Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 110

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г Л А В А 2

НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

§ 2.1. Нахождение оригинала с помощью формулы обращения

В гл. 1 было показано, что если f(t) является оригиналом, a F (р) его изображением по Лапласу, то для вычисления оригинала по изображению можно пользоваться комплекс­ ным интегралом

с-\- iоо

 

f(t) = 2*7

§ np)eptdp,

(2Л.1)

С —

£ СО

 

где с есть абсцисса в полуплоскости абсолютной сходимости интеграла Лапласа. Правда, для непосредственного вычис­ ления функции f(t) использовать формулу (2.1.1) затруд­ нительно, так как она требует знания функции F (р) для

комплексных

значений p = c-\-iy (— оо < .у < о о ) и инте­

грал является

несобственным, с колеблющимся ядром. Но

поскольку

(2.1.1)

является интегралом от аналитической

функции,

взятым

по контуру в комплексной плоскости,

его можно преобразовать, применив для этого методы, известные из теории функций комплексного переменного, например изменение пути интегрирования, вычисление вычетов и т. п. Такого рода преобразования в некоторых случаях позволяют получить практически удобное выра­ жение для оригинала, из которого можно получить важные свойства функции, определяемой комплексным интегралом.

Методы вычисления оригинала при помощи таких пре­ образований комплексного интеграла (2.1.1) рассмотрим

вследующих пунктах настоящего параграфа.

2.1.1.Разложение оригинала в ряды по показательным функциям. Для одного важного класса изображений F (р) можно получить разложение оригинала в ряд, члены кото-

§ 2.1]

н а х о ж д е н и е

о р и г и н а л а

п о ф о рм у л е о б р а щ е н и я

25

рого соответствуют особым точкам изображений.

А именно,

справедлива следующая

 

 

F (р) мероморфнсс,

Т е о р е м а 1.

Пусть 1) функция

2) функция F (р)

аналитична в некоторой полуплоскости

Re р >

а;

3)

существует система окружностей

 

 

 

Сп :

| р \=

Rn,

Ri < R 2< ...

{Rn-+ со),

 

на которой F (р)

стремится к нулю равномерно относи­

тельно argр;

4)

для любого с > а абсолютно

сходится

интеграл

с-\- i оо

 

 

 

 

 

 

$

F (р) dp.

 

 

 

 

 

 

 

с — £ оо

 

 

 

 

 

 

Тогда оригиналом F (р) служит функция

 

 

 

 

 

 

f(t) = ^ resF(p)ept,

 

(2.1.2)

 

 

 

 

 

р*

рк

 

 

 

где вычеты вычисляются

по

всем полюсам функции

F(p)

исуммирование выполняется по группам полюсов, лежащих

вкольцах между соседними окружностями Сп.

До к а з а т е л ь с т в о . В условиях теоремы 1 справед­ лива теорема 7 гл. 1, согласно которой F (р) является

изображением функции

С-j- i ОО

£(0 = й 5

$ eptF(P)dp.

(2.1.3)

 

с — i оо

 

Обозначим через С'п часть окружности С„, расположенную

левее

прямой

Re р = с, через

с ± ibn —точки пересечения

этой

прямой

с окружностью

Сп и через Г„ — замкнутый

контур, составленный из отрезка [c— ibn, с + ibn\ и дуги С'п и проходимый против часовой стрелки. Так как по лемме Жордана при t > О

lim \ ept F (р) dp = 0,

« - * оо „г

то интеграл в формуле (2.1.3) можно заменить следующим интегралом:

I ( 0 = П т о2й J eP‘ F(P)dp.

(2.1.4)

Теперь, применяя теорему

ГЛ

получим

Коши о вычетах,

/ ( / ) = Пт

^ res F(p)ept,

 

26

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ

[ГЛ. 2

где вычеты берутся во всех особых точках функции F (р), лежащих внутри Тп. Полученное равенство доказывает теорему.

2.1.2. Частные случаи разложения оригинала в ряды по показательным функциям. Рассмотрим случай, когда функция F (р) является дробно-рациональной функцией. Тогда имеет место

Т е о р е м а 2. Если функция F(p) =

дробно-рацио­

нальна, причем степень многочлена А (р) меньше степени многочлена В (р), то оригиналом ее служит функция

пУ1*-1

/ ( 0 = 2 — — Ига \ - r { F { p ) ( p - P k ) nkep% (2.1.5)

где pk — полюсы F (р), a nk— ux кратности, и сумма берется по всем полюсам.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего заметим, что функ­ ция F (р) будет изображением. Это следует из теоремы о разложении дробно-рациональной функции на простейшие дроби, линейности преобразования Лапласа и справедли­ вости формулы

t nep«t

я!

~ { Р — Ро)п+ 1

 

(где справа

стоит

изображение,

слева —его оригинал).

Следовательно,

 

c - \ - i со

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(t) = 2ni 5

ept Р (Р) dp,

(2.1.6)

где c > m a x R e p b

pk —полюсы функции F (р).

Так

k

как

и в предыдущей теореме,

интеграл (2.1.6)

же,

можно

заменить

интегралом

(2.1.4), ибо в силу того, что

F(p)->- 0 при p -v o o , применима лемма Жордана.

Применяя к интегралу (2.1.4) теорему о вычетах и

формулу (1.3.4)

для вычисления

вычетов

в полюсах, при­

дем к формуле (2.1.5).

В частности, если все полюсы простые, то формула (2.1.5) упрощается:

/(о= k=2

A (Pk) Pkt

(2.1.7)

\ B'(Pk)

 

§ 2.2]

р а з л о ж е н и е о р и г и н а л а в с т е п е н н ы е р я д ы

27

(мы воспользовались формулой (1.3.6) для вычисления вычетов в простых полюсах).

З а м е ч а н и е . Если многочлен В (р) имеет действительные коэф­ фициенты, то каждому его комплексному корню р отвечает комп­ лексно сопряженный корень р. Если и многочлен А (р) имеет дей­ ствительные коэффициенты, то тогда

 

 

(Р)

,pt

_

Л (р)

 

 

 

' (Р)

 

 

В' (р)

 

 

 

 

 

„

А (р)

,

и, следовательно, сумма выражении —■

-

ер1, вычисленная для комп­

лексно сопряженных корней

pk

и р к,

будет равна 2 Re ^ j f k\ -ePkt.

o

r

.

 

 

 

 

^ \Pk)

Значит,

формулу (2.1.7) можно в этом

случае представить в виде

 

 

 

 

+ 2 Re V А (р*) / Р

 

 

 

 

 

 

L

b ' (Pk) e

где в первом слагаемом суммирование ведется по всем действительным корням В (р), а во втором слагаемом —по всем комплексным корням с положительными мнимыми частями.

§ 2.2. Разложение оригинала в степенные ряды

Предположим, что изображение F (р) аналитично в бес­ конечно удаленной точке. Тогда, как известно из опера­ ционного исчисления, F (оо) = 0. Разложим функцию F (р) в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки и покажем, что ее оригинал можно получить, взяв сумму оригиналов членов этого разложения. Зная, что оригиналом

функции \/рпявляется функция

1)!, сформулируем

следующую теорему.

 

Т е о р е м а 3. Если F (р) аналитична в бесконечно уда­ ленной точке и имеет в ее окрестности разложение Лорана

СО

( 2. 2. 1)

ft —1

то оригиналом F (р) служит функция

со

 

 

(2.2.2)

k = \

 

которая является целой функцией.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

По условию теоремы

функция

F [р) аналитична в круге

\ p \ ^ R . Положим

p = \ / q и
мум модуля функции / (г) в области D,
круга, то справедливо неравенство | / |,г) (г0) | «£
ГДе М — макси­
*) Неравенство Коши для коэффициентов: если аналитична в круге D = \z —z0 \<.R и непрерывна на
Мд1
Теорема доказана.
k=l
СО
т. е.

28 АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ 1ГЛ. 2

F (p) = f (— ) = Ф (?). Функция Ф (?) = ^ будет анали-

тична в круге j ? ! С 1IR, и для ее коэффициентов на осно­ вании неравенства Коши *) верны неравенства

( £ = 1 , 2 , . . . ) .

Из полученных неравенств для любого t находим

СО с о

k= \

Iс‘ 1 Й ^ а д 2

т

= а д е 5 1 ' 1 (2-2-3)

k=0

 

 

Отсюда видно, что ряд (2.2.2) сходится во всей пло­ скости /, т. е. f(t) является целой функцией переменной t.

Из неравенства (2.2.3) непосредственно следует, что для ^ > 0

|/ ( 0 1 < С е « И

Таким образом, для функции f(t) выполняется нера­ венство вида (1.1.3) и она является оригиналом.

Умножив ряд (2.2.2) на e~pt, получим ряд, равномерно сходящийся для всех значений t. Значит, его можно по­ членно проинтегрировать по 1 в пределах от нуля до бесконечности. Тогда

со со

2С*(Ёту.е~Р>dt=

оk = l

со

оо

 

“ 2

1 -pt

cJl

° к § (ft-l)!'

< 4 - 1 nk >

k = \

о

i = l

функция / (г) границе этого

Смотрите также файлы