Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

100 ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 5

—(n -f 1) (n -f s) (n -fs — 1) .. . (2n - f s — 1) =

=— апп (n -|- s — 1) {ti “I- s)... (2n -4“ s — 3) -f

‘( n f s — 1) ( n f s — 1) (n-f s ) ... (2n-f s — 3) ( 2 n fs — 2) ~~

(2n + s — 1) (s —2)

( 2 n f s — 2) (n -f s — 1) •

Наконец, определим cn, сравнивая, например, свободные члены в правой и левой частях равенства (5.2.6):

( _ 1)/и-1 = £я ( _ 1)я + Ся (_ !)« -!,

Таким образом, можно сформулировать следующую теорему.

Т е о р е м а 2. Любые три последовательных многочлена Рп](х) связаны рекуррентным соотношением!

5.2.3.Дифференциальное уравнение, решением кото­

рого являются многочлены P(ns) (jc). Для многочленов

P„s) (х) можно указать линейное дифференциальное урав­ нение второго порядка с переменными коэффициентами, которому они удовлетворяют.

В самом деле, для P„s) ^ j , как мы уже установили,

имеет место условие ортогональности Е+ /00

ыS ^ - ' П = ’( ~ ) < з ( ф ) ^ = о .

е— /со

102 ОБРАЩЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ КВАДРАТУРНЫХ ФОРМУЛ [ГЛ. 5

Первое слагаемое правой части снова обращается в нуль. Рассмотрим второе слагаемое. В квадратных скобках под знаком интеграла стоит некоторый многочлен степени k, следовательно, в силу условия (5.2.8) интеграл равен нулю

стоящий - в квадратных скобках, ортогонален с весом eHxxs-i к xk для ^ — о, 1, ..., п — 1. Отсюда можно заклю­

чить, что этот многочлен отличается от Рns)( (х) лишь постоянным множителем уп:

x2P(nS)" (X) + (sx - 1) P f (х) = УпР ^ (х).

Для определения множителя уп достаточно сравнить в пос­ ледней формуле коэффициенты при хп:

n ( n — l)(n + s — l)...(2n-fs — 2)-f

4-sn (n -)-s— l ) .. . ( 2n 4-s — 2) = y„(« + s — 1). ..(2n + s —2).

Отсюда n(n — l)-fsn = v„, или yn — n(n + s — 1).

Таким образом, доказана

Т е о р е м а 3. Многочлен Рп'1(х), определяемый форму­ лой (5.2.1), является решением линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами

x2P{nS)" (х) + (sx - 1) P nsy( ( х )- п (п + s - 1 ) P ns>( (х) = 0. (5.2.9)

5.2.4. Интегральное представление многочленов Р „*(1 х).

Покажем, что многочлены Р{п (х) имеют следующее интег­ ральное представление:

00

§ 5.21 ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 163

Проверим это, вычислив интеграл, стоящий в правой

Полученное выражение совпадает с формулой (5.2.1) для многочленов Рп( (х), что и доказывает утверждение (5 .2 . 10).

5.2.5.Производящая функция для многочленов Р(^ ( х ) .

Многочлены Рп\х) можно рассматривать как коэффициенты разложения в ряд Тейлора некоторой аналитической функ­ ции, которая называется производящей функцией этих многочленов.

указанных двух точек, ее можно представить интегралом Коши:

Выполним преобразование