Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ п.П

ВВЕДЕНИЕ

203

брались на линии интегрирования Rер = с, либо на дей­ ствительной оси, либо в полуплоскости Rер2> с, при этом интерполирующая рациональная функция избиралась так, чтобы ее полюсы лежали слева от прямой Rер^>у и, кроме того, чтобы функция стремилась к нулю при

р -> - оо.

Можно предвидеть, что такое интерполирование будет, вообще говоря, тем более точным, чем более гладким будет изменение F (р) и ср(р) в полуплоскости R e p ^ c . Гладкость же зависит, во-первых, от положения особых

точек

F:

чем дальше

они

удалены

от

полуплоскости

R e p ^ c ,

тем более гладким будет там

изменение F и ф.

Гладкость

поведения F и

ф зависит, во-вторых, от харак­

тера

особых точек, или,

если

употребить

не вполне точ­

ный термин, но достаточно наглядно описывающий содер­ жание вопроса, от влияния их на поведение F и ф.

Наконец, на точность интерполирования будет оказывать

влияние поведение F и ср

вблизи бесконечно

удаленной

точки

*)

плоскости

р, в

частности скорость

убывания

| F (р) |

при

р -к оо.

 

 

 

 

F (р),

Можно

пытаться

улучшить поведение

функции

а вместе с ней и ср (р) в

полуплоскости

Re р

с,

если

устранить у F (р) особые

точки, ближайшие к прямой

Rep = c, или по меньшей

мере ослабить их влияние на

изменение F. Делают это обычно при помощи разложения

функции F

на два слагаемых: F(p) = Fl {p)-\-Ft {p),

кото­

рые выбирают так, чтобы функция Fr{p) имела такие же особенности, которые мы хотим устранить у F (р), или

главные

части

этих особенностей, когда мы хотим осла­

бить их

у F (р). Кроме того, функция ГДр) должна быть

такой, чтобы она была

изображением и оригинал для нее

/] (х) мог быть найден

точно. Второе же слагаемое F2(р)

определяется

равенством F2(p) = F{p) — F1(p). Можно

*) Если говорить о принципиальной стороне вопроса, то все указанные выше факты, влияющие на поведение F, можно было бы учитывать заранее при построении метода вычислений. Сделать это можно, например, при помощи выбора системы функций, которые положены в основу интерполирования. Авторы отказались от этого пути, так как он привел бы к созданию большого числа узко специа­ лизированных методов вычислений, и учли заранее в грубой форме только скорость убывания F при удалении точки р в бесконечность, когда представили F в виде F(p) — (p— аГ^ф(р).

204

В Ы Д Е Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й И З О Б Р А Ж Е Н И Я F ( р )

[ Г Л . II

ожидать,

что F2 (р)

будет изменяться в полуплоскости

R ep = a ^ c более

плавно, чем F (р), и оригинал f2(x)

для нее может быть

найден приближенно с большей точ­

ностью, чем для F (р).

§ 11.2. Устранение и ослабление особенностей изображения F{p)

11.2.1. Устранение полюсов у изображения. Допустим, что функция F (р) в точках pk (k=\, ... , п) имеет полюсы порядков mk (k= 1, ... , п) соответственно. Предположим также, что известны полярные части степенных разложе­ ний в окрестностях полюсов

 

1

m

k

 

 

Gk

_

X

a

k v

P- Pk

^

( P

—

P k F '

 

 

 

 

 

( 1 1 . 2 . 1 )

Положим

 

V =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 °

‘ Ш

 

( 1 1 . 2 . 2 )

 

 

 

 

и

 

k= \

 

 

 

 

 

 

 

 

F A p ) = F ( p ) - F 1 (p ).

Для F2(p) т о ч к и pk (&=1, ... , ri) будут точками регу­ лярности.

Оригинал для F1(p) находится точно (см., например, [1], гл. V, 5.2, стр. 209) и имеет значение

2

flfcv ' Г (v) epkx

fe=lV=1

11.2.2. Ослабление влияния особенностей ветвления. Рассмотрим случай степенной особенности ветвления и положим, что F (р) имеет следующий вид:

F (P) — (P — a)'l G(p), G(а) Ф 0,

где р есть действительное число и а есть значение, не

принадлежащее

полуплоскости

регулярности F (р), так

что R e a s S y C c ,

и G (р) — функция, регулярная в откры­

той

односвязной

области, содержащей полуплоскость

R e p > у и точку а.

Выберем произвольную точку Ь, лежа­

щую

левее точки

а ,

т. е, так,

чтобы Re (а — Ь) > 0.

§ 11,2]

У С Т Р А Н Е Н И Е

И О С Л А Б Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й F (р)

205

Функцию

(р),

близкую к F (р) около точки а, будем

искать

в форме

 

 

 

Fi (Р) =

z^ ± c* + Z w CmZm- # R (г),

(11.2.3)

где z = p — а.

Ft (p)

должна быть изображением и должна,

Так

как

следовательно, стремиться к нулю при удалении точки р

на бесконечность,

показатель

степени делителя г

должен

удовлетворять условию г>т-\-р.

 

... ,

т) так,

Выберем теперь коэффициенты ck {k —0, 1,

чтобы в разложениях

 

 

 

 

 

 

 

G (р) = G (

z а) = £о+£1г + • • .+ gm2m +

. ..,

 

 

гДе gk = ^ G M (a),

и

 

 

 

 

 

 

 

 

R (z) = ( р - b)-r(с0 +

cxz + . . . + cmzm)

 

 

 

совпадали

коэффициенты при степенях г от нулевой до т.

Если заметить,

что

 

 

 

 

 

 

(р -& )-' = ( а - & г ( 1 + ^ Г =

 

 

 

 

 

= ( « - & ) - ' 2 ( - 1

 

 

 

 

z

\л

 

 

 

 

 

a—b '

 

 

 

 

n= 0

 

 

 

 

 

 

можно просто получить разложение R(z) по степеням

z.

Сравнение

же

коэффициентов

при

zk (k = 0, 1.........т)

в разложениях

G(z +

a) и R (г)

даст следующую

систему

уравнений для

вычисления Cj (/ = 0,

1.........т):

 

 

со — §о( а — Ь)г,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ci - г (а -

b y 1 с0 = g1( a - b)r,

 

 

 

 

 

 

C s- г (ос - 6 )1с1 + г (г+ 1) (а - &)-2с0 = й ( а -

 

 

 

с3 - г (а - ьу1с2 + ^ г (г + 1) (а — 6)-2 -

 

 

 

-

/•(/• +

1) (/• +

2) (а -

&)-3 с0 =

g3 (а - 6)г,

(11.2.4)

- г (а -

б )'1 cm-i +

~ г (/•+

1) (а -

b y 2ст _2—...

 

 

. . . + ( - 1 ) “ ^ г ( г + 1 ) . . . ( г + т -

1 ) х

 

 

 

 

X ( a - b y mc0 = gm( a - b ) r.

206 В Ы Д Е Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й И З О Б Р А Ж Е Н И Я F (р) [ Г Л . И

Из нее последовательно могут быть найдены с0, с1г ...

ст. После нахождения ck для Fx(р) получаем следую­ щее выражение:

т

 

F M

= ( Р - ccf.R.ip -

а) = ^

с,

 

•

 

 

 

 

 

 

 

 

/= о

 

 

 

 

 

Оригинал для Flip) вычисляется точно (см. [1],

гл. V,

5.4,

(8), стр. 215):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

fi (х) = 2

О

 

lFl

r ~ V ~ F

(b~ a) xl

 

 

i= о

 

 

 

 

 

 

(11.2.5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь XFXесть вырожденная гипергеометрическая функция

 

 

iF i ( “

;

Г(Р) V Г (ос + £) гк

 

 

 

 

 

Р

;

г

)

=

 

 

 

 

 

 

 

Г (а) Li

T($ + k)k I

 

 

 

 

 

 

 

 

k=Q

 

 

 

 

 

Функция F (p) — F1(p) — F2(p)

будет

в

точке

р = а

иметь

производную

порядка

на m - fl единиц выше,

чем

F {р),

и оригинал

f2(х)

для

нее может

быть найден

при

помощи приближенных методов, как правило, с меньшей

затратой труда и с лучшей

точностью, чем для

F ip).

В частном случае, когда

показатель степени р

является

отрицательным числом, ослабление влияния точки ветвле­ ния на изменение функции можно получить более просто, не вводя вспомогательную точку Ь. Выберем т таким, что р - |- т < ;0 , и положим

Fi ip) = 2 /Г G(/> (“ ) (Р “ аУ+>1- /= oJ

Оригинал /у для Fx имеет более простой вид, чем выше:

x-i-v- 1 рЛХ

 

 

M * ) = 2 ^ r V / - H . ) ea

 

 

i=o

 

 

Остаточная функция F2(p)=Fip)—F1ip)

в этом слу­

чае будет следующей:

 

 

in

 

 

Fa ip) = i p - a f g ip) - 2 / t G(/>

(p -

аУ

1=0

§ 1 1 . 2 ]

У С Т Р А Н Е Н И Е И О С Л А Б Л Е Н И Е О С О Б Е Н Н О С Т Е Й

F ( р )

207

и, если т выбрано так, что — 1

+ < 0,

она

будет

равна

нулю в точке р = а.

 

 

 

Теперь рассмотрим задачу ослабления логарифмической особенности ветвления. Ограничимся простейшим случаем, когда изображение F (р) имеет вид

Р (Р) = (Р ~ « Г In (p - a )G (р),

G(a) Ф 0,

R ea с у ,

v — действительное число и

G(p) —функция, регулярная

в некоторой односвязной открытой области, содержащей полуплоскость Rе р > у и точку а.

Чем большее значение имеет v, тем более быстрым будет изменение F при р, близком к а, и, чтобы сделать изменение F более плавным, по крайней мере вблизи точки а , можно прибегнуть к следующему преобразо­ ванию F.

Возьмем целое число т такое, чтобы было — v - f m < 0, затем построим разложение G (р) около точки р = а по степеням p — a = z и рассмотрим отрезок разложения

gQ-\-glZ+ -.. + gmZm.

Положим

т

Pi (р) = 2 gj (Р —a)~v+/ In (р —a).

 

 

/= о

 

 

Оригинал

для

Fх является табличным

(см.

[1], гл. V,

5.7, (4), стр.

225):

 

 

 

т

 

 

 

h W =

2 gi

г (v- л "xV~J~leax (v -

J) ~

ln xl

Что же касается функции

Ft(P)=F(p)-Fi(P) =

= (Р~ a )'"v In (p - a) (g (p) - Д] gj (p - a y j ,

то она будет иметь в точке р = а степенную особенность слабее, чем у F (р), так как величина, стоящая в скоб­ ках, при р, близких к а, имеет порядок малости не ниже,

чем О [(р —a)m+1J.

Смотрите также файлы