Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 113
Скачиваний: 0
§ 2.3] ОБОБЩЕННЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ ДЛЯ ОРИГИНАЛА 29
§ 2.3. Разложение оригинала в обобщенные степенные ряды
Теорема 3 может быть распространена на обобщенные степенные ряды (см. [2]). Здесь мы ограничимся наиболее простым случаем.
Т е о р е м а 4. Пусть F (р) 0 при р-*-оо, Rе р < с {с —некоторое положительное число), и не имеет' в конеч ной p-плоскости никаких особенностей, кроме начала коор
динат р —0, которое является точкой |
разветвления сте |
||||
пенного типа. |
|
F (р) |
в обобщенный степенной |
||
Тогда, если разложение |
|||||
ряд имеет вид |
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F{p)=pF £ |
с*р*е, |
|
(2.3.1) |
||
|
|
*= о |
|
|
|
где Р — положительное число, то оригиналом функции F (р) |
|||||
будет ряд |
СО |
|
|
|
|
1 |
|
ck |
1 |
|
|
у |
|
(2.3.2) |
|||
f“ +1 |
^ |
Г (— а - а д |
|
||
|
’ |
||||
в котором вычеркнуты все члены с целыми неотрицатель ными а -\-Щ.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Рассмотрим замкнутый |
контур |
||||||
Сд, м составленный из |
отрезка [c— ib, |
c-\-ib], дуги Сд |
||||||
окружности |
\р\ = R, Re р < с, |
Im р < 0, |
дуги |
Сд той же |
||||
окружности, |
определяемой |
неравенствами |
Rе р < с и |
|||||
Im р > |
0, двубережного |
разреза |
вдоль |
отрезка |
действи |
|||
тельной |
оси |
— / ? < R е р < —г и |
окружности |
с/.\р\ = г. |
||||
Так |
как |
функция epi F (р) |
аналитична |
внутри |
контура |
|||
Сд, г, то интеграл от этой функции вдоль контура Сд, г
равен |
нулю |
и, следовательно, |
интеграл |
вдоль |
отрезка |
||||
[c— ib, c-\-ib] можно заменить |
интегралом |
по остальной |
|||||||
части контура. Кроме того, по |
лемме |
Жордана |
интеграл |
||||||
от ер' F (р) |
вдоль |
Сд -f Сд при |
t > 0 |
будет стремиться |
|||||
к нулю |
при R - > со, поэтому формулу |
обращения можно |
|||||||
записать |
в |
виде |
|
|
|
|
|
||
|
Н т |
Л- |
J |
F (р) ept dp = |
§ F(p)eptdp, |
(2.3.3) |
|||
|
|
|
|
СД, г |
|
Сг |
|
|
|
где С? —контур, |
составленный |
из двубережного |
разреза |
||||||
—• оо < |
Re р < |
— г и окружности j р | = г без точки р — — г. |
|||||||
30 |
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАЩЕНИЯ |
ГГЛ. 2 |
В формулу (2.3.3) подставим выражение (2.3.1) для F(p), проинтегрируем почленно*) и получим
ОО
Введем новую переменную интегрирования, положив z = pt; так как t > 0, то вид контура интегрирования не изме нится и мы получим
ОО
/ ( 0 = 2 |
2= /а+/;р+г ^ z a+^ez dz. |
(2.3.4) |
k = 0 |
c*rt |
|
Как известно из теории функций комплексного перемен ного, интегральное представление функции 1/Г (х) имеет вид
|
|
|
1 |
h |
\ eZ~XdZ' |
|
|
|
г (X) |
|
|||
|
|
|
|
|
с* |
|
где |
С* —контур вида |
С%, |
причем в точках х — 0, — 1, |
|||
—2, ... эта функция |
обращается в нуль. |
|
||||
|
Поэтому формулу |
(2.3.4) |
можно записать в виде |
|||
/ ( 0 — 2 с*га+*Р+1 Г (— а - Щ <“ +1 2 |
Г (— а - Щ ’ |
|||||
|
А = |
0 |
|
|
k = |
0 |
где нужно |
вычеркнуть члены с целыми неотрицательными |
|||||
а + |
k$. Теорема доказана. |
|
|
|||
*) Для возможности почленного интегрирования ряда вдоль бес конечной прямой требуются дополнительные условия. Достаточно, например, потребовать сходимости интеграла вдоль разреза [— сю, — г]
со
от суммы ряда \ez \ 2 \ C k \\ p \k® |
(см., |
например, |
Г. В а т с о н , |
k = o |
ИЛ, |
1949, стр. |
727). |
Теория бесселевых функций, часть I, |
Г Л А В А 3
МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА, ОСНОВАННЫЕ
НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ СПЕЦИАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
§3.1. Обращение преобразования Лапласа
спомощью многочленов, ортогональных на конечном промежутке
Вэтой главе будет построено несколько методов, даю щих в большинстве случаев лишь принципиальную воз можность выполнить обращение преобразования Лапласа при помощи рядов. Коэффициенты таких рядов могут быть найдены из бесконечных систем уравнений с треуголь ными матрицами, решаемых последовательно, или иными равносильными способами.
Эти системы |
неустойчивы относительно роста погреш |
||
ностей. |
Задачи |
оценки |
погрешностей и выяснения условий |
сходимости реальных |
вычислительных процессов еще |
||
не исследованы. |
|
|
|
3.1.1. Постановка задачи. Задачу обращения преобра |
|||
зования |
Лапласа можно решать методами, основанными |
||
на разложении |
оригинала в ряды по ортогональным функ |
||
циям, в |
частности по |
многочленам Чебышева, Лежандра |
|
и Якоби. Эта задача, |
которая в окончательном своем виде |
||
сводится к проблеме моментов на конечном промежутке, была подвергнута изучению в работах многих авторов.
Рассмотрим постановку этой задачи в таком виде, как это сделано в работах В. М. Амербаева и в книге В. А. Диткина и А. П. Прудникова [4].
Пусть известно преобразование Лапласа F (р) функции
СО |
|
F(p) = \e~Pф (t)f(t)dt, |
( 3. 1. 1) |
о
32 МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ОБРАЩЕНИЯ [ГЛ. 3
где |
/(£) —искомая функция, а Р (t) —неотрицательная, |
||
абсолютно интегрируемая на [0, со) функция. |
Предполо |
||
жим, |
что функция f(t) интегрируема |
на любом конечном |
|
отрезке [О, Г] и принадлежит классу |
L2 (Р (t), |
0, оо): |
|
|
ОО |
|
|
|
$ Р (0 1 /Ф )Р d t< co . |
(3.1.2) |
|
|
О |
|
|
Требуется по изображению F (р) функции р (t)f(t) построить
функцию f(t). |
|
|
|
|
х = е |
|
В интеграле (3.1.1) введем замену переменной |
||||||
тогда он приведется к виду |
|
|
|
|
||
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
F(p) = \ хра>(х) ср (лг) dx, |
(3.1.3) |
|||
где |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф(*) = /(—1п*)> |
W = P(~Jn"'• |
|
|||
В силу |
условий, |
которые |
наложены на функции f (t) и |
|||
Р(£), интеграл (3.1.3) сходится |
всюду |
в полуплоскости |
||||
Re р 3s 0, поэтому |
переменной р |
можно |
придать |
значения |
||
О, 1, 2, |
... и получить «взвешенные моменты» функции ф (х): |
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
р* = |
F (k) = J хкш(х) ф (х) dx. |
(3.1.4) |
|||
|
|
о |
|
|
|
|
После этого решаемую задачу можно сформулировать так: найти функцию ф (х) по ее «взвешенным моментам»
или, что то же самое, найти |
функцию |
f{t) по значе |
|||
ниям |
изображения |
функции |
Р (i) f |
(t) в |
целочисленных |
точках |
p = k (k = 0, |
1, 2, ...). В частном случае эту задачу |
|||
можно упростить и по первым |
п + 1 |
«взвешенным момен |
|||
там» искать многочлен |
|
|
|
||
|
|
П |
|
|
|
|
|
q« М = £ |
срх'1 |
|
|
|
|
k= |
о |
|
|
такой, чтобы его «взвешенные моменты» совпадали с за данными моментами функции ф (х), т. е. чтобы выполня лись равенства
F (k) = \ xka (х) qn (х) dx = \x,k |
(0 < & < я ) . (3.1.5) |
о |
|