Файл: Невский, М. В. Квазианизотропия скоростей сейсмических волн.pdf

откуда следует, что в данном случае К является средним между зна­ чениями К. в прослоях. Пределы изменения параметра К при усло­

вии, что 0 < <— , оказываются следующими:

0^ К < 1.

Заметим, что определение параметра К для изотропной среды мож­ но обобщить и на случай поперечно—изотропной среды путем введе­ ния двух значений коэффициентов Пуассона и i^ y , первый из

которых характеризует сжатие в плоскости изотропии при растяжении в направлении оси симметрии, второй - при растяжении в той же плос­

Для изотропной среды последняя переходит в формулу (2 .2 2 ). Введенные эффективные упругие параметры длинноволнового экви­

валента тонкослоистой среды позволяют представить уравнение индикат< рис нормальных скоростей ( 2 ,8 - 2 ,9 ) в более удобной форме [9 0 ,9 1 ]'

Для поперечных SH волн

(2 .2 3 )

Vsn(i) = V ^ l + U2$h “ 1) sin2i]^;

для квазипродольных и квазипоперечных волн SV

Здесь, как и прежде, знак плюс соответствует квазипродольным, а минус - квазипоперечным волнам. Уравнения (2 .2 3 ) и в особенности (2 .2 4 ) более удобны для аналитического исследования индикатрис^нор­

dV

мальных скоростей волн Р, SV и SH. Рассмотрев производные HJL. di

42

соответствует максимальному значению нормальной скорости волн SV,

^SVmax

“s v ‘ — ч Г '

Этот коэффициент не является независимым параметром поперечно­ изотропной среды, но позволяет охарактеризовать степень ее анизо­ тропности по волнам SV.,

для некоторых типов поперечно-изотропных сред [5 6 ]. Условия относи­ тельно эффективных упругих параметров поперечно-изотропной среды,

dVp

при которых —— |. . - =0, будут найдены ниже, di i=iQp

Индикатриса лучевых скоростей поперечных волн SH после введения эффективных параметров выразится в виде

ставление же их в параметрической форме ( 2 . 1 1 ) может существенно затруднять решение прямых и в особенности обратных задач сейсмо­ разведки в анизотропных средах. В частности, как и в случае изотроп­ ных сред, параметрические уравнения годографов сейсмических волн не позволяют с необходимой полнотой аналитически исследовать свойства годографов и, следовательно, выбрать наиболее рациональную схему интерпретации. Поэтому представляется важным получить зависимости лучевых скоростей от угла в в явном виде.

При горизонтальной или близкой к ней слоистости в осадочных толщах случай малых углов падения в представляет наибольший интерес для обычных модификаций метода отраженных' волн [9 2 ].

43

Для вывода приближенных уравнений v- %(в) рассмотрим вначале

При малых углах i последнее уравнение можно записать в виде сте­ пенного ряда

Ограничиваясь членами второй степени малости относительно sini, получим следующие приближенные формулы для нормальных скоростей

?S V = U 2pU -vf) - K2(K2 + 2yJ)-y{]y-f (l-j^ )"1.

SV

44

Таким образом, для малых углов падения индикатрисы лучевых ско­ ростей квазипродольных и квазипоперечных волн представляют собой эллипсы с полуосями соответственно Vjp, «pVjp и V^g, kSv YLS"

Величины ТГр и можно назвать кажущимися коэффициентами

анизотропии квазипродольных и квазипоперечных волн SV, поскольку они характеризуют изменение лучевых скоростей при малых углах па­ дения и отличаются от истинных коэффициентов анизотропии. Формулы для кажущихся коэффициентов анизотропии имеют следующий вид:

Пределы применимости полученных приближенных формул оценены путем расчетов и сопоставления индикатрис скоростей, вычисленных для различных значений эффективных упругих параметров по точным и приближенным формулам. Оценка погрешности приближенных формул по­

в качестве примера индикатрисы лучевых скоростей квазипродольных волн для двух моделей поперечно-изотропной среды. На рисунке вид­ но, что характер изменения скоростей для малых углов хорошо опи­ сывается полученными приближенными формулами.

Задачу об аппроксимации индикатрисы лучевых скоростей в некото­ ром интервале углов 0f[o,0m] можно поставить и в другом виде.

Vp(в), м/сек

Рис. 7. Индикатрисы луче­ вых скоростей квазипродоль­ ных волн в поперечно-изо­ тропной среде

1 ,1 —расчитанные по

45

В частности, можно попытаться найти простую кривую, например эл­ липс с полуосями а и Ь, который наилучшим образом аппроксимирует индикатрису лучевых скоростей в интервале углов [о, в т]. Решение такой задачи удобно провести по методу наименьших квадратов. При этом одну из полуосей эллипса, совпадающую по направлению с осью симметрии среды, целесообразно выбрать равной Vjp.

Рассмотрим решение поставленной задачи, например, для продоль­ ных волн. Поскольку индикатрисы лучевых скоростей полностью опре­ деляются индикатрисами нормальных скоростей, можно вначале решить ее для нормальных скоростей. Уравнение для аппроксимации индикат­ рисы нормальных скоростей возьмем в виде

Vp(i) = V|p [1 + /3 sin2i ] 2,

где неизвестным является параметр /3. Для нахождения этого пара­ метра по методу наименьших квадратов следует найти минимальное значение интеграла

где Vp(i) - точное выражение индикатрисы нормальных скоростей;

Vp (i) - аппроксимирующее уравнение; im - максимальное значение уг»

ла L, для которого подбирается аппроксимирующая формула. Квадраты скоростей под знаком интеграла взяты для удобства вычислений.

Из последнего выражения обычным способом находим уравнение дл* определения

d lm 9

/tV2 (i) - V 2 (i)]2 di ! = 0,

После преобразований из последней формулы находим выражение для коэффициента анизотропии аппроксимирующего эллипса, связанного!

где </>(im) - функция, определяющая влияние интервала углов, в кото­ ром производится аппроксимация индикатрисы лучевых скоростей

46