Файл: Крылов, В. И. Методы приближенного преобразования Фурье и обращения преобразования Лапласа справочная книга.pdf

нения соответственно на ап, ....

аг и сложив их, получим

равенство ь

$ р (х) (а, + ап_хх + . . . +

a1xn-1f dx = 0.

а

Так как

весовая

функция р(х) не эквивалентна

нулю

и сохраняет

знак,

последнее равенство возможно

только

тождественным

нулем, что возможно лишь при а1 = а2—...

. .. = а„ = 0,

и

однородная

система, стало быть, имеет

только

нулевое

решение.

ап можно построить мно­

По

коэффициентам аъ

гочлен

со (х),

а

находя его корни xk (k = 1....... п) и вычис­

пени

2п — 1.

Из изложения

видно, что

такое правило

будет

единственным,

так

как

многочлен

со (х) и коэффи­

циенты Ak определяются однозначно.

Этот результат можно дополнить доказательством того,

что корни

многочлена

все различны между собой и

все лежат внутри отрезка интегрирования [а, Ь].

В

интеграле (10.2.2) отрезок интегрирования [а, Ь}

есть

полуось

[0, оо)

и

весовая функция есть р (х) =

== (1 -{-x)~2,I~s+1 (1 + co s х),

она положительна всюду, кроме

точек

* = (2/4-1) я (/ = 0 ,1 ,...). Многочлен со (х) — хп -f-

СО

5(14- XГ 2я-5+1 (1 -f cos х) со (*) х>dx =

0 (10.2.6)

(/ = 0,

— 1).

Его коэффициенты ак могут быть

найдены из

системы

2

«г 5 (1 + У Г 2п-1+1 (1 4- COS х)

dx = 0 (10.2.7)

i = о

о

1).

(/ о, 1 ,..., ti 1j Uq=

СО

Ак= (1 + xky**s-i J (1 +*)-**-** (1 + cos х) ^

ш

dx.

( 10. 2.8)

Таблицу

значений

хк

и

Ак для

(10.2.1)

при

s =

= 1,05(0,05)4,

/2= 1 (1) 10

можно

найти в

книге

[7]

(табл. VI).

Аналогичная таблица хк и Ак для формулы наивысшей

степени

точности

со

п

$ (l + sin x )f(x )* * 2 l Akf(xk),

(10.2.9)

о

А=1

f(x) = -{

IF ( x ) \^ M ,

при тех

же параметрах

s u n

находится

в той

же книге

[7] (табл. V).

краткое

замечание

о

сходимости

при

Сделаем

еще

/г-уоо

вычислительных

процессов наивысшей степени точ­

мости квадратурного процесса

этого вида.

Возьмем интеграл

Д (см. (10.1.5))

в форме, получаю­

щейся при замене

функции

X (х)

ее представлением

X(x) = ( l + x y sF(x).

200

ФОРМУЛЫ НАИВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ ТОЧНОСТИ

[ГЛ. 10

Q

** t

A j{\+ xj)-sF (xj) =

£ AfF (.x,). (10.2.10)

/ = l

i = i

При

построении (10.2.1) параметры xk и Ak выбирались

так,

что равенство

выполнялось

точно, когда X (х) была

2л — 1

любой функцией видаХ (х) =

^

су(1 + x)_s_/.

Для

пра-

вила

(10.2.10)

это

/ = 1

тому, что оно дает точ­

эквивалентно

ный результат для

функции F вида

2л —1

F(x)= Z

M l - M

- '- ^ W O + x ) - ! ] .

/ = i

Заменим переменную х,

положив -у— = t,

х = -(— 1,

для

При

этом

(10.2.10)

перейдет в новое правило

конечного

отрезка

[0, 1]:

1

1с = \ (1 + cos х) ts~2F* (t) dt Яа

о

AJF*(tk) = Q*(F*),

(10.2.11)

/ = i

< . - т ф т -

Равенство выполняется точно всякий раз, когда

F* (t)

есть

многочлен

степени 2п — 1

от

t:

F* (t) = P*n+i(t).

Отсюда следует,

что (10.2.11)

есть квадратурное

пра­

отрезка [0, 1] и весовой функции

р (/) =

(1 -fcos*) is_а.

Относительно таких правил известно,

что

при

оо

последовательность приближенных

значений

Q* (F*)

схо­

дится к точному значению интеграла

11с для всякой функ­

ции F* (г), ограниченной на [0, 1]

и такой, что множе­

§ 10.2]

ПОСТРОЕНИЕ ФОРМУЛЫ

201

с т в о т о ч е к р а з р ы в а ее и м е ет м ер у н у л ь * ) ,

в ч ас тн о с ти

д л я в с я к о й ф у н к ц и и F*, о гр а н и ч ен н о й н а [0 ,

1] и н е п р е ­

р ы вн о й в н у т р и э т о г о о т р е з к а .

Э то д а е т в о з м о ж н о с т ь в ы с к а з а т ь т е о р е м у о сх о д и м о с т и

п р и п — со к в а д р а т у р н о г о п р о ц е с с а (1 0 .2 .1 ) .

Т е о р е м а

1.

Если функция X (х) представима в виде

(1 0 .1 .4 ) , где

F (х)

непрерывна на полуоси 0 ==£ х==£ ею , то

степени точности (1 0 .2 .1 ) ,

сходится при п - > с о к точ­

ному значению интеграла.

А н а л о г и ч н а я т е о р е м а в е р н а д л я к в а д р а т у р н о г о п р а в и л а

н а и в ы с ш е й степ ен и то ч н о с ти

(1 0 .2 .9 ) д л я

с и н у с - п р е о б р а з о ­

в а н и я Ф у р ь е .

*) Для всяких функций, интегрируемых

на [0, 1] по Риману

в собственном смысле.