Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

подставляя сюда (2.2.12), получим

F d2E

(2.2.130

~ h\ dk2

Из (2.2.13!) следует, что среднее ускорение электрона в кристалле пропорционально внешней силе (второй закон Ньютона), а коэффициентом пропорциональности является величина

1 d2E _ 1 Aj dk2 т* ’

равная эффективной массе электрона (2.2.11 х). Таким образом, эф­ фективная масса электрона вводится как коэффициент пропорцио­ нальности между внешней силой и средним ускорением, при этом энергия электрона с использованием эффективной массы записы­ вается как квадратичная функция волнового числа. Опыты пока­ зали, что введенная таким образом эффективная масса электрона не отражает ни инертных, ни тяготеющих свойств электрона, т. е. ни в коем случае ее нельзя считать действительной массой элек­ трона.

2.2.3. ДЫРКИ КАК ДРУГОЙ ВИД НОСИТЕЛЕЙ ТОКА

Известно, что вторая производная от функции по аргументу определяет кривизну кривой, изображающей эту функцию. На ос­ новании рис. 10 можно заключить, что кривизна кривых Е = Е (k) в каждой зоне изменяет знак, причем для начала или нижнего края

d2E

изводная — ■ входит в выражение (2.2.11х) для эффективной массы dk2

электрона. Отсюда можно сделать интересный вывод, что для верх­ них краев энергетических зон (для верхних энергетических уров­ ней зон) эффективная масса электрона отрицательна. Если при этом

массу т * электрона для начала зон, то сказанное выше можно за­ писать в виде:

для нижних краев зон т * ^ > 0;

(2.2.15)

для верхних краев зон т * * < 0.

малая величина. Поэтому

cos а/г = cos (я —аб) = —cos (аб),

т. е. в начале и на краях зон эффективные массы имеют противопо­ ложные знаки. Это и подтверждает условия (2.2.15).

Так как для верхних краев зон т * * < 0, то выходит, что внеш­ няя сила замедляет электрон в направлении своего действия. Сле­ довательно, электрон, энергия которого соответствует энергетиче­ ским уровням, расположенным в верхних краях зон, замедляется внешней силой, которая ускоряет обычный электрон.

Такой парадоксальный вывод трудно осмыслить на основании классической механики. В квантовой же механике выход найден на основании следующего. Пусть электрон в кристалле находится

под воздействием внешнего электрического поля &, действующего

—>

на него с силой е&. Согласно теореме Эренфеста (из квантовой ме­ ханики) для средних величин справедливы классические уравнения движения и, в частности, второй закон Ньютона, который для среднего импульса электрона будет выражен так:

На основании (2.1.13) левую часть уравнения (2.2.21) можно пе­ реписать в виде:

52

поэтому (2.2.24) окончательно перепишется так:

Из рассмотрения (2.2.25) следует, что при значениях энергии электрона, соответствующих верхним уровням зон (верхним краям зон), электрон ведет себя так, как если бы его заряд был равен не е, а

Учитывая, что заряд электрона е<^0 и что т **< С 0, на основании

(2.2.26) имеем е'>-0.

Отсюда можно сделать вывод, что электрон на энергетических уровнях в верхних краях зон ведет себя как положительно заря­ женная частица, которая была названа «дыркой». Так в теории по­ лупроводников кроме электронов стали рассматриваться дырки как другой вид носителей тока.

Движение электронов и дырок под влиянием внешнего электри­ ческого поля вызывает в полупроводниках электронную и дыроч­ ную проводимость. Например, опыты по исследованию эффекта Холла (см. п. 4.4.2) показали, что полупроводники обладают элек­ тронной и дырочной проводимостью, причем некоторые из них

53