Файл: Салехов, Г. С. Вычисление рядов и несобственных интегралов.pdf

или

_â_

dt(

| п / м > 5 г Ч ~ ÄW

Интегрируя последнее

неравенство

no t: от а; до uh получим

f

О1<•••

t Mb

»^fe)

g (?ii

г Я-h

t tk)

/(<......ah . *ft)

g(*l> - . «/..... <*)

Таким образом,

интеграл

(/)

расходится,

если А < 0

и рас­

ходятся интегралы (4.10).

Если интеграл (/)

сходится, оценка его

остатка

опреде­

ляется неравенствами

(4.7),

в которых А [х] и /? [лг] находятся

на основании соотношений (4.13), (4.14).

Пример.

Для интеграла

і‘

г

dt,dt2

J

з ln^ (еи л- eh )

находим

д .

t2)

'

dt3 fi!"

р_____

5 3

('"

/ (

>t2)

ln (ее‘ +

et})

0

Поэтому удобно принять g (tlt to) = — In (é' + e^).

Тогда рассматриваемый интеграл

сходится при р > 2, так

как

) сходятся при р > 2

интегралы

1

©•

dt,

со

ät2

Г

Г

J In-P—«(/■ + 1 )

’

л ln-P—>(<Д +

1)

ибо

при g_(t) — — ln (<?' + 1

)

lim Л (^) = lim

У (£)

=

(/? — 2 ) lim

\

—p — 2

/ “ > ■ 0 0

/ - > 0

0

t-+OQв

in! Л (^, t2) =

sup Л (7Ь t2) = p — 1

К(л..V)

K(.,г)

dt

dt

ln * -‘

+ <?Л)

lnJ“-' -b 1 )

А'____

^ f ____ dt______

_____X_____

ЫР~Ң2ех)

J ln^-i (^ + <?-v)

1пР-'(ех + 1)

о

__________1________ <

оо

<

1__________

ех + 1

С

dt

(р — 2) ln/>-2 (1 + ех)

J

ln*'-'(1 + *')

(р — 2 )Ы Р ~Ң 1 + ех) '

ех '

Окончательно

________ 2х________________________ 2_____________

■^7

(AT, X)

(р — 1) ln^—1(2ех)

+

(р — 1) (р — 2) Inр-

і (1 + ех)

2х

2

__

ех + 1

< ----------—----------- 1- -------------------------

ех)

ех

(р - 1) Inр - I (1 +

ех)

(р — 2) (р - 1 ) In/'-2 (1 -I

При / 7 = 3 вычисляем

0,187 < R f (\0,

10)<0,200.

1) { j

/[*. 1, a\d\t, 1, — 1) < ooj,

__

д

д

_

2)

“ /М + ••• + "77“/ [ 0

0,

lim

^

^

----- =

А' <

'

щ

/М

и расходится, если

lim Ёі_________ Ё*____= А > 0 .

~&Г

fit]

Если интеграл

(/)

сходится

по

этому признаку, то для

СО ОО

,

л

О

се

!nkU\ + 1 )

, ln* ( 1

t:2)

------------ dt,

------------- dt<y

I ch(f, + l )

1

,) ch ( 1

+

t2)

так как

l

lim Л (Я = lim

=

lim .

2kt

- t b ( t

+

!)} =

- !

<

f (t)

O

t - * - o o

t - * - OOt(^2_r 1 )

I n ( 1

4*tf2)

2 ) lim A(tu t2)

Я = ti,

я)

h)

=

lim

2k (t, + t2)

2ih(tl + t2)\ = -

< 0 .

2

<6- 6) \

Ui +

Ф ln (tj +

ф

Найдем оценку

остатка

интеграла

при

х х= х 2 = х.

Так

как для функции Л (Я, Я) не

выполнены необходимые

усло­

вия существования экстремума в области V(х, х)

при х > 1 ,

то

inf

А(Я, t2) =

- 2, sup Л (/,, Я )=

2k (X + 1 )

, ..

V (х, X)

V (V. X)

(х2 +

1) ІП(х2 т

1)

— 2

th (х 4 - 1 )

(2)

Далее

/??(х,

х) =

-

2

f

ln* (х2 +

г12)

d t - 2

Г

1п*(1

+

t2)

dt,

(3)

. 1

ch (х +

t)

ch (rf +

1)

1

(х-1)

In* (2х2) <

In* (х2 +

t2) dt < (х — 1

) ln* (х2 +

1)

(4)

ch (2х)

ch (х -f t)

/

ch (х +

1)

1п*(1 +

X 2)

<

ln* (1 +

t2) dt <

ch (х +

1)

ch (t+

1)

<

In* (1 +

X 2) t h

( x

+ 1 )

2kx

- 1

(5)

ch (x +

1)

(1 +

X2) ln (1

+

X2).

(X2 +

1 ) 1 Ь(л + 1 ) In (х2+

1

) — k (л' + 1 ) > 0 (k > 0 )

(1 + X 2) ln (1

+ X2) th ( Л - +

1 ) -

2kx > 0 (k < 0).

В частном

случае,

при £ =

JC= 5

4. Примем

0,009 </?, (5,5) <0,047.

<Н*] = П ^ (//)д

а

(9/>0),

1

Ііш фг- (/,-) =

оо,

0 <

lim 6 ’.(t{) < оо.

(4.15)

t ,~УОО

1 ОО

Тогда,

согласно равенствам

(4.2), (4.4),

k

г к ѵ//)ш

(4-16)

4\- (“<)

І = 1

чу

1

qy

),

если

q{<

I-«] =

п(—lnЯі)

П ln<7 |

(9

1

1 — 1

оо, если, по крайней мере, одно qt >

1,

і = 1, 2 , ...

, k .

Таким образом, получаем следующий

(4.17)

положительные

воз­

П р и з н а к 5.

Пусть

существуют

растающие дифференцируемые функции Ф/(^-), 7=1,

2 ,...

, k,

удовлетворяющие

условиям.

(4.15).

Тогда

несобственный

интеграл (/) сходится, если

f[t)

k

№)=л>о

И Г

П ^

lim

1

Чі< 1 ,

і =

1

, 2 , ... ,

k,

и расходится, если

Нт" 7

~

к

Ui)^ (*і) =

Л"< 00

П чѴ

м

/ 1

0

i=i

1

1 1

и, по крайней мере,

1 , / = 1 ,

2 , ... ,

к.