,

F =

 

.

(1.47)

Введя безразмерные

величины

 

 

 

 

 

 

 

 

? =

- f 5

б =

- Ц ^ - ,

 

 

 

 

(1.48)

запишем уравнение (1.47) в виде

 

 

 

 

 

 

Разлагая характеристику этого уравнения в ряд Маклорена, имеем

R(q)=n2

• 8д + (1 +

6) (-±-q*-A

q* + -L-q> -

...)

Сохраняя два

члена ряда,

получаем

уравнение

 

 

ц — n28q + - ^ - ( 1 + 6 ) ^ =

cos erf,

(1.49)

которое справедливо при малых \q \ <

1, т. е. когда б мало и колеба­

ния происходят с малыми амплитудами. Используя первую замену

(1.48), перепишем уравнение

(1.49) так:

 

 

х — п2Ьх +

(1 + б) х3

=. F cos mt.

 

Это уравнение аналогично (1.35), причем

 

 

а = п28;

p = j £ - ( i

+ a).

(1.50)

2*

1 9

Большие колебания будут совершаться относительно неустой­ чивого положения равновесия х„. = 0. Малые колебания будут совер­ шаться относительно одного из устойчивых положений равновесия, определяемых по формуле (1.37), т. е.

x ^ ± Y ^ - = ± l Y 4 f r ^ ± l V 2 ( 8 - 8 \

б « 1 .

Эти положения равновесия отличаются на величину второго порядка малости от истинных положений, определяемых приравниванием нулю характеристики уравнения, а именно:

1 - - т т 4 = = - = 0; хт = ± У £ - Р = ±1У2Ь + б2 .

V х\ + р

Подставляя обозначения (1.50) в формулы (1.43) и (1.46), полу­ чаем уравнения амплитудно-частотных характеристик для фермы Мизеса при малой подъемистости б:

. для больших колебаний

для малых колебаний

Приведенные на рис. 7 амплитудно-частотные характеристики могут быть использованы для фермы Мизеса при выполнении условия

Приближенное решение для произвольного б можно получить, если определить а и Р из условий равенства истинной и приближенной характеристик и их первых производных для устойчивого положения статического равновесия. Эти условия приводят к следующей систе­ ме уравнений:

/?(**) = — о х » +

p*2 =

0;

*, =

/ V r 2 6 + б2 ;

 

 

7?'(JSJ = — а +

ЗР*. =

л 2

1 —

 

 

*2 Л

 

 

 

 

У ^ н *

К ( ^ + / 2 ) 3

Решая эту систему и используя обозначения (1.48), находим

 

г? 6( 6 + 2) . Q

я»

 

п , п , .

а ~ Т

"

(1 +

6)2

' Р —

2(1 н - б ) 2 / а

*

V-0K))

Подставляя эти выражения в формулы (1.43) и (1.46), получаем уравнения амплитудно-частотных характеристик для фермы Мизеса при произвольной подъемистости б:

20

для

больших

колебаний

 

 

 

 

 

 

 

б

(2

+

б) |

Л2

,

2_

Л2

 

2

 

2

 

3

 

 

 

 

 

Д) '

 

 

=F 1,54 Л [ /2б (2 + б)

 

со = 0,6л

 

• (1 +•б)2 2 L /2 б(2 + б) —2

 

—2

для

малых колебаний

 

 

 

 

 

Ю

2 = П 2

6(2 + 6)

 

Л2

 

 

 

 

Ш

 

 

"

 

(1+б)2

2 — /2б (2 + б)

 

б (2 + б)

S3

 

 

 

 

 

 

 

X

Л2

 

— 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/2б (2 + б)

 

 

 

Амплитудно-частотные

характеристики,

приведенные на рис. 7,

могут быть использованы для фермы Мизеса

при выполнении усло­

вия б/2

(2 +

б) =

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РО/ Т<0

 

 

т.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/г>о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г

/ Г<0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

\ ДА

 

 

 

 

 

 

 

х(дляЯл)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*7>о~

У

 

х(дляЯ)

/г<о

б

/Г>о

х/дляВ»)

х(дляЁ)

Рис. 9. Несимметричные характеристики:

\Г\

\/х(для^)

\ м

х(дляП)

а

— жесткая (а > 0, 0 > 0,

4 а 0 >

V 1 ); б — п о л у ж е

с т к а я

(а >

О, 0 > 0, 4а 0 = у1);

в

— мягкая ( а > 0, 0 < 0); г

— п о л

у м я г к а я ( а > 0, 0

> 0,

4а 0 <

уг).

Несимметричные характеристики. Допустим, что характеристи­ ка R (х) уравнения (1.1) несимметрична и слабо нелинейна. Тогда, разлагая ее в ряд Маклорена и сохраняя четыре члена разложения, получаем уравнение [12]

x + R(x) = F cos at (R(x) = б0 + ax + ух3 + f>x3), (1.51)

которое можно записать так: х + R^ (х) = F cos at— б0 .

Как известно [13], в зависимости от соотношений коэффициентов а, у и р возможны такие типы характеристик: жесткая, полужест­ кая, мягкая, полумягкая (рис. 9). Симметризуем характеристику

уравнения (1.51) путем замены

 

х = у — xQ; х0 = const.

(1-52)

21

Подставляя

это равенство

в

уравнение

(1.51),

получаем у +

+ (а - 2ухй

+ ЗхоВ) у + (у — ЗВл:0) г/2 +

№ = F cos at+ ах0 — yxl

-

— 6*0 — б0 . Выбираем

х0 так, чтобы

исчез

член,

содержащий

г/2.

Имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

?

- З в * 0

=

0, * 0

= - ^ _ .

(1.53)

Теперь уравнение (1.51) принимает вид

 

 

 

 

У + ац/ + № = &* + Р<жЫ,

(1.54)

где

 

V2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з р

 

 

 

 

 

 

Путем замен (1.3), аналогично (1.16), приведем

уравнение (1.54)

к виду

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 "(e) +

2(e) =

4 - ( 6 * +

F c o s

^ - 8 ) -

О-5 6 )

Частное решение этого уравнения, соответствующее стационарным колебаниям, будем искать в виде

z = cos -g- е -\- Са , Cj = const, С2 == const.

(1-57)

Подставляя это решение в уравнение (1.56) и группируя члены, по­ лучаем

-^-J cos е + С2 ^ - = 0.

Приравнивая нулю коэффициент при косинусе и свободный член,

в решение (1.57) и переходя к старым

переменным в

соответствии

с формулами (1.3) и (1.13), получаем

решение

для

стационарных

колебаний:

 

 

 

 

 

 

Полагая здесь у = ±Ат-т,

cos

= ± 1 , приходим

к уравнению

амплитудно-частотной

max

 

 

 

 

 

хар актеристики

 

 

 

/ (rp Amax)

=

±

^ _ .

 

(1.58)

'

max/

 

6 ±

е 2 - 0 ) а

 

1

Заметим, что для

частного

случая 6^ = 0

выражение (1.58)

приводится к виду (1.23). Следовательно, в этом частном случае для о ^ ^ О можно пользоваться выражением (1.34), а для а,,. <; 0— формулами (1.43) или (1.46), заменяя а на о^. Построив таким обра­ зом амплитудно-частотные характеристики для у путем смещения оси

22

Смотрите также файлы