Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

На рис. 12 вы видите угол с вершиной О и сторонами а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, лйбо указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины и двух точек на сторонах угла. Слово

«угол» иногда заменяют значком Угол на рис. 12 можно обозначить тремя. способами: /_0, /_ (ab), /_АОВ. В третьем способе обозначения угла вершина ставится посередине.

Посмотрите на рис. 13. Мы будем го­ ворить, что луч с, исходящий из верши­ ны О угла (ab), проходит между его сторонами, если он пересекает какойнибудь отрезок АВ с концами на сторо­ нах угла. В случае развернутого угла

мы считаем, что любой луч, исходящий из его вершины, отличный от сторон угла, проходит между сторонами угла.

Углы измеряются в градусах при помощи транспортира. На рис. 14 угол (ab) равен 120°. Полупрямая с проходит

между сторонами угла (ab). Угол (ас) равен 90°, а угол (Ьс) равен 30°. Угол (ab) равен сумме углов (ас) и (Ьс).

Основными свойствами измерения углов мы будем на­

20

Основные свойства откладывания отрезков и углов.

Посмотрите на рис. 15. Здесь показано, как с помощью

Рис. 16.

линейки на полупрямой а с начальной точкой А можно отло­ жить отрезок данной длины 3 см.

Посмотрите на рис. 16. Полупрямая а, будучи продолже­ на за начальную точку А, разбивает плоскость на две полу­ плоскости.

На рисунке показано, как отложить в верхнюю полу­ плоскость от полупрямой а угол, заданный в градусах (60°), при помощи транспортира.

Основными свойствами откладывания отрезков и углов мы будем называть следующие свойства.

21

IVP Каково бы ни было положительное число т, на данной полупрямой из ее начальной точки можно отложить и притом только один отрезок длины т (см).

IV„. Каково бы ни было положительное число п, мень­

точек А, В, С лежит между двумя другими? Точка А не может лежать между В и С, потому что В и С лежат на одной полупрямой с начальной точкой А. Если бы точка В лежала между А и С, то по свойству измерения отрез­ ков было бы АВ-\-ВС=АС, т. е. ЛВ<ЛС. Но по усло­ вию, ЛС<ЛВ. Значит, и точка В не лежит между А и С. Так как одна из точек непременно лежит между двумя другими, то этой точкой может быть только точка С. Таким образом, получается следующее свойство.

1.5. Если на полупрямой АВ из ее начальной точки отложить отрезок АС, меньший отрезка АВ, то С будет между А и В.

Первый признак равенства треугольников. Треуголь­ ником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

Точки называются вершинами тре­ угольника, а отрезки — его сторона­ ми. На рис. 17 ьвы видите тре­ угольник с вершинами А, В, С и сторонами АВ, ВС, АС. Треугольник обозначается его вершинами. Вместо слова «треугольник» иногда употреб­ ляют значок Д . Например, треуголь­ ник на рисунке 17 обозначается так: ДДДС.

Два отрезка называются равными, если они имеют оди­ наковую длину. Два угла называются равными, если они имеют одинаковую угловую меру в градусах. Треуголь­

А С = А 1С1. На рис. 18 вы видите два равных треугольника

АВС и А 1В 1С1.

Первый признак равенства треугольников состоит в следующем.

22

V. Если у двух треугольников АВС и Л 15 1С, /_А = /_ А и

Рис. 18.

Основное свойство параллельных прямых. Две пря­ мые на плоскости называются параллельными, если онине пересекаются. При этом прямые считаются неогра­ ниченно продолженными в обоих направлениях.

На рис. 19 показано, как с помощью угольника и линейки провести через данную точку В прямую Ь, параллельную данной пря­ мой а.

Основное свойство па­ раллельных прямых состо­ ит в следующем.

VI. Через данную точку В, не лежащую на данной пря­ мой а, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной прямой а.

Вопросы для повторения и упражнения

1.Что такое геометрия?

2.Приведите примеры геометрических фигур.

3.Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.

4.Что такое планиметрия?

5.Как изображаются точки и прямые на чертеже?

6.Каким чертежным инструментом пользуются для проведения прямых?

7.Как обозначаются точки и прямые?

8.Какие точки, отмеченные на рис. 4, лежат на прямой а, какие точки лежат на прямой 6? В какой точке прямые а и b пересе­ каются?

23

9. Объясните, как провести прямую через две данные точки с по­ мощью линейки? Отметьте две точки на листе бумаги и проведите через них прямую.

10. Сформулируйте основные свойства принадлежности точек

ипрямых на плоскости.

11.Объясните, почему две различные прямые не могут иметь двух точек пересечения?

12.Какая из трех точек на рис. 6 разделяет две другие? Как рас­ положены точки В и С относительно точки А?

13.Проведите прямую и отметьте на ней четыре точки А, В, С, D так, чтобы точка С разделяла точки А и D, а точка D разделяла точки В и С.

14.Какими свойствами обладает разбиение прямой на две полу­ прямые? Как обозначаются полупрямые?

15.Объясните, что такое отрезок с концами А и В.

16.Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя другими, если точка В есть точка отрезка АС?

17.Объясните, почему каждая точка отрезка АВ принадлежит полу­ прямой АВ?

18.Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?

19.Объясните, как располагается полупрямая АВ относительно прямой а, проходящей через точку А?

20.Сформулируйте основные свойства расположения точек на прямой и плоскости?

23.Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.

24.Какая фигура называется углом?

25.Какой угол называется развернутым?

26.Как обозначается угол?

27.Объясните, что означает выражение: полупрямая проходит между сторонами угла.

28.В каких единицах измеряются углы и с помощью какого инстру­ мента? Объясните, как производится измерение.

29.Постройте какой-нибудь угол (аб) и проведите внутри этого угла из его вершины луч с. Измерьте углы (аб), (ас) и (6с). Сравните угол (об) с суммой углов (ас) и (6с).

30.Сформулируйте основные свойства измерения углов.

31.Отметьте какую-нибудь точку. Проведите из нее полупрямую. Отложите на полупрямой из ее начальной точки отрезок, равный 5 см.

32.Проведите какую-нибудь полупрямую и отложите от нее угол, равный 45°.

33. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков

иуглов.

34.На полупрямой АВ из ее начальной точки отложили отрезок АС, меньший отрезка AB.t Какая из трех точек Л, В, С лежит между двумя другими? Объясните ответ.

35.Что такое треугольник?

36.Назовите вершины и стороны треугольника на рис. 17.

37.Какие отрезки называются равными?

38.Какие углы называются равными?

24

39.Что означает выражение: треугольник АВС равен треуголь­ нику A-JirfiJ

40.Сформулируйте первый признак равенства треугольников.

41.Какие прямые называются параллельными?

42.Проведите какую-нибудь прямую. Отметьте точку, не лежащую

на этой прямой. Проведите через эту точку параллельную прямую. 43. Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.

§ 2. О ТОМ, КАК В ГЕОМЕТРИИ ИЗУЧАЮТ СВОЙСТВА ФИГУР

Аксиомы, теоремы и доказательства. Правильность ут­ верждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение на­ зывается доказательством. Предложение, выражающее свойство геометрической фигуры, называется теоремой. Приведем пример.

Т е о р е м а 2.1. Если прямая а, не проходящая ни через одну из вершин треугольника АВС, пересекает его сторону А В, то она пересекает и притом только одну из двух других сторон, ВС или АС.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 20). Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Точки Л и В лежат в раз­ ных полуплоскостях, так как отрезок АВ пересекается с прямой а. Точка С лежит в одной из этих полуплоскостей. Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекается с прямой а, а отрезок ВС пересекается с этой прямой (рис. 20, слева). Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то отрезок АС пересекается с прямой а, а отрезок ВС не пересекается (рис. 20, справа). В обоих случаях прямая а пересекает и притом только один из отрезков АС или ВС. Вот и все доказательство.

Основные свойства I—VI простейших фигур, сформули­ рованные в предыдущем параграфе, являются отправными

25

свойствами в доказательствах других свойств. Эти свойства не доказываются и называются аксиомами.

Аксиомы неявно определяют основные геометрические понятия. Это понятия, выражаемые словами: «точка», «прямая», «принадлежать» (для точек и прямых), «лежать между» (для точек на прямой), «мера» (длина для отрезков, градусная мера для углов). Другие геометрические понятия являются производными. Они явно определяются через основные. Таковы, например, понятие отрезка, угла, тре­ угольника и др.

При доказательстве теорем разрешается пользоваться основными свойствами простейших фигур, т. е. аксиомами, а также свойствами, уже доказанными, т. е. доказанными теоремами. Никакими другими свойствами фигур, даже если они нам кажутся очевидными, пользоваться нельзя.

При доказательстве теоремы разрешается пользоваться чертежом как геометрической записью того, что мы выра­ жаем словами. Не разрешается использовать в рассужде­ нии свойства'фигуры, видные из чертежа, если мы не мо­ жем обосновать их, опираясь на аксиомы и теоремы, до­ казанные ранее. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть на­ зывается утверждением теоремы.

В § 1, кроме основных свойств, которые обозначены римскими цифрами, отмечены другие свойства: 1.1; 1.2; Г.З; 1.4; 1.5. Эти свойства получены нами путем рассужде­ ний с помощью основных свойств, т. е. аксиом. Значит, эти свойства являются теоремами.

Расположение углов, отложенных в одну полуплоскость.

Т е о р е м а 2.2. Если от полупрямой а отложить в одну полуплоскость углы (ab) и (ас), то либо лун Ь проходит между сторонами угла (ас) либо луч с проходит между сторонами угла (ab).

Условие этой теоремы состоит в том, что углы (ab) и (ас) отложены от полупрямой'а в одну полуплоскость. Тео­ ремой утверждается, что либо луч b проходит между сторона­ ми угла (ас) либо луче проходит между сторонами угла (ab).

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Обозначим через ах полупрямую, дополнительную к а. Углы (аф) и (ахс) различны. Значит, один из них меньше другого. Пусть, например, угол (аф) меньше угла (ахс). Отметим на полу­ прямых а, Ь и ах точки А, В, А г (рис. 21).

26

Прямая, содержащая луч с, пересекает сторону А гА треугольника А гАВ. Поэтому по теореме 2.1 она пересекает

луч с проходит между сторонами угла (ab), то прямая, со­

проходит между сторонами угла (ab), то он пересекает не­ который отрезок АВ с концами на сторонах угла (рис. 22). Так как отрезок АВ пересекается с прямой, содержащей луч с, то точки А и В лежат в разных полуплоскостях от­ носительно этой прямой.

По теореме 1.3 полупрямая а лежит в одной полуплоскос­ ти относительно прямой, содержащей луч с, именно, в по­ луплоскости, где лежит точка А. По той же теореме полу­ прямая b лежит в полуплоскости, которой принадлежит

27