Файл: Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов.pdf

24

К р ы л о в

А.

Н. Лекции

о приближенных вычислениях. Изд. 5-е,

М. — Л., ГИТТЛ, 1950.

И. И.

Алгебра

и исчисление конечных.

Поли,

25. Л о б а ч е в с к и й

собр. соч. т. IV, Гостехиздат, 1948.

работы 11. И. Лобачевского. — УАШ,

26.

Л у и ц Г.

Л.

Аналитические

1950, т. 5, вып. 1 (35).

Л.

А., Д нт кин

В. А.

Построение

приближен­

27.

Л ю с т е р н п к

ных формул вычисления кратных

интегралов.— ДАН СССР,

1948, т., № 3.

28.

М у р а т о в

Л.

М. О приближенном интегрировании некоторых

сингулярных дифференциальных уравнений

первого порядка. Диссертация.

Казань,

1955.

Л.

М.

Признаки

сходимости

и расходимости

несоб­

29.

М у р а т о в

оценки.-— Учен. зан. Удмуртского

гос. иед. ип-та, 1956, вып. 8.

30. М у р а т о в

Л. М.

Улучшение сходимости несобственных интегра­

лов. Вычисление некоторых

интегралов разложением в

ряд. — Учен. зан.

Удмуртского гос. пед. ин-та, 1956, вып. 8.

приближенного

интегрирования

31. М у р а т о в

Л. М.

Одни

способ

некоторых сингулярных дифференциальных

уравнений первого порядка.—

Учен. зап. Удмуртского гос. пед. ин-та, 1957, вып. 11.

34. Н у т ф у л л и н

Ш.

Н.

Некоторые достаточные

признаки сходи­

мости кратных интегралов. Учен. зап.

Кемеровского

гос. пед. ин-та, 1967,

вып. IX.

П.

Я- Теория

движения

грунтовых

35. П о л у б а р и н о в а-К о ч и и а

вод. М., ГИТТЛ, 1952.

Е. О некоторых вопросах теории ^-кратных ря­

36. П о с п е е в

В.

дов.— Учен. зап. Ташкентского веч. пед. ин-та, 1960, вып. X.

знакополо­

37. П о с п е е в

В.

Е.

К

теории

о сходимости

й-кратных

жительных рядов. — Труды

ин-та математики

им.

В.

И.

Романовского

АН УзССР, 1962, вып. 26.

Об улучшении сходимости

^-кратных

знакопо­

38. П о с п е е в

В.

Е.

ложительных рядов.— Исследования

по

дифференциальным

уравнениям.

Ташкент, АН УзССР,

1963.

вычисления

двойных

несобственных

39. П о с п е е в

В.

Е.

К теории

интегралов. — Изв.

Казанского

филиала АН СССР,

1962,

т.

15.

40. П о с п е е в

В.

Е.

К вычислению

двойных

сумм и

интегралов. —

Изв. АН УзССР, 1963, сер. физ.-мат., № 4.

О

приближенном

решении

41. П о с п е е в

В.

Е.,

Л о г и н о в

Б. В.

задачи для дифференциальных

уравнений с частными производными. Таш­

кент, „Фан“, 1970.

т. 2,

вып. 2.

42.

Прикладная математика и механика, 1938/1939,

43.

Р о м а н о в с к и й

В.

И. Введение в анализ.

Ташкент, Госучпед-

гиз, 1939.

Применение критерия Бертрана

к оценке оста­

44.

Р я б ц е в И. И.

по

функциям Бесселя

и другим. — Учен. зап.

Казанского ун-та,

1936,

т.

96, кн. 4—5.

Г.

С.

К теории вычисления рядов. — УМН,

1949,

46.

С а л е X о в

т. 4, вып.

Г.

С.

Вычисление рядов. М., ГИТТЛ., 1955.

47.

С а л е X о в

48.

Х е м м и н г

Р.

В.

Числовые методы. М.,

1968.

166

49.

Ц х а д а я

Т. О сходимости

двойных

числовых

рядов

с

положи­

тельными членами. — Труды Сухумского

гос. пед. ин-та,

1958,

10—11.

50.

Ши л о в

Г.

Е.

Математический анализ. М.,

„Наука“,

1969.

51.

Ямке

Е.

и др. Специальные функции. Изд. 2-е. М., „Наука", 1968.

52.

А n (1 г u s k i w

1.

W.

А

note

on

multiple

series

of

positive

terms.

Amer. Math. Monthly, 68. N 3, 1961.

11. P.

A

method

for

the

evaluation

53.

B e n s o n

J.

C„

S h r e i b e r

of some

lattice sums occuring in calculation

of

phisical

properties of

crystals.

Canad. I. Phys, 33, N 9, 1955.

K.

Dynamical

theory

of

crystal

lattices,

Oxford,

54.

Bo r n

M.,

H u a n g

Univ, Press, London, Chapter 3 and Appenix 111, 1954.

55.

C a t a l a n

Ё. Mémoire sur la transformation des séries et sur quelque

integrales définies.

Mémoire

couronnés

et

memoires

des

savants

étrangers

publics

par I’Acadèmie

Royale

des

Sciences,

des

lettres

et

des

beaux-arts

de

Belgique 33, 1865—1867.

Analyse

Algebrique. Paris, 1821.

56.

С а u s h у

А.

L.

Bombay,

24,

N 3,

57.

С 1 u n i e

J.

Series

of

positive

terms.

J.

Univ.

AIO—A12, 1955.

M.,

B e n s o n

J.

C,

A

method

fos the evaluation

of

some

58.

Ha f f

B.

lattice sums occurring in calculation of physical

properties

of

crystals. Canad.

O. Phys., 31, N 7, 1953, 1087—1094.

Anwendungen

der

unendlichen

Reihen.

59.

K n o p p

К.

Theorie

und

Berlin,

1924.

E.

Eine

neue

Methode,

die

numerische Summer

langsam

60.

Ku mme r

convergierenden

Reihen

zu

berechnen.

Journal

für die

reine

und angewandte

Mathematik, 16, 206—214.

1837.

J e o r g e

H. A method for evaluating

61.

Mа г а d u d i n

A. A.,

W e i s s

lattice sums. Canad J. Phys, 37. N 2, 1959,

170—173.

factors.

Amer.

62.

Mo o r e

C.

N.

Summable

series

and

convergence

Math. Soc. Cailoguum Publication vol. 22, N-Y., 1938.

63.

N ey

A.

О formula

asimptotica

generaba

pentru

evalvarea

reslului

seriilor

convergente cu termeni positivi. Studii

si

Cercet

de

matem.

(Cluj),

XII, 2, 1961 (Roumanie).

64.

N ey

A. Un

procedeu

de

Imbunatative a convergentei seriilor si a con-

vergentei integralelor

improprii.

Studii

si

cercet

de

matem.

(Cluj),

XIII, 2,

1962 (Roumanie).

Contribution

â 1

étude

de

la

rapiditc

de

convergence

des

65.

N ey

A.

scries a termes positifs. Mathematica, (Cluj),

4(27), 1, 1962, (Roumanie).

III,

66.

P r i n g s h e i m

A. Vorlesungen

über Zahlenund

Funktionenlehre,

Leipzig,

1923.

O.

Ober

gleichzeitige

Convergent

oder

Divergent­

67.

S c h 1о m i 1 c h

zweier Reihen. Zeitshrift für Math, und

Fhysik,

Bd. 18,

1873.

2.5. Признаки сходимости, вытекающие из рассмотрения лога­

77

рифмической производной подынтегральной функции

. . . .

2.6. Другие признаки

сходимости.......................................................

остатков

несобственных

85

§ 3.

Асимптотическое

представление

90

интегралов..................................................................................................

§ 4. Улучшение сходимости несобственных интегралов................

. . .

94

4.1. Аналог преобразования

Куммера . . ........................

94

4.2. Способ улучшения сходимости,

соответствующий аналогу

95

признака Куммера . .

..........................................................

4.3. Об одном обобщении формулы интегрирования по частям

96

4.4. Улучшение сходимости

путем выделения особенностей . .

98

4.5. Улучшение сходимости

интегралов S ( х )

. . . .

99

4.6. Другой метод..................................................................

101

4.7. Вычисление несобственных

интегралов с помощью рядов

103

Г л а в а

III. Вычисление кратных рядов с положительными членами

108

Сокращенные обозначения к главам III и IV ...................................

108

§ 1. Основные понятия и утверждения..............................................

110

§ 2. Общий признак сходимости А-кратных знакоположительных

114

рядов и оценка их остатков..............................................................

с поло­

§ 3. Достаточные признаки сходимости /г-кратных рядов

116

жительными членами. Оценка их о с т а т к о в ...............................

3.1. Аналоги признака Куммера...........................................................

116

3.2. Аналоги признака Даламбера.......................................................

126

3.3. Аналог алгебраического признака К ош и ...............................

131

3.4. Интегральные признаки ...............................................................

133

3.5. Дифференциальный признак.......................................................

139

3.6. Аналог признака

Приисгейма.......................................................

141

3.7. Признаки сходимости,

основанные на теории сопряжения

142

§ 4.

р я д о в ......................................................................................................

представление остатков ^-кратных сходя­

Асимптотическое

144

щихся рядов с положительными членами........................

. . .

§ 5. Улучшение сходимости й-кратных рядов с положительными

145

членами.................................................................................................

кратных

несобственных

интегралов от

Г л а в а

IV. Вычисление

148

ограниченных положительных функций...............................................

§ 1. Общий признак сходимости А-кратных несобственных инте­

148

гралов и оценка их остатков

...........................................................

§ 2. Достаточные признаки сходимости /г-кратных несобственных

150

интегралов. Оценка остатков интегралов.......................................

§ 3. Асимптотическое представление остатков сходящихся £-крат-

161

ных несобственных интегралов..................................................

§ 4. Улучшение сходимости ß-кратных несобственных интегралов

162

Литература..............................................................................................................

165