Файл: Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 99

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Как известно [10, 13], приближенная зависимость между 0 и А имеет вид

» - / + [ ' - т ( - 4 ) 1

<1.28)

Ошибка этого приближенного равенства для А <: 120° не превы­ шает 6%. Подставляя выражения (1.27) и (1.28) в формулу (1.23)

Rffi

3 L

а

Рис. 2. Параметры маятника:

а — характеристика; б — амплитудная функция .

и полагая F = М, приходим к уравнению амплитудно-частотной характеристики

2 s i „ 4 ( X [, _ 4. ( s i n

_ _ м [, _ _•. ( s i „ 4.)

Для удобства построения графиков амплитудно-частотных ха­ рактеристик их уравнение следует разрешить относительно со и

учесть, что А может иметь как положительные, так и отрица­ \А\,град

тельные значения. Имеем

со2

XI

 

 

 

 

 

 

 

 

м

 

1

/ .

А \21

 

 

 

2 sin •

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.29)

 

1,6

о,сен

Здесь

верхний

знак

соответст­

 

Рис. 3. Амплитудно-частотные

харак­

вует А < 0,

нижний — А > 0.

теристики маятника

без трения для

Задаваясь

в

равенстве (1.29)

gll = 1 сек~2 и различных М,

сек~2-

значениями амплитуды в пределах

 

 

 

0 <. А <: 120° и принимая во внимание только

положительные

действительные

значения

со, легко

построить графики амплитудно-

частотных характеристик (рис. 3). Заметим, что в зоне А > 0 одному значению со соответствуют два значения амплитуды. В соответствии с теорией Ляпунова [62] устойчивой будет меньшая амплитуда. От­ резки кривых, которые соответствуют большим неустойчивым ам­ плитудам и не могут быть реализованы, представлены штриховыми

13

линиями. Переход с ветви А <с 0 на ветвь А > 0 осуществляется путем перескока. Штрих-пунктирной линией нанесена так называе­ мая скелетная кривая, уравнение которой получается из формулы (1.29) при М = 0:

со

= 9.

 

Сопоставляя это выражение с равенством (1.28), видим, что скелет­ ная кривая показывает характер зависимости частоты свободных колебаний от амплитуды.

f(x) Afi>0

/Л<0

J5<t

/

w

fi>07

Рис. 4. Параметры осциллятора с кубической характеристикой:

вхарактеристика; б — амплитудная функция .

Далее рассмотрим осциллятор с кубической характеристикой, колебания которого описываются уравнением Дуффинга [57, 69]

х + ах + 8л:3 = F cos at, ct > 0, Р § 0.

(1.30)

Кубическая характеристика

 

R (х) = ах + рг>

(1.31)

может рассматриваться как результат разложения произвольной слабо нелинейной характеристики в ряд Маклорена с сохранением двух членов разложения (рис. 4, а). В соответствии с формулами (1.22) и (1.31) получаем выражение для амплитудной функции:

/ (х)-[2J(«

+ 6х3 ) dx]2 = х У а + -±- Р*2 .

(1-32)

К такому же результату приходим, используя формулу (1.22). Гра­ фики амплитудной функции приведены на рис. 4, б.

Как известно [10, 13], зависимость между частотой свободных колебаний и амплитудой имеет вид 1

e = ] / " a ( l + 0,756-|-Л2 )

(1.33)

1 Точные формулы приведены в § 5.

14

Это выражение дает практически точное значение частоты в пределах

Подставляя (1.32) и (1.33) в равенство (1.23), после преобразова­ ний получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики

/

1-f 0

R \

f

(

1 + 0 , 7 5 б 4 - ^ 2

Y 2 "

шг = а

, 7 5 б 4 - Л Ч ч = 4 -

1

. (1.34)

Здесь верхний

знак

соответствует

А >

О, нижний — А •< 0.

На рис. 5 приведены амплитудно-частотные характеристики, построенные по формуле (1.34) для а = 1 сект2. Вычисления пока-

Рис. 5. Амплитудно-частотные кривые осциллятора с кубической характе­ ристикой без трения для различных F, см • сек~2:

а — ж е с т к а я система (р = 1 см 2 • сек~2): б — мягкая система (Р = —1 см 2 X X сек—2).

зывают, что радикал формулы (1.34) близок к единице и с достаточ­ ной точностью уравнение амплитудно-частотной характеристики можно записать так:

« - [ « ( ! + 0 , 7 5 ^ - ) 4 = 4 - ] ^ .

Этот результат получен ранее Дуффингом, [57, 69].

Заметим, что на рис. 5, б устойчивые ветви для А > 0,6 изобра­ жены пунктирными линиями, так как в этом случае формула (1.33) дает тем менее точные результаты, чем больше значение А. Об этом

свидетельствует

скелетная кривая

© == 0, изображенная штрих-

пунктиром для точного значения

0 и пунктиром для значения 0,

найденного по формуле (1.33).

 

Системы с

перескоком Ч Рассмотрим системы с симметричной

характеристикой, колебания которых описываются [12] уравнением

 

 

х — ах-f- fix3 = Fcos<at, a > 0 , P > 0 .

(1.35)

[24,

1 Стационарные колебания систем с перескоком рассматривались

в работах

25,

32].

 

15

В отличие от (1.31) характеристика уравнения (1.35)

 

R(x) = — ах + р*3

(1.36)

имеет три корня, т. е. три положения равновесия (рис. 6, а).

К уравнению (1.35) приводятся колебания некоторых механиче­ ских систем (хлопающие мембраны, желобчатые полосы и гибкие пологие оболочки, обратный маятник со спиральной пружиной и т. п.). Эти системы обладают интересной особенностью, состоящей в том, что переход от одной устойчивой формы к другой происходит

jj

тельная амплитудная функция .

путем перескока. Как известно [13, 31, 64], в системах с перескоком могут иметь место «малые» колебания, происходящие относительно устойчивых положений равновесия,

х* = ±У^,

(1-37)

и «большие» колебания, происходящие относительно неустойчивого положения равновесия х^ = 0. Характер колебаний зависит от амплитуды. Малые колебания возникают при условии

Л < ] / Л 2 ^ ,

(1.38)

большие имеют место при

 

Л > ] / ~ 2 ~ ^ .

(1.39)

Как показано ранее [31], частоты свободных колебаний можно определять по приближенным 1 формулам:

1 Точные формулы приведены в § 5 данной головы.

16

малые колебания

 

 

 

0М

= V ^ ] / ^ 2

| - Л г ;

(1.40)

большие колебания

 

 

 

0б =

О , 7 7 ] / 2 а ] / - | - Л 2 — 2.

(1.41)

Исследуем большие стационарные колебания, происходящие сим­ метричноотносительно неустойчивого положения равновесия х^= 0. Амплитудную функцию для этого случая получим по формуле (1.32), изменив знак перед а:

f(x) = xY-L^--a.

(1.42)

Легко видеть, что для х% < ; -у- амплитудная функция будет мнимой

(рис. 6, б). Однако значение f (А), в соответствии с условием (1.39), будет действительным. Подставляя выражения (1.41) и (1.42) в фор­ мулу (1.23), после простых преобразований получаем уравнение

амплитудно-частотной характеристики

больших колебаний

 

2

1_

 

<о2 = 1,2а(^ - А 2 — 2) 3 =F 1 , 5

4 Л 2 — 2) 6 .

(1.43)

Здесь знак минус соответствует А > 0, плюс —А <. 0.

Перейдем к рассмотрению малых стационарных колебаний, про­ исходящих относительно устойчивых положений равновесия (1.37), т. е. несимметрично относительно неустойчивого положения рав­

новесия хщ — 0. Для этого случая

необходимо выбрать такую амп­

литудную функцию, для которой имело бы место равенство

 

 

f(±Y^)

= 0.

(1-44)

Подставляя выражение (1.36) в формулу (1.20) и интегрируя,

имеем

/(*) = ( _ сиг»+

+

 

Полагая здесь С =

приходим к выражению

 

Легко видеть, что амплитудная функция (1.45) удовлетворяет усло­ вию (1.44) (рис. 6, б). Подставляя (1.45) в формулу (1.19), получаем решение для стационарных колебаний в виде

Р

2

Л

0M f

*

2'

х1

У"2р==-- =

б£„-М а а

cos car.

2 4-5

 

 

 

17

Полагая

здесь х = А и

cos со/ =

± 1 , получаем урав­

нение

амплитудно-частотной

характеристики

 

 

 

 

•Л2 =

±

 

 

2

+

/ 2 р

"

, — со

 

 

 

Принимая

во

внимание

формулу

(1.40),

после

преоб­

разований

окончательно име­

ем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

со2 = 2а (2 -

- i - Л 2 ) " ^

Рис. 7. Амплитудно-частотные характери­

 

=F F V

M

* -

стики системы с перескоком без трения

 

(сплошные линии — амплитуды

устойчи­

 

 

 

 

вых

колебаний, штриховые — амплитуды

- 1 л ° ) 9 ( А л * - 1 ) .

неустойчивых

колебаний).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.46)

 

Из графиков

на

рис. 7,

построенных

при а

=

1 сект-2, Р =

=

1 слг

секг',

можно

установить, что

следует различать два

типа амплитудно-частотных характеристик. Для больших амплитуд

возмущения

(F — 0,5;

1;

2;

4 см • сект7)

сразу

устанавливаются

большиеколебания, амплитуда которых возрастает с увеличением

частоты

возмущения.

Затем,

F0

cosut

при

некотором

значении

со,

 

 

амплитуда скачкообразно

из­

 

 

меняется

и далее продолжает

 

 

плавно уменьшаться. При до­

 

 

стижении

неустойчивого

зна­

 

 

чения Л = ]/2

большие

ко­

 

 

лебания

переходят

в

малые

 

 

вокруг положения равновесия

 

 

xij.=

1. При

малых

значени­

 

 

ях

амплитуды

возмущения

 

 

(F =

0,25

см

• сект-'2) сначала Рис. 8. Схема фермы Мизеса.

устанавливаются малые колебания. Затем они переходят в боль­

шие, которые в свою

очередь преобразуются в малые колебания.

Во всех случаях

при

со -у со Л -> 1, т. е. устанавливается положе­

ние статического

равновесия.

В качестве примера рассмотрим стационарные колебания фермы Мизеса (рис. 8). Вокруг шарниров А а В, расположенных на расстоя­ нии 21, могут свободно поворачиваться два одинаковых упругих линейных элемента (стержни или пружины), длина которых в не­ напряженном состоянии равна /.,.. На свободных концах онисоеди-

18

Смотрите также файлы