Файл: Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 1
Оценка остатка сходящегося интеграла (/) определяется неравенствами (4.7), в которых Л[Д и /?¥[х] находятся со
гласно соотношениям (4.16), (4.17). Пример. Для интеграла
ос со
аы Ь[п !~- dt,dt2 {а, b> 0 )
V i +
при qx = а, q2 — b, 6 ,(Д) = 1 пД, ф2 (t2) = ln t2 находим
A{tv /2) = |
1 -f /2 f 2 ’ - |
Л = Л = 1. |
|
fl £ 2 |
|
Таким образом, интеграл сходится, если а < 1, 6 < 1, и расхо дится, если либо а > 1, либо b> 1.
При а < 1, />< 1 получаем следующую оценку остатка интеграла
а \п .V, + h \n ,х2 __ а \п .V, ь \п Х2 |
а \п X, + ь \п х2 _ й 1п .V, ь \п х2 |
|
----------------- |
------ < Rf (хх, х2) < ------- |
|
l n « ln ь л / 1 + |
|
ІП а ln b |
—- |
|
|
|
(x = |
min(x1, x2)). |
При а = b = e 1 |
имеем |
|
|
0,353 < Rf (5,5) < 0,360. |
|
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ОСТАТКОВ СХОДЯЩИХСЯ А-КРАТНЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Функцию /Дх] назовем асимптотическим выражением остатка несобственного интеграла (/), если
Rf \х] ~ /Дх], [х] —со, Нш |
t |
[*] |
= 1 . |
1 ^ 1 |
|
Теорема. Если несобственный интеграл (I) сходится по общему признаку сходимости и существует предел
Нт 2-Ш- = Л, Л Ф 0, Л ф оо,
м п п |
. |
^ |
то |
|
|
Rf[x\ |
|
, ([х] -*оо). |
Справедливость теоремы устанавливается как и в одно мерном случае, и при различных предположениях относи тельно функции <р[Д получаются соответствующие следствия. В частности, в соответствии с конкретными достаточными
Д-198,—11 |
161 |
признаками сходимости из § 2 можно получить асимптоти ческие выражения для остатков интегралов. Так, в соот ветствии с признаками 3 и 5 из § 2 для интегралов, рассмо тренных в примерах к этим признакам, находим
R,
Rf {xu Xo) ■
дг
|
dt |
+ |
іі |
dt |
|
|
|
ln^ — 1 (// + e') |
ln/"-' (é + 1 |
) |
|||
|
p—1 J |
|||||
|
|
|
|
.V |
|
|
|
(X, |
x) —>oo |
|
|
|
|
1 |
(a,n v‘ + |
bxn-r*- |
a'n-r' b'n Xt) |
(Xj, x2) |
oo. |
|
|
||||||
ln а ln b
§ 4. УЛУЧШЕНИЕ СХОДИМОСТИ Лг-КРАТНЫХ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Пусть даны сходящиеся интегралы
y<s)[t]d\t\, j *»,[/]</[*].
Очевидно второй из этих интегралов сходится быстрее, чем первый, если
lim |
= |
m |
wp] |
При этом сходимость первого интеграла называют улучшен ной, если с помощью какого-либо преобразования этот инте грал выражается через второй интеграл.
Рассмотрим улучшение сходимости интеграла (/). Пусть существует предел
Нт |
= Л , А =£0, Л =^со. |
(4.18) |
М /М |
|
|
Тогда на основании общего признака сходимости инте грал (/) сходится, если сходится интеграл от tp[f] и выпол няются условия (4.18).
В этих предположениях
= |
J ( / м - j ?(*])</[*]. |
(4.19) |
Это тождество во многих случаях улучшает сходимость остатка заданного интеграла.
Если функцию ср[/] выберем так, как это делалось при доказательстве признаков 1—5, то получим тождества, улуч шающие сходимость остатка интеграла (/) в соответствии с каждым из признаков сходимости.
162
Преобразование (4.19) можно применять последовательно несколько раз. Применим это преобразование п + 1 раз, получим
|
|
П |
|
|
|
|
|
№ 1 = У І7 |
-Яо |
[xl, |
(4.20) |
||||
|
|
Ѣяі Ac |
ls |
- s -\-1 |
|
||
|
|
5=0 |
|
|
|
|
|
ui |
: г # |
= Л , |
<Л^ |
° ’ Л^ ° ° > |
|
||
/ s И |
|
|
|
|
|
|
|
|
\ W = |
f 4s\t\d\t 1, |
|
||||
|
|
|
|
|
v'u\ |
|
|
|
R f |
|
M |
= |
f f s +A t \ d [ t \ |
|
|
|
■S-fl |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
V И |
|
|
|
f s + A n - f s W - ^ b i n - |
|
|||||
В каждом случае |
остатки |
интегралов R ^ [.ѵ] и R f |
[а*] нахо |
||||
дятся так же, как и при доказательстве признаков.
В том случае, когда лу —аг, г = 1 , 2,..., /г, тождество
(4.19) и его обобщение (4.20) упрощаются, и тогда их можно использовать для улучшения сходимости самого интеграла (/).
Рассмотренные способы улучшения сходимости интегра лов могут свести задачу вычисления интеграла к вычислению суммы ряда.
Пример. Рассмотрим интеграл
/ = J I \ t\ + t{e at' W2dt, dt2 (<xb a2, a, b > 0).
a, a2
Преобразование, улучшающее сходимость этого интеграла,
соответствующее |
признаку |
3, приводит к следующему |
|
результату |
|
|
|
V |
„2 ,„2 |
-aa^—ba-i + |
oo со |
/ = г |
otj -+* a., |
-a tl—bi2dti dt2 + |
|
|
ab |
|
t \ + t\ |
oo oo
btj -Г at2 ^ , - ^ dtldt2.
a, a2
Ясно, что каждый из интегралов в полученном тождестве сходится быстрее, чем заданный интеграл. Этот способ улуч шения сходимости можно продолжить дальше, применяя преобразование к каждому из полученных интегралов.
П * |
163 |
)
Покажем, как может быть улучшена сходимость интеграла в соответствии с признаком 5. В этом случае
оо
1 |
|
2 |
p - a t t - b « ! |
dt! |
|
а + Ь к |
t\ + |
||||
ао |
е |
||||
|
|
|
|
||
|
2 , |
/2 |
— aa.—bti а , |
||
—— г V t*i + t-2 е |
dt, + |
||||
а + Ь J |
|
|
|
|
|
® 2 |
|
|
|
|
|
оо оо |
|
|
|
|
|
+ і _ Г Г <1+ *2 |
|
^ '"•-Widt,dt2. |
|||
+bl l v j T Ä
Применяя к однократным интегралам это же преобразование, окончательно получим
/ |
^ “ і I я2 |
—а»,—*а2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 I |
/ = |
----------- |
е |
+ - |
|
|
|
|
|
|
t*+ а2 |
|
||
|
ab |
|
|
а (а +Ь) J у |
|
|
|||||||
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ь(а + |
Ь) |
Г |
|
іг |
й |
е |
- а«,~ й /2 1 , |
2 |
, |
||
|
|
! |
)1 |
/ а2 + |
dt |
|
+ |
||||||
|
|
|
|
|
Г л |
, |
л |
|
|
|
|||
|
|
сю со |
& 2 |
|
|
I |
1 |
» |
|
|
|
||
|
|
б + ^ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
+ а |
С (* |
У |
Л |
|
^ ‘^ d tjd t,. |
|
||||||
|
ft .) J |
|
.2 |
, |
|
|
|||||||
|
|
в, a , |
V |
|
‘ 1 |
+ |
»2 |
|
|
|
|
|
|
И в этом случае преобразование, улучшающее сходимость, можно продолжить.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1. |
А с а д у л л и н |
Э. |
А. |
|
О |
|
признаках |
сходимости |
|
кратных |
рядов |
|||||||||||||||
с положительными |
членами.— ДАН СССР, |
1961, т. 136, № 3. |
|
числовых |
|||||||||||||||||||||||
|
2. |
Б а р о н |
С. |
А. |
Вывод |
признаков |
сходимости |
двойных |
|||||||||||||||||||
рядов. — Учен. зап. Тартуского |
ун-та, 1953, вып. 55. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3. |
Б е з и к о в ич |
Я- С. Приближенные вычисления. М. — Л., ГИТТЛ, |
||||||||||||||||||||||||
1949. |
Б о н д а р ь |
В. |
П. |
Об |
одном классе признаков сходимости для |
||||||||||||||||||||||
|
4. |
||||||||||||||||||||||||||
рядов с положительными и монотонно |
убывающими членами. — Учен. зап. |
||||||||||||||||||||||||||
Гродненского гос. пед. ин-та, 1955, вып. 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
15, |
5. |
Б у г а е в |
Н. |
В. |
К теории |
|
сходимости рядов.-— Математ. сборник, |
||||||||||||||||||||
1888. |
|
Н. |
В. |
Сходимость |
бесконечных |
рядов |
по их |
внешнему |
|||||||||||||||||||
|
6. |
Б у г а е в |
|||||||||||||||||||||||||
виду. Диссертация, |
М„ |
1863. |
|
|
С. |
В. |
Кратные |
интегралы |
и |
ряды. М., |
|||||||||||||||||
|
7. |
Бу д а к |
Б. |
М., |
Фо м и н |
||||||||||||||||||||||
..Наука*, |
1967. |
|
Б. |
Я. |
Введение |
в |
теорию |
рядов. |
Киев, |
вып. 1, |
1906. |
||||||||||||||||
|
8. |
Б у к р е е в |
|||||||||||||||||||||||||
|
9. |
Б у р б а к и |
Н. |
Общая |
топология. |
М., |
Физматгиз, |
1958. |
анализе. М. |
||||||||||||||||||
|
10. |
|
Г е л б а у м |
Б., |
О л м с т е д |
|
|
Д. |
Контрпримеры |
в |
|||||||||||||||||
„Мир*, |
1967. |
|
|
А. |
О. |
Исчисление |
|
конечных |
|
разностей. М., Гостех- |
|||||||||||||||||
|
И. Г е л ь ф о н д |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
нздат, 1952. |
|
|
И. |
С., |
Р ыж и к |
|
И. |
М. |
Таблицы интегралов, сумм |
||||||||||||||||||
|
12. |
Г р а д шт е й н |
|
||||||||||||||||||||||||
рядов и произведений. М-, Физматгиз, 1963. |
|
|
|
|
|
|
Функции, |
пре |
|||||||||||||||||||
|
13. |
Д а н и л о в |
В. |
Л. и др. Математический анализ. |
|
||||||||||||||||||||||
делы, ряды, цепные дроби. М., |
ГИФМЛ, |
1961. |
|
в |
анализе. |
М., |
ИЛ, |
1961. |
|||||||||||||||||||
|
14. |
Д е Брё йн . |
Асимптотические |
методы |
|
||||||||||||||||||||||
|
15. Д е м и д о в и ч |
|
Б. |
П., |
Ма р о н |
|
И. |
А. |
Основы |
|
вычислительной |
||||||||||||||||
математики. М., |
ИФМЛ, |
1963. |
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечных строк и опре |
||||||||||||||||
|
16. |
Е р м а к о в |
В. П. |
Теория сходимости |
|||||||||||||||||||||||
деленных |
интегралов. — Математ. сборник. IV, |
вып. 1, |
1872. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
17. |
3 а е з д н ы й |
А. |
|
М. |
|
Гармонический |
|
синтез |
|
в |
радиотехнике |
|||||||||||||||
и электросвязи. М. — Л., |
Госэнергоиздат, |
|
1961. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
18. |
З м о р о в и ч |
|
В. |
А. |
О признаке |
|
Н. И. Лобачевского для сходи |
|||||||||||||||||||
мости знакоположительных рядов |
|
и |
обобщение |
этого |
признака. — УМН, |
||||||||||||||||||||||
1952, т. 7, вып. 1 (47). |
В. |
А. |
О признаках |
Н. И. Лобачевского |
и В. П. Ер |
||||||||||||||||||||||
|
19. |
З м о р о в и ч |
|
||||||||||||||||||||||||
макова.— Изв. Киевск. |
политехи, |
ин-та, |
|
1956, |
вып. |
19. |
теории |
сходимости |
|||||||||||||||||||
|
20. |
3 м о р о в и ч |
В. |
|
А. |
Ö |
некоторых |
вопросах |
|||||||||||||||||||
знакоположительных рядов. — Изв. вузов, Математ., № 1, 1958. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
21. 3 м о р о в и ч |
В. |
А. |
О |
некоторых |
признаках сходимости и расхо |
|||||||||||||||||||||
димости |
знакоположительных |
числовых |
|
рядов. ■— Изв. |
вузов, |
Математ., |
|||||||||||||||||||||
№ 2, 1958. |
|
|
В. |
А. |
К |
теории |
|
сходимости |
знакоположительных |
||||||||||||||||||
|
22. |
3 м о р о в и ч |
|
||||||||||||||||||||||||
числовых рядов.— ДАН УССР, 1958, № 8. |
|
|
|
|
вычислении |
некоторых |
|||||||||||||||||||||
|
23. |
К а н т о р о в и ч |
Л. |
В. |
О |
приближенном |
|
||||||||||||||||||||
типов определенных |
интегралов и другие |
применения |
метода |
выделения |
|||||||||||||||||||||||
особенностей, — Математ. |
сборник, |
1934, т. 41, вып. |
|
2. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
165