Файл: Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов.pdf

оо

оо

( 1. 1)

*

Вт S

ak<B,n<Kn I Ч-

k=m

k—m

7? < со и Вт= оо, то ряд (Л) расходится.

В случае,

если

ряд

(Л) сходится, из неравенств (1.1)

определяем оценку

остатка ряда

оо

( R m > 0).

( 1.2)

Последовательность \bk\ выбирается так, чтобы сумма

ряда (В) была заранее

известна

или ее можно

было легко

вычислить.

При этом

получаем

различные признаки сходи­

Пр и ме р

1. Рассмотрим ряд (Л) с общим членом

4 =

— 'j r 1 ''

( k - * o o ) ,

где

2 — целое

число.

В

качестве

вспомогательного

ряда (В) примем непосредственно суммируемый ряд

S

________1_______

____________1__________

k(k + i)...(k +

р ~ і )

(р — 1)./я (да +

1) ... (да + р — 2)

(см. § 4 п. 4.2). В

этом

случае Вт<со и

/ ? - lim ----- ^ £ + £ Ш )------

k-yoo

k {k

1)...(k + P -r—1)

Следовательно, по общему признаку ряд (Л) сходится.

Пр и ме р

2. Ряд

усо

—

^ .£ 2+ Vk

«—1

к2 + V к

ак

k ( k + l )

монотонно

возрастает при k > 3, поэтому

Rm= lim Rk= 1,

R„

т? +

У Гі

1)

к-уоо

m (m -l-

и согласно

неравенств (1.2) будем иметь

- <

V.

1

,

т + 1

,

ч

< —-------

(/И>3).

т

L ik 2 +Ѵк

т*+ У'т

При ме р

3.

k—m

S

У 2 -і- sin к

Тк

■

£-1

Возьмем как вспомогательный ряд бесконечную гео­

метрическую

прогрессию

2*

2т —

(т > 1).

Тогда

bk

1

•,

R = lim

2m-i

ак

У~2 + sin к

£ - ►0 0

1 2

г sin к

У З

По общему признаку данный

ряд

сходится.

Учитывая,

что

—

согласно

оценки (1.2) получаем

уз

о с

_____ __________

_ J _ <

y i c tt;! " *

< v s _

(„ ,> !).

2m_1

LA

2*

1

§ 2. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ.

ОЦЕНКИ ОСТАТКОВ

Положим

bk — zk—•zk+1.

Тогда

Brn=

У

bk= zm— lim ^к-

k=m

мости.

приз на к

Куммера .

Положитель­

О б о б ще н н ы й

ный

ряд

(Л)

сходится,

если

можно подобрать такую по­

ложительную последовательность

*\ что

для некото­

рого фиксированного

I

R = lim

ick+iak+i

ck+i+\ak+i-vi) ^ О-

k~+oo

Ряд (А) расходится, если

/? = \m — {ckak- c k+xak+l) < О

и расходится ряд

оо

п=*т

(1.3)

zk= ck+lak+l.

Доказательство.

П рі^м

Если

/?>0,

то

существует такое число N,

что bk = ck+lak+l — ck+l+xak+l+x> О

для

k >

N.

Тогда

последовательность

частных

сумм

П

'Z bk:==cm+iam+i — cn u ^ an+i+\

( n > m > N ) ,

как

возрастаю-

Л=лг

и ограниченная

сверху,

имеет

конечный

предел

при

щая

п —»со,

т. е.

Вт = 2 bk=

cm+iam+i - lim спап< оо.

k=m

П-+со

В этом

случае по общему признаку

ряд (Л) сходится.

_

л—1

< О Для n > m > N ,

т. е. стат —

Если же R < 0, то £

k—m

— спа„ < 0 или ап>

для всех /г> т > N. Следовательно,

если

ряд

СП

то

по

признаку

сравнения

расхо­

(1.3) расходится,

дится

и

ряд (Л).

(Л),

согласно (1.2), получаем

Для

сходящегося ряда

оо

(Сл+/««+/ -

lim спап) <

У] ап <

R

л - о о

h J

п=т

< - іг

(cm+fim+i -

lim спап),

(1.4)

Нт

п-+о°

О выборе

последовательности { с

см. в п. 2.8.

R m — SUP

(Ck+\a k+l

C*+Z+la A+/+l)

И

fc>mö/f

/?,„= inf

öft

(ck+iak+i

ck+i+iak+i+i) ^ 0.

—

k>m

Из общего

признака

Куммера при частных предположе­

ниях относительно

последовательности {сп} получаются раз­

Если положить I = 0, то из

вышеуказанных

заключений

получается следующий

в п р е д е л ь н о й

форме. Поло­

Пр и з н а к Ку мме р а

жительный ряд (Л) сходится,

если можно

подобрать та­

кую последовательность

положительных чисел

с,, с2, с3, ...,

для которой

R = Um Rn= lim (ся —сп+х 2O±L \ > о,

П-+00

П-+&0 \

/

В этом

случае

остаток

ряда (Л) вычисляется

но фор­

муле (1.4)

при

/ =

0.

Пример.

Пусть дан ряд

со

5 ( a ) = y j _

^ ------- .

(1>

П _г

_ г

“я-И

^ п

С / с п+\

"

>

а п

— V*1 == а.

R = limRn=

lim\п +

1

—

п(\ +

Г2->00

П-ЮОL

\

tl J

J

Ряд сходится при а > 0 и расходится

при а < 0.

Рассмотрим Rn = R(n)

как

функцию

непрерывного аргу­

мента X. Тогда

R' (х) = (х+

Ip . {(X +

1)" -

хя-

а*'“1] =