Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.10.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
208 |
ВЫДЕЛЕНИЕ ОСОБЕННОСТЕЙ ИЗОБРАЖЕНИЯ F ( р) [ГЛ. И |
В предыдущем изложении были рассмотрены только некоторые типичные способы устранения и ослабления особенностей у изображения при помощи выделения из него «особой части» (р). Вид же Fx (р) зависит от типа особенностей F (р) и не обязательно имеет форму, указан ную в нашем изложении. В § 11.4 приведена небольшая таблица изображений F и соответствующих им оригина лов f, которая может в некоторых случаях оказать помощь при построении Fx (р).
§11.3. Замечание об увеличении скорости стремления
кнулю изображения F(p)
Для приближенного обращения преобразования Лап ласа имеет значение скорость, с которой стремится к нулю изображение F (р), когда р со. Пояснить это достаточно наглядно можно на задаче приведения интеграла Меллина к интегралу Фурье. В интеграле Меллина линией интегрирования является прямая Rep = c и можно поло жить р = с + /т (— о о < т < о о ) . Если принять т за новую переменную, получится следующий комплексный интеграл Фурье:
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
f (х) — есх ^ |
jj F (е+ |
г'т) eixX dx. |
|
|
Он будет, наверное, тем |
удобнее для вычислений и тем |
|||||
лучший |
по |
точности результат |
может |
быть |
получен, |
|
чем более быстро будет убывать F ( c - \ - i T ) |
при |
неограни |
||||
ченном |
росте |
| т |. |
|
|
|
|
Как и в § 11.2, можно пытаться усилить скорость стремления к нулю F (р) (р->оо) при помощи разложе
ния F (р) на два слагаемых: |
F(p) — F1(p) + F2(p), выбирая |
||
их так, чтобы первое |
из них Ft (р) стремилось к нулю |
||
столь же быстро, как F (р), |
и оригинал для него вычис |
||
лялся точно, второе же слагаемое F2 (р) стремилось к нулю |
|||
быстрее F (р). Например, когда функция |
F (р) представима |
||
в форме |
В |
|
У (Р) |
F( P) : |
р-\-1 |
||
р + а +' |
р + Ь |
+ „1+8> |
|
У(Р)->о (р-»-оо), е> О,
§ П .4 ] |
ТАБЛИЦА ДЛЯ ОСОБОЙ ЧАСТИ ИЗОБРАЖЕНИЯ |
209 |
||
МОЖНО ПОЛОЖИТЬ |
|
|
|
|
|
+ |
+ |
+ m |
|
Оригинал для Ft (р) находится точно:
fг (х) = Ае~ ах+ Ве~Ъх + . . . + Ler1х.
Функция же F2(p) стремится к нулю быстрее F (р). Аналогично, когда изображение F (р) имеет вид
т
|
;Г,(р + а ) ‘ |
(Р + а ) т |
Y (Р) |
0 (р->со), 0 < k 1< k 2< . . . < k m, |
|
можно принять |
|
|
|
т |
|
Fi (Р) = У ~ * Ч , . |
(Р) = F ( p ) ~ F, (р); |
|
|
(Г ,0 Ч -а) ‘ |
|
оригинал для |
Ft также вычисляется точно: |
|
|
т |
|
Ш - 1 r f e * * '- '* - " - i—1
§11.4. Таблица изображений F (р)
исоответствующих оригиналов f (х)
для построения особой части изображения Ft (р)
F(P) |
fU) |
|
1 |
е~ах |
|
Р + а |
||
е-ах |
||
1 |
||
Ур + а |
У их |
|
(р+а )~п ~ 1/2 |
2пхпе~ах |
|
1 • 3 ... (2п— 1) У лх |
||
|
||
(Р+ a)~v, |
х\~1е-ах |
|
Rev > 0 |
Г (v) |
2 1 0 |
В Ы Д Е Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й И З О Б Р А Ж Е Н И Я F ( р ) |
[ Г Л . И |
Г ( Р )
Vp2-ha2
(р2 + сР)-п- 1/2>
/1=1, 2, ...
(p2 + a 2 ) - v - 1/2,
R e v > — 1
1
] / р 2 _ а 2
1
(р2- а 2)п + 1/2 ’ п =1,2,...
1
(p2- a 2)v+1/2 ’
R e v > — y
Vp + a
p+ b
(P + a) Vp + b
(P+ a)3/2(p + b)
V (p+ a) (p+ b)
Продолжение
Hx)
Jo (ax)
1 |
( x \ n |
|||
1 • 3 • 5 ... (2n — 1) \ |
a I |
Jn {ax) |
||
V n |
( x |
\ ' |
7V(a x ) |
|
r(v + i ) |
W |
|
||
|
|
|||
Iо (a-*) |
|
|
||
1 |
|
/ £ \« In (ax) |
||
1 • 3 • 5 ... (2л— 1) |
\ a |
|
||
V n |
|
|
/v (&*) |
|
г v + - 1 \ |
V2a |
|||
|
||||
■-f- V a — b e bx ev! V (a — b)x
Vr
— e ax erf J (6 —a) x
Vb-
(a — b)~ i/2e~ bx erf ]/ (a — b) x —
2 | / J
К л (a— b)
a +b * . ! a — b
2 10
|
a -f- 6 |
xe |
--- x j + |
(p + a )'/2(p-f-6)3/2 |
I , t a~b |
|
+ h [ ~ ^ ~ x |
§ 1 1 . 4 ) |
Т А Б Л И Ц А Д Л Я О С О Б О Й Ч А С Т И И З О Б Р А Ж Е Н И Я |
2 П |
F (.Р)
(р+ а)]/2 (р + Ь Г г/2
(p— a)-v(p — b)-v,
Re (v + ц) < 0
1п(р + а)
Р + а
In {р + а)
(р+а)а
In (Р+ а)
V р + а
In (Р+ а)
(р + a)v '
Re v > 0
— е~аР |
а > 0 |
Р |
|
J _ (1 - е ~ аР), |
а > 0 |
(е-аР - е ~ ьР),
0 s £ a < 6
(е~аР e~bp),
0 ^ а < Ь
-1- le- a p _ e-bpyi
Р2
0 < 6
|
|
|
Продолжение |
|
|
|
|
/ W |
|
е |
2 |
|(а |
Ь) x l x ^ 2 |
+ |
|
|
+ [1 +(а — Ь) х] / 0 |
|
|
Г(т + |
е>*х |
|
||
ц ) е |
Х |
|
||
|
|
X ^ ( v ; v + ц ; (а — Ь) х) |
||
|
|
[ Y ( l) - ln x ] e - ajc, |
|
|
|
|
|
{ ) Г (х) |
|
|
|
х [1 + |
Г ' (1) — In х] е~ах |
|
\ п х + С + \ п 4
Vлх
С= — Г ' (1) — постоянная Эйлера
Ч» - 1 п (х)
|
|
|
Г (v) |
е |
( о, |
0 < |
X < а |
|
|
1 |
1, |
а < х |
|
|
( I, |
0 < х < а |
|
||
1 0, |
а < х |
|
||
( |
0, |
0 < |
х < а |
|
| |
1, |
а < х < Ь |
|
|
1 |
0, |
Ь < |
х |
|
( |
|
0, |
0 < х < а |
|
< |
х ~ а , |
а < х < Ь |
|
|
V Ь — а, |
Ь < х |
|
||
|
|
0, |
0 < х < |
2а |
|
х — 2а, 2 а < х < а + Ь |
|||
|
26 —х, |
а+ Ь < * < 2 6 |
||
|
|
0, 2 Ь < х |
|
|