Файл: Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов.pdf

КАЗАНСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ АН СССР

КАЗАНСКИЙ ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

I Г. С. САЛЕХОВ j, Л. М. МУРАТОВ, В. Е. ПОСПЕЕВ

ВЫЧИСЛЕНИЕ РЯДОВ

И НЕСОБСТВЕННЫХ

ИНТЕГРАЛОВ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

1 973

общий метод выводы различных классических и новых приз­ наков сходимости. Для какдого признака сходимости указы­ вается класс рядов и несобственных интегралов, для которых

полезна студентам-математикам при выполнении курсовых и дипломных работ.

Издательство Казанского университета. 1973 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Многие задачи теории и практики приводят к вычисле­ нию сумм бесконечных рядов с положительными членами и значений несобственных интегралов от положительных функций как в одномерном, так и многомерном случаях. Весьма редко удается свести их вычисление к вычислению значений табулированных функций. В связи с этим приобре­ тает актуальное значение разработка приближенных мето­ дов вычисления рядов и несобственных интегралов. Даже оптимальное использование современных электронно-вычис­ лительных машин (ЭВМ) не снижает практическую ценность разрабатываемых методов решения таких задач. Во многих случаях приходится вычислять суммы рядов и значения несобственных интегралов, имеющих очень слабую сходи­ мость, и непосредственное использование ЭВМ для числен­ ного решения указанных задач с любой требуемой точ­ ностью оказывается практически невозможным. Простым

сходимости обыкновенных и кратных рядов с положитель­ ными членами, а также несобственных интегралов от поло­ жительных функций. Излагаемый материал иллюстрируется многочисленными примерами, взятыми отчасти из приложе­ ний и теоретических исследований.

В отборе материала и его изложении авторы придержи­ вались содержания, методов и идей книги Г. С. Салехова

ласти. Тем самым назрела необходимость издания настоя­ щей книги, так как вышеназванная книга Г. С. Салехова была выпущена малым тиражом и быстро разошлась.

Книга состоит из четырех глав.

3

ГЛАВА I

ВЫЧИСЛЕНИЕ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ОБЩИЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ И ОЦЕНКА ОСТАТКА РЯДА

Рядом называется сумма

Если последовательность {£„} имеет определенный конечный

ряд (С) называют расходящимся.

Под вычислением (или суммированием) ряда понимают нахождение суммы ряда 5. Точное суммирование удается выполнить лишь для узкого класса рядов, когда п-ые част­ ные суммы можно определить в замкнутой (конечной) форме через известные элементарные функции относительно п н переменных (л^, х 2,..., х^. Часто сумму ряда находят при­ ближенно. При приближенном вычислении сумму 5 заме­ няют частной суммой 5„.

5

Разность rn = S — Sn называют остатком ряда. Из са­ мого определения суммы сходящегося ряда следует, что

Таким образом, при достаточно большом п остаток ряда может быть сделан сколь угодно малым. Для обеспечения требуемой точности при замене S на Sn возникает необхо­ димость оценки остатка ряда. Вместе с тем желательно, чтобы практически небольшое число суммируемых членов обеспечило требуемую точность. Так возникает вопрос об улучшении сходимости ряда, то есть о таком его преобра­ зовании, после которого для приближенного вычисления суммы ряда с той же точностью требуется меньше членов частной суммы преобразованного ряда. При этом общий член преобразованного ряда не должен иметь более слож­ ную аналитическую структуру. Улучшение сходимости за счет сильного усложнения структуры общего члена улуч­ шенного ряда практически может иногда и не иметь значе­ ния. Итак, в теории вычисления рядов основными вопро­ сами являются: исследование на сходимость, оценка остатка, улучшение сходимости.

Рассмотрим два числовых ряда

Если существует предел последовательности {Rk} при А—>оо, то имеем предельный случай R = R = R.

Суммируя неравенства

Rmak^ Ьк < Rmak

6