Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

§ 5.2]

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

109

видно,

что если Р^'_^ (х) = 0, то

/М. Р) (X) = — Рп'-У^ (X).

Таким образом, эта последовательность многочленов

образует обобщенный ряд Штурма. Из алгебры

известно,

этих многочленов при заданном значении

х, а через г —

число вещественных корней многочлена

^ (х), то будем

иметь г ^ и (— со) —и (со). А так как

последовательность

р(К р) (х)

содержит многочлены

всех

степеней с коэффи­

циентами

при старших членах одного

и того же знака, то

и (со) —0,

а

и(— со) = ц в

последовательности (5.2.20) и

и (— оо) =

п — 1 в последовательности (5.2.21). Следователь­

но, все корни многочлена

^ (х) не только вещественны

при любых

вещественных к и ц,

но,

кроме того, просты

и корни

(х) взаимно разделяются с корнями *) Р&. р ) (*).

Отсюда

на основании

теорем

а)

и б)

(см. стр. 106)

корней

многочлена

Р„’ (х) одного знака. Этот знак может

быть

только

плюсом,

так

как

коэффициент

при

х’1"1

в Рп'(х) отрицательный. Таким

образом, доказано, что

все

корни многочлена

Р ^ (х) при s = 2 лежат в правой

полуплоскости.

Перейдем теперь

к

параметру

s = 3. Из явного выра­

жения

(5.2.1)

для

многочленов Р& (х) видно,

что много­

член

Р’п (х) можно

получить

из

многочлена Р'п(х),

если

для

s =

2 многочлен РТ (х)

имеет вид (5.2.16), тогда для

s —3

многочлен Рп'(х) имеет следующий вид:

р п' М =

апх" + jjqpj- ап^х»-' +

2 я - 1

n-j-2

п + 1

+

я +

1 а11-гхп~2-f ...

я + 1 ахх

я -f-1

(5.2.22)

Для дальнейшего нам потребуется следующая

известная

из анализа теорема**).

*) См. Ф.

Г а н т м а х е р ,

Теория матриц, М., «Наука», 1967,

стр. 471.

П о л н а , Г.

С е г е , Задачи

и теоремы из анализа,

**) См. Г.

т. II,

М.,

Гостехиздат, 1956,

стр.

77.

§ 5.2]

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

111

я+ 1 [ ( n + l ) C * _ i + (2rt+l)C*zl] =

( л + 1)

n—k Сп + (2л + \)~Сп

= дтдфт-] [ { n + \ ) { n - k ) + k{2n+\)V

n-\-k+ 1 k

- ^ Г Т 1 ) ("2+ ^ + П) = - л+ l C«-

члена Q (х) отрицательны: хг = —

и х = — 1 — корень

кратности

л — 1.

корни многочлена Р'п {х) лежат в пра­

Таким

образом,

вой полуплоскости,

а корни Q (х)

отрицательны. На осно­

вании теоремы в) корни многочлена

Р'п (х), являющегося

комбинацией РТ(х) и Q(x), также

будут лежать в пра­

вой полуплоскости.

Зная, что корни многочлена Р'п (х) имеют положитель­

Это можно

доказать и другим способом. Для

много­

членов Рп{ (х)

имеет

место

интегральное представление

(5.2.10). Продифференцируем указанное равенство

по х,

получим

Рпу{ ( х ) = Г ( n + s - l )

п + s -

(1 - x t) n~ xe~t dt^=

nt‘

СО

= л(л + s - 1)

jj

tn±s~l (\ - x t y - H - t dt =

этого

из формулы

(5.2.26)

видно,

что если

корни много­

членов Рп( (х)

при

s = 2

и s = 3

расположены в правой

полуплоскости,

то корни

всех многочленов при целых s,

больших 2, тоже расположены в правой

полуплоскости.

Теорема 4 доказана.

многочленов

В

теореме

4

установлено, что корни

Р п{ (х) имеют положительные вещественные части при всех

целых sSs2. Для других

положительных

значений пара­

метра s, в частности

для

положительных

рациональных,

этот

вопрос остается

открытым.

Однако

в

тех вычисле­

ниях (см. [8]),

которые были проведены для s = 0,01 (0,01) 3

и л = 1 (1) 10,

корни

всегда

лежали

в правой полупло­

скости,

причем их

действительные

части

росли

вместе

с ростом s.

На

этом

можно закончить

исследование

свойств

орто­

гональных

многочленов, связанных

с квадратурной фор­

Следует

заметить,

что эти многочлены являются част­

ным случаем

так

называемых

многочленов Бесселя

уп (х , а, Ь)

при а = s,

b = — 1 , которые были исследованы

в работах

Г.

Крола и О. Фринка,

В. А. Аль-Салама.