Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

пересекают плоскость а,> в которой лежит эта прямая. По аксиоме параллельных прямые Ьг и Ъ2 совпадают. Итак,

данную плоскость, то она пересекает любую плоскость, па­ раллельную данной.

Если плоскость пересекает данную прямую, то она пере­ секает любую прямую, параллельную данной.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Начнем с первого утвержде­ ния теоремы. Пусть а — прямая, пересекающая плоскость Р, a Pi— плоскость, параллельная р. Докажем, что прямая

мой &!. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Первое утверждение -теоремы доказано.

Докажем второе утверждение теоремы. Пусть плоскость

апересекает прямую Ь. Докажем, что она пересекает

любую прямую Ьи параллельную Ь. Проведем через прямые 6 и&| плоскость р. Она пересекает плоскость а по прямой а (рис. 157, справа). Если бы плоскость а не пересекала прямуюb1 , то прямыеаиЬ были бы параллельны прямой bt. А это невозможно по аксиоме параллельных. Теорема до­ казана полностью.

Т е о р е м а 19.8. Отрезки параллельных прямых между параллельными плоскостями равны.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 158). Пусть а и р — две параллельные плоскости, сг и с2— две пересекающие их

135

параллельные прямые. Пусть прямая сх пересекает плос-

скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

аи ах плоскость а, а через прямыеЪ

иЬхплоскость р. Плоскости а и р различны, так как в про­ тивном случае прямые а и b были бы в одной плоскости. Плоскости а и р параллельны, так как прямые а и ах параллельны плоскости р. Утверждение доказано.

Упражнения

1. Доказать, что три различные плоскости либо пересекаются в од­ ной точке либо проходят через одну прямую, либо параллельны некото­ рой прямой.

2. Доказать, что все прямые, проходящие через данную точку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.

136

3. Пусть ах, а 2, as— три параллельные плоскости и а,Ъ — две пря­ мые, их пересекающие. Доказать, что соответствующие отрезки прямых а и Ьмежду плоскостями ах, а2, а 3— пропорциональпы, т. е. если Ах, Аъ А3— точки пересечения прямой а с плоскостями ах, ос2, а 3, а Вх, В2, В3— точки пересечения прямой Ь с этими плоскостями, то

АХА2 _А2А3 __А3АХ

ВХВ2 В2В3 В3ВХ

4. Даны четыре точки, Ах, А2, Л3, Л4, не лежащие в одной плоско­ сти. Доказать, что плоскость, параллельная скрещивающимся прямым Л1 Л2 и Л3Л4, пересекает остальные четыре прямые, попарно соединяю­

щие данные точки в вершинах параллелограмма.

б. Доказать, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость.

6. Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости Л, В, С, D. Доказать, что три прямые, соединяющие середины скрещивающихся отрезков АВ и CD, АС и BD, Ad и ВС, пересекаются в одной точке.

§20. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ

ИПЛОСКОСТЕЙ

Перпендикулярность прямых. Понятие перпендикуляр­ ности для пересекающихся прямых, следовательно, прямых,

дикулярности для скрещивающихся прямых. Для этого

точка пересечения прямых аг и Ьг. Проведем в плоскости параллельных прямых а и ах прямую, параллельную пря­ мой ССХ. Она пересечет прямые а и ах в точках А и Л,.

137

Аналогично, в плоскости прямых б и Ьх проведем прямую параллельную СС, и обозначим через В и В г точки ее пере­ сечения с прямыми б и bi.

Четырехугольники СААХСХ и СВВХСХ суть параллело­ граммы, так как у них противолежащие стороны параллель­ ны. Четырехугольник А В В ХА Х также параллелограмм. У него стороны А А Хи В В Хпараллельны, потому что каж­ дая из них параллельна прямой ССХ. Стороны АВ и А ХВ Х

т. е. прямые ах и Ьх перпендикулярны. Теорема доказана. Две скрещивающиеся прямые называются перпенди­ кулярными, если параллельные им пересекающиеся пря­

прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся), парал­ лельные им пересекающиеся прямые перпендикулярны.

Т е о р е м а 20.2. Если прямая а перпендикулярна пря­ мой Ь, то она перпендикулярна любой прямой Ьи параллель­ ной Ь.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Проведем пересекающиеся пря­ мые а 2 и Ь2, параллельные прямым а и & соответственно. Прямые а« и б2 перпендикулярны, так как перпендикулярны прямые а и Ь. По свойству параллельных прямых прямая б2 параллельна Ьх. Следовательно, прямые а и Ьх параллель­ ны пересекающимся перпендикулярным прямым а 2 и б2, а поэтому сами перпендикулярны. Теорема доказана.

Перпендикулярность прямой и плоскости. Прямая назы­ вается перпендикулярной плоскости, если она перпендику­ лярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Основной признак перпендикулярности прямой и плоскости дает следующая теорема.

Т е о р е м а 20.3. Если прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости а, то пря­ мая а перпендикулярна плоскости а.

Д о к а з а т е л ь с т в о (рис. 161). Пусть б и с — пере­ секающиеся прямые, лежащие в плоскости а, перпендику­ лярные прямой а. Обозначим через А точку пересечения прямых б и с . Рассмотрим сначала тот случай, когда пря­ мая а проходит через точку А.

138

Проведем произвольную прямую х через точку А в плост кости а и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Можно считать, что прямая х отлична от прямых Ъ и с. Отметим на прямой с точки С и D по разные стороны от точки Л, а на прямой Ь точку В, отличную от А. Прямая х пересекает сторону CD треугольника CDB, а следователь­ но, по известной теореме планиметрии пересекает в точке

треугольников А хВХ и AJ3X по первому признаку равен­

Так как прямая а перпендикулярна произвольной пря­ мой, проходящей через точку А, то она перпендикулярна любой прямой хи лежащей в плоскости а. Действительно, для такой прямой хх можно указать параллельную ей прямую х, проходящую через точку А. А перпендикуляр­ ность прямых а и х влечет за собой перпендикулярность прямых а и х г по теореме 20.2. Итак, теорема доказана для того случая, когда прямая а проходит через точку А пере­ сечения прямых b и с.

Рассмотрим общий случай. Пусть прямая а не проходит через точку А. Проведем через точку А прямую парал­ лельную а. Прямая аг перпендикулярна прямым Ь и с по теореме 20.2. Следовательно, прямая ai перпендикулярна

139