Файл: Погорелов, А. В. Элементарная геометрия.pdf

плоскости по доказанному. Это значит, что прямая а, перпендикулярна любой прямой х в плоскости а. По тео­ реме 2 0 . 2 прямая а, будучи параллельна прямой аи тоже перпендикулярна каждой такой прямой х. Следовательно, прямая а перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана.

Из теоремы 20.3 получается важное следствие, именуе­ мое т е о р е м о й о т р е х п е р п е н д и к у л я р а х .

Именно, если три точки. А, В, С, не лежат на одной прямой и две прямые из трех АВ, ВС, АС перпендикулярны данной прямой а, тощг третья прямая перпендикулярна прямой а.

Действительно, через три точки А, В, С можно провести плоскость. Эта плоскость перпендикулярна прямой а, так как прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости. Следовательно, прямая а перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в част­ ности, третьей из указанных прямых.

Свойства перпендикулярности прямой и плоскости. Т е-

о р е м а 20.4. Если прямая а и плоскость а перпендику­ лярны, то каждая прямая аи параллельная прямой а,

пендикулярна каждой такой прямой х. Следовательно,

плоскость, пересекающую плоскость а по прямой х. Так как прямая х х параллельна прямой х, а прямая а перпен­ дикулярна прямой х, то по теореме 2 0 . 2 прямая а перпен­ дикулярна прямой Xi. А это значит, что прямая а перпен­ дикулярна плоскости а х. Теорема доказана полностью.

Т е о р е м а 20.5. Дее прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны. Дее плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть а и ах— прямые, пер­ пендикулярные плоскости а. Допустим, прямая а1 не па­ раллельна а. Проведем через точку пересечения прямой ах с плоскостью а прямую а», параллельную а (рис. 162). По те­ ореме 20.4 прямая аа перпендикулярна плоскости а. Про­ ведем через прямые ах и аг плоскость. Она пересечет плос­ кость а по некоторой прямой Ь. Так как прямые о,, и- а,

140

перпендикулярны плоскости а, то они перпендикулярны пря­ мой Ь. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Пер­ вое утверждение теоремы доказано.

две различные плоскости fiy и ра. Через произвольную точку В прямой а проведем в плоскостях Pi и рг прямые Ьу и Ьг,

как перпендикулярна двум пря­ мым b y И Ь г в этой плоскости (теорема 20.3). Проведем плос­ кость cty через точку А парал­ лельно плоскости а. Плоскость а,у перпендикулярна прямой а по теореме 20.4.

Докажем единственность плоскости а и проходящей через точку А перпендикулярно прямой а. Допустим, что через

141

точку А перпендикулярно плоскости а. Допустим, что

называется перпендикуляром, проведенным из точки А к

142

дикуляра и наклонной, проведенными к прямой на плос­ кости. Именно, перпендикуляр, проведенный из точки А к плоскости а, короче любой наклонной, проведенной из этой точки. Ббльшая наклонная имеет большую проекцию.

Д о к а з а т е л ь с т в о (см. рис. 166). Треугольник АВС — прямоугольный с прямым углом В. По теореме Пифагора

АС* = АВ2 + ВС2.

Отсюда следует, во-первых, что А О А В , т. е. наклонная АС больше перпендикуляра АВ. Во-вторых, чем больше АС, тем больше ВС, т. е. чем больше наклонная, тем больше

еепроекция. Утверждение доказано.

Расстоянием от точки А до плоскости а называется длина

перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости а.

Расстояние от точки А до плоскости а есть наименьшее из расстояний точки А до точек плоскости а.

Подобно тому как параллельные прямые на плоскости, параллельные плоскости в пространстве являются равно­

лельная ей плоскость, то все точки прямой а находятся на одинаковом расстоянии от плоскости а. Доказательство этого утверждения аналогично приведенному выше дока­ зательству для параллельных плоскостей.

Пусть а и b — скрещивающиеся прямые, А п В — точки на этих прямых. Отрезок АВ называется общим перпенди-

из