Файл: Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов.pdf

Скачать файл (7,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 65

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1 V

1 -

= ( 1 + т П ( 1 + т ; ■

■2)

+ т

я (а -

З'.х*

2х2

Отсюда ясно, что в области

хУ>т> 1 R' (л*) > О

при а > 1

и /?'(х )< 0

при

0 < а < 1 ,

т. е.

функция

R(x)

области

х > т монотонно возрастает при а >

и монотонно

убывает

при 0 < я < L Поэтому

Rm= R (т) =

т + 1 — та(т + 1 )1_®,

Rm=

lim R (и) = а

—

Я-*» со

при я > 1

Rm=

а,

Ä>,„ =

/» -И -д а " (т -f 1 f ~я

при 0 < а <

при

1 = 0 и

« 5

получим следующую

Согласно

(1.4),

оценку для

остатка

ряда

{т г I)*"1

(т

!)■

( 2)

ят

па (/I -f- 1)

[(т +

1)а —

т а] та

п—т

Очевидно, оценка (2) при я = 0 не имеет смысла. Непосред ственная проверка показывает, что в этом случае ряд (1) расходится. При я = 1 и т — 1 из оценки (2) получим точное значение суммы ряда (1), 5(1)== 1.

С помощью двусторонних оценок остатка можно вычис лить сумму ряда с любой точностью. Вычислим, например,

сумму ряда для « = “ с точностью до ІО-4. Для этого

найдем наименьшее значение т, для которого разность между правой и левой частями неравенств (2) при я = —

была меньше —-— . Таким будет т = 9, следовательно,

2.1Q4

0,00166 < У!	----- < 0,00177
U V nHn + l)
и окончательно 0,58895 < 5	< 0,58907.

2.2. Признак Даламбера

Положительный ряд (Л) сходится, дели

lim - — -- == г < 1, л~>оо ап

В соотношении (2) берутся верхние знаки неравенства при к > 1, нижние при я < 1 и знаки равенства при я = 1.

и расходится, если

Um -gg±i- = г > 1.

1 1 —ю о

^ Л

Этот признак получается из обобщенного признака Куммера при сп=1 и 1 = 0. Из неравенств (1.4) при сп = 1 и 1 = 0 получим оценку остатка ряда

	,	. г	- < У, <			1 — sup
	,	. г	ak+l	11=111		1 — sup
где			hl	Ляі
где	1— inf -------						£>m
		ft>m	fl*				£>m
				sup —^4-L <			1.
	При ме р	1.			Я/;
	При ме р	1.
				2"/i*
Здесь				11= 1	1 /	и	V
Здесь
		lim		= lim
		lim		= lim		1*fп
		1 1 - > о о	Л »	n-*-oo 2 \		1*fп

(1.5)

ak м

и ряд сходится по предельному признаку Даламбера при любом фиксированном а. Согласно (1.5) имеем

2i-mm-g (1 + mf _	2 1 —т
2(1 + mf —та ^	(т > 1)
2(1 + mf —та ^	2ппа

в зависимости от того а SO.

В частном случае при а = —, т == ^ будем иметь

0,0119 < V] ——~— < 0,0128

Lâ Ѵ п 2п

п=б г

ис точностью до 10 3 находим значение суммы ряда

оо5

— =	~ У! — = — + 0,012 « 0,807.
У „ 2"	У п 2п
П= 1	л—1

Пр и ме р 2. Определение времени обводнения нефтяных скважин в пластах с подошвенной водой сводится к вычис лению рядов вида

пг"

(1>

(4л2Л2 — г2)2

1 1 = 1

	оо	г	(2)
		г	(2)
	(4n2h2— z2)2
	л - 1
где 0 < г <	1, 0 < г < Л. Ряды (1) и (2) по предельному приз
наку Даламбера сходятся.		Легко проверить,	что последо-
вательности	-?^±L. (п > 1)	для. рядов (1) и	(2) монотонно
возрастают	и

Ііш tl—^oo Hfl

Поэтому, согласно (1.5), получим оценку остатка рядов

	а		<		> х <	(Хп	(т > 1),
		-	<		> х <	,	(т > 1),
		«яі+1			U	1 —Г
				п—т
где ап — общий	член		соответственно				ряда (1) или ряда (2).
2.3.	Обобщенный признак Даламбера
Положительный ряд (А) сходится,							если
				а“ — а“ ,,			(а > 0),
	Я = lim— ----- 2±L > 0						(а > 0),
		Л -> о о			а П
и расходится, если
R		Um				< 0 (а > 0).
		П - + оо
Доказательство. Пусть				Ьп = ап—а„+\.			Тогда
		Вт=		оо	bn = dm— lim .
		Вт=		£	bn = dm— lim .
				/z—m		П-+ЭО
				/z—m
Если Я > 0,	то Вт> 0 и конечна для т > N. По общему
признаку ряд_(Л) сходится.
Если же Ж	0, то аЛт — алп < 0, т. е. ат < ап для «> т> N
и ряд (Л) расходится,			так как не выполняется необходимое
условие сходимости ряда,					1 і т а п = £ 0 .
В этом случае		для		оценки остатка ряда можно приме
нить соотношения		(1.2) при
	Я*				l k+ 1	В.,
	Я*				ап	В.,
					ап
Признак Даламбера				является		частным случаем рассмот
ренного признака		при	<х=		1.

Пример.

Рассмотрим ряд вида

ая, «„ =

«”(1 + 0(1))

(я- -О).

_1_

л=і

При а = 1

R = R — lim

Й„ — а,'fl-hl

3 - 1

и ряд сходится,

если ß < — 1, и

расходится,

если

? > — 1.

оо

В частности для ряда

У ]—

ß = —2,

а = —, Rk — —-— .

п2

k + 1

л = 1

По формуле (1.2) будем иметь

п2

т2

2.4.

Признак Раабе

Положительный ряд (Л) сходится, если

lim п ( 1 ---- ) > 1,

и расходится,

П - М so

а п

если

lim п{ 1

аПА-1

П-* оо

Признак следует из обобщенного признака Куммера при

сп— п — 1, / = 0.

Пример. Ряд

4п +

(-•!)»

4л3

по признаку

Раабе

я=і

как имеем

сходится, так

lim п ( \ ---- =

\п --------------—-4-?1-

+ 4 - ( - ] ) » ]1 _ 1

+ (— I)"]

- 4 > 1 .

П-*со С

а п

)

(и +

1)3[4л]

Используя

признак

Куммера

при

сп = п,

нетрудно до

казать

2.5.

Признак

Гаусса

Если

ап.\-\

лл +

рпх 1 Q + б (В)

(II

со),

ап

n^ +

q n ^ i 1 + 0 (1 ))

/яо положительный ряд (А) сходится при q — р > 1 и рас ходится при q — р < \.

Замечание. Если ряд	(Л)	сходится по признаку Раабе
или ГауЬса, то	т.	е. \Шпап — 0.

Пусть, например, ряд (Л) сходится по признаку Раабе.

Тогда для k > N k(ah~ aÄ+1)> ak или (k —1 )ak— kak+l= bk > 0

(&>.V) i i ö < £ bk= {N— \)aN— nan+l < (N — \)aN. Возра-

ft=/V

стающая и ограниченная последовательность частных сумм

bk имеет предел

*=/Ѵ

		S	bk = (W -- 1) aN- lim пап+и
	k—N						lim пап+1 — с,
следовательно,		существует предел					lim пап+1 — с,			где	необ
ходимо	с — 0.	Действительно,				иначе —ввиду			расходимости
			со
гармонического		ряда ^		—----и		ряд	(Л)	был	бы	расходя-
			п—І
щимся. Итак lim tian+] = Um пап= 0.
Пример . Гипергеометрический ряд
Е			а (е + 1)	... (а- + я — 1) Р (Р +				1) ... (ft + Я -		1)
Е				и! Г(Г+ В - (Т + Я —1)
п=т			(а >	0,	ß >	0, 7>	0)
			(а >	0,	ß >	0, 7>	0)
сходится	при	а + ß < 7		и	согласно		(1.4) при		сп — п,		0
имеем оценку			оо
			оо	________ (т + т) «Дщ_________
				________ (т + т) «Дщ_________
		п—т		(т	+ г) (7		— (7 ~ «) (т — Р)
		п—т
	2.6.		Алгебраический признак Коши
Положительный ряд				(Л) сходится, если для некоторого
фиксированного		р < 1