Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 145
Скачиваний: 0
118 ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ, 5
Отсюда следует, |
что |
|
|
|
|
|
п |
п |
|
|
|
|
2а 2 |
П |
(xk ~ xm) |
п |
|
Р п( Г' Ы |
j = I |
tn= 1 |
|
2 |
|
] ф к |
т ф \ , |
k___________ = V |
|||
P f (Хк) |
|
п |
|
|
(xk — xf) 1 |
а П ( Ч — х т ) |
|
|
|||
|
т~ 1' |
|
|
|
|
|
тфк |
|
|
|
|
Теперь уравнение (5.3.10) можно записать в виде
П
(5.3.11)
\фЬ
Заменим xk на — и сделаем несложные преобразования
вравенстве (5.3.11):
", Г1/—
}фк
У 2Р/ -ь S — = 0,
\фк
2 2 (1 +?йт)+8-л=0'
2 (я — 1) + У |
%Рк |
S ~ P k = 0, |
|
||
|
|
/=1 P f - P k |
|
|
|
У |
2 |
и |
2n + s - 2 __p |
(5.3.12) |
|
^ |
Ра—Р/ |
|
Рк |
||
|
|
||||
№
Записав равенство (5.3.12) для всех k (k= 1, 2, ... , п), получим систему уравнений для определения узлов квад ратурной формулы рк.
§ 5.3] МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ И УЗЛОВ 119
Равенство (5.3.12) приобретает простой физический смысл, если воспользоваться некоторой электростатической аналогией. Предположим, что в точку 0 комплексной плоскости помещен электрический заряд отрицательной массы — (2п -[- s — 2). Наряду с ним рассмотрим п свобод ных зарядов с положительной массой 2 и комплексные
координаты их |
назовем |
ри {k= \, |
2, ..., |
п). Будем |
счи |
||
тать, |
что они действуют |
друг |
на друга с силой, обычной |
||||
для |
плоского |
электрического |
поля, |
когда |
численное |
зна |
|
чение силы обратно пропорционально первой степени рас стояния и коэффициент пропорциональности равен произ ведению масс зарядов. Кроме того, будем считать, что к каждому свободному заряду рк приложена внешняя сила, имеющая величину 2, параллельная действительной оси и направленная в положительном направлении этой оси. В состоянии равновесия системы равнодействующие всех сил, приложенных к каждому из свободных зарядов, должны равняться нулю:
П
2. 2 |
2 (2 « + s — 2) , 9 = n |
|
P k - P j |
|
P k ~ 0 |
Если равенство сократить |
на множитель 2 и перейти |
|
к комплексно сопряженным величинам, получится си стема (5.3.12).
Равенство (5.3.12) является системой уравнений, из которой могут быть найдены узлы квадратурной формулы. Так как узлы рк являются числами комплексными, то, представив pk в виде p* = sA+ /a*> систему (5.3.12) можно преобразовать, отделив в ней действительную и мнимую части. После этого получится следующая система урав нений для определения sk и о*:
2 |
2 —Sj) |
. |
(2rt + |
s - 2 ) sk |
; = 1 (s* |
- s/)2+ ( a* -* ;) 2 |
|
|
: 0, |
|
4 |
+ 4 |
||
\фЬ |
|
|
|
(5.3.13) |
2 |
2 (ak-Of) |
|
|
|
|
(2 n + s —2) ok |
|||
|
|
|
|
= 0 . |
= J(sf t - sy)2+ (ai - a;)2 |
4 + 4 |
120 |
ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 5 |
Система (5.3.13) состоит из 2п уравнений. На самом же деле их будет всего п, так как числа рк являются комп лексно сопряженными числами:
|
Рг ~ Pi> |
Pi = p3< |
||
Следовательно, |
|
|
|
|
^2 = ®1> |
^4 — S3, |
•••! |
= |
CTj, O4 = — (Т3, . . . |
В таблицах |
1 и 2 |
книги [8] |
приведены значения узлов |
|
и коэффициентов квадратурной формулы (5.1.5), имеющей
наивысшую |
степень точности, для |
s = 1, |
2, 3, 4, 5; п— |
|
= 1(1)15 |
с |
20 верными знаками |
и для |
s = 0,01 (0,01)3; |
п = 1 ( 1) 1 0 |
с |
7 — 8 верными знаками. |
|
|
Г Л А В А 6
МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА С ПОМОЩЬЮ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 6.1. Построение вычислительной формулы
Будем предполагать, что задача обращения преобразо вания Лапласа снова сведена к вычислению интеграла
|
|
|
e + io o |
|
|
|
|
|
|
i |
jj |
epp~sy{p)dp. |
(6.1 Л) |
|
|
|
8 — 1 СО |
|
|
|
Для |
вычисления |
его |
построим квадратурную |
формулу |
||
с равными коэффициентами |
|
|||||
|
e + |
ico |
|
п |
|
|
|
— |
jj |
epp-sф (р) ё р ^ С п ^Ч> (Pk). |
(6. 1 .2) |
||
|
8—100 |
|
k= 1 |
|
||
Неизвестными |
величинами, выбором которых можно |
|||||
распорядиться, |
в формуле |
(6.1.2) являются числа Сп и pk |
||||
(k = l, |
2, . .. , п). Выберем |
их так, чтобы формула (6.1.2) |
||||
была |
точной для |
любого |
многочлена степени |
п от пере |
||
менной 1 /р. Это требование равносильно тому, чтобы фор
мула (6. 1.2) |
была |
точной для функций q>(p)=l/pk (k = |
= О, 1.........п). |
Множитель Сп определим из условия, |
|
чтобы равенство (6. |
1.2) было точным для функции ср (р) = 1: |
|
е+ £ оо
Ш§ ерр-Ыр = пСп,
£ — 1 СО
следовательно,
е -И с о
^ л — "к 2л7 \ еРР S ~ лГ (s)' |
(6.1.3) |
£ — 1 СО
122 ФОРМУЛЫ С РАВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ [ГЛ. 6
Правило (6.1.2) |
при найденном таким образом |
значе |
|||
нии Сп принимает вид |
|
|
|
||
e + io o |
|
|
|
|
|
2я1 |
ерр- 5Ф (р) dp ■- |
nV(s) |
2 ф(Р*)- |
(6.1.4) |
|
- Ссо |
|
|
|
k = \ |
|
Если перейти |
от |
переменной |
р к |
переменной х — \/р |
|
и обозначить хк=1/рк, то для неизвестных хк получится
следующая система |
уравнений: |
|
|
||||
|
|
8+ tСО |
пТ (а) |
|
|||
х 1 + х 2 + |
... + хп = Щ ^ 1 |
J |
еРр-’ р -Ы р |
|
|||
Г ( 5 + 1 ) ’ |
|
||||||
|
|
8 — С оо |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
8 + |
С СО |
|
ПГ(8) |
|
|
^ + ^ + |
••■ + 4 = ^ |
^ |
[ |
epp~sp~2dp |
(6.1.5) |
||
Г (s+2) ’ |
|||||||
|
|
8—tOO |
|||||
|
|
|
|
||||
|
|
e + too |
|
пГ (s) |
|
||
хр + х%+ --- + х%= ~ |
^ |
^ |
epp-sp~ndp |
|
|||
Г (s + я) |
|
||||||
|
|
e — ico |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Из полученной системы можно было бы находить зна |
|||||||
чения хк и, следовательно, |
рк. Но так как эта |
система |
|||||
нелинейна, решение ее может вызвать некоторые вычисли
тельные |
затруднения. |
Поэтому можно попытаться найти |
|
другой |
способ вычисления |
хк, аналогично тому, как это |
|
делается |
для квадратур Чебышева в области действитель |
||
ной переменной (см. |
[6], |
стр. 192). Введем многочлен |
|
соя (х) степени п, корнями |
которого будут числа хк: |
||
Шл (X) = (Х —Xj) (х — х 2) . . . ( х - хп).
Разложим этот многочлен по степеням х:
соя (х) = хп-f Ai_xn~x + А2хп~2+ . . . + А„-!Х + А„.
Как известно, коэффициенты Ак будут элементарными симметрическими функциями корней. Равенства же (6.1.5) дают суммы степеней корней хк:
П
^ |
4 = г (['-|_s) |
(г ==1> ^......... |
л). |
(6. 1.6) |
4 = |
1 |
|
|
|
Запишем теперь хорошо известные в теории многочленов соотношения между элементарными симметрическими функ