Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

или

где

ujk (х + п а ) = ujk {х),

т. е. амплитудная часть выражения (1.2.11!) представляет собой периодическую функцию переменной х.

Таким образом, собственная волновая функция для электрона

ему волновая функция (блоховская функция) как бы будет «раз­ мазана» по всему кристаллу.

Из (2.1.11) и (2.1.11!) видно, что в данной /-й зоне будет иметь место целая группа состояний, определяемая волновыми функ­ циями (волнами) фуд,. Цели также учесть, что зависимость от вре­ мени функций фуд,, определяющих стационарные состояния, будет

Е ’ (k')

гармонической с частотой со = ■ ' { - , то для движения такой группы hi

в периодическом поле можно было бы повторить обычный вывод выражения групповой скорости, введенной в § 1.1. В частности, легко найти, что центр или середина такой группы волн движется с групповой скоростью

которая одновременно является скоростью или, точнее, средней скоростью движения электрона в данной зоне. В самом деле, как мы видели в § 1.1, для свободного электрона мгновенная скорость его движения равна групповой скорости группы плоских волн (волн де Бройля). Очевидно, что в периодическом поле имеет смысл го­ ворить лишь о средней скорости движения электрона.

44

На основании (2.1.12) средний импульс группы (электрона) будет

Выражение (2.1.13) с учетом (2.1.10) для состояний в /-й зоне за­ пишется в виде:

Из (2.1.13!) можно сделать существенный вывод о том, чта на границах зон, где k — + — , средний импульс группы, а следова­

тельно, и средний импульс электрона равны нулю (нулю также бу­ дет равна средняя скорость электрона). При этом в самой зоне, где

k ф ± , средний импульс, вообще говоря, не равен нулю и, как

показывает исследование движения группы, он сохраняется. Сле­ довательно, возможными, или дозволенными, состояниями с опреде­ ленной энергией электрона в периодическом поле будут состояния со средним импульсом, отличным от нуля. Необходимо заметить, что средняя скорость электрона, определяемая выражением (2.1.12), так же связана с энергией электрона в периодическом поле, как и мгновенная скорость свободного электрона с его кинетической энер­ гией. Действительно, для свободного электрона кинетическая энер­

Сравнение (2.1.14) с (2.1.12) и подтверждаёт высказанное замеча­ ние.

Итак, на основании рассмотрения движения электрона в перио­ дическом потенциальном поле кристалла следует, что возможные, или разрешенные, значения энергии электрона образуют энергети­ ческие зоны, разделенные зонами запрещенных значений энергии

(рис. 8).

45

§ 2.2. ПОНЯТИЕ ОБ ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЕ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА

2.2.1. ГРАФИК ФУНКЦИИ Е = Е (к )

ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В КРИСТАЛЛЕ

Для свободных электронов, как мы видели в § 1.1, энергия яв­ ляется квадратичной функцией волнового числа

р2 _ h\k2

(2.2. 1)

2т 2т

на рис. 9 она изображена параболой. Это соответствует тому, что в случае свободного движения электрона его импульс р и, следо­

вательно, волновое число & = — могут принимать любые значе-

ния. Иначе обстоит дело в случае движения электрона в кристалли­ ческом полупроводнике (в кристалле твердого тела). В § 2.1 было вы­ яснено, что возможные значения энергии электрона в кристалле со­ ставляют энергетические зоны, причем в пре­ делах зоны энергия электрона является непре­ рывной периодической функцией волнового числа. Как же в этом случае изобразится на графике зависимость энергии электрона от волнового числа? Для ответа, на этот вопрос еще раз проанализируем результаты §2.1, причем для простоты продолжим рассмот­

рение одномерной решетки кристалла.

На границе зон, как мы видели в § 2.1, волновое число

Физически это означает то, что при значениях, соответствующих (2.2.2), должно происходить полное отражение электронных волн. В самом деле, как мы видели в § 1.1, движение электрона в кристалле можно рассматривать через совокупность (группу) электронных волн в этом кристалле. Тогда очевидно, что в каждой из зон наибольшее значение волнового числа k определяется посто­ янной решетки а (различимо движение электрона лишь в пределах одного периода, а затем периодически повторяется). Если при этом учесть, что электронные волны могут интерферировать, то может иметь место ослабление, а также частичное и полное отражение волк от решетки. В этом отношении распространение электронных волн в кристаллической решетке полупроводника аналогично распро­ странению рентгеновских волн (лучей) в такой решетке. Однако для последнего случая известно условие полного отражения волн от кристалла, или условие Брэггов—Вульфа:

46

решетки (кристаллической решетки) и 0 — угол падения волны на решетку.

Если теперь в (2.2.3) положить 0 = 0, я, что соответствует рас­ сматриваемому движению электрона вдоль решетки, то условие полного отражения электронных волн запишется в виде:

-I- — ,

— а '

что еще раз подтверждает условие (2.2.2) и поясняет его физический смысл.

Следовательно, выражение (2.2.2) определяет пределы возмож­ ных значений k, так как при значениях k из (2.2.2) волны, описы­ вающие движение электрона, из бегущих переходят в стоячие. Не­ обходимо заметить, что в силу периодичности кристаллической ре­ шетки целое число п, вве­ денное в выражение (2.2.2), не влияет на волновое число (импульс электрона), и в пределах каждой зоны волновые числа электронов можно считать изменяющи-

2я

— свойства электронов повторяются, то в каждой зоне достаточно

рассмотреть лишь один период (см. рис. 7). При этом следует учесть, что, хотя значение k в зонах повторяется (или растет), значение энергии Е = Е (k) при переходе от одной зоны к следующей изме­ няется скачком на величину Egj, соответствующую скачку в энер­ гии (см. рис. 8), имеющую место при перескоке электрона в атоме с одного квантового уровня на более высокий следующий уровень.

Все вышеизложенные соображения о характере зависимости Е от k для движения электрона в периодическом поле кристалла по­ зволяют изобразить эту зависимость в виде графика, показанного на рис. 10. В квантовой теории твердого тела разрывность функции Е = Е (k) и ее ход, изображенный на рис. 10, обосновывается бо­ лее строго путем использования метода возмущений. График

47

рис. 10 можно согласовать с графиком рис. 7 следующим образом. В силу периодичности энергии Е как функции волнового числа можно ограничиться рассмотрением в каждой зоне одного периода

хотя ход изменения энергии во всех зонах за этот период одинаков, энергия при переходе к следующей зоне изменяется скачком через запрещенную зону и затем возрастает. Поэтому для первой зоны ход энергии за один период будет соответствовать рис. 11, а, а для второй зоны — рис. 11, б, причем пунктирной кривой на рис. 11,6 показан период, соответствующий второй зоне рис. 7. Аналогично можно рассуждать и при изображении хода Е = Е (k) в третьей и других зонах.

Из рис. 10 видно, что для электрона в кристалле зависимость

Е= Е (k) в первом приближении состоит из участков разрывной параболы, так как пунктирная кривая соответствует самой пара­ боле (см. рис. 9). При этом легко показать, что непрерывные кривые

Еj = Ej (k) в каждой зоне на границах зон переходят в прямые ли­ нии, т. е. в этих точках участки кривых идут так, что горизонталь­ ные линии будут для них касательными. Действительно, на грани­ цах зон средний импульс электрона [см. (2.1.13)] и, следовательно, его средняя скорость [см. (2.1.12)] равны нулю, т. е.

v = — — = 0 hi dk

или

Последнее равенство и подтверждает то, что в точках, соответст­ вующих границам зон, касательные к кривым Еi = Е/ (k) идут параллельно оси абсцисс.

48 >

2.2.2.ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА

Если для электрона в кристалле считать, что вместо обычной массы он имеет так называемую эффективную массу, то к его движе­ нию применимы те же законы, которые справедливы для движения свободного электрона в вакууме. В задачу пункта 2.2.2 и входит обоснование такого вывода.

Рассмотрим разложение в ряд энергии (2.1.10) электрона в лю­ бой /-й зоне и ограничимся двумя первыми членами этого разложе­

Если в (2.2.6) вследствие малости k оставить лишь первые два сла­ гаемых в скобках, т. е. положить

Переход от (2.2.6) к (2.2.60 фактически соответствует тому, что энергию как функцию волнового числа считаем квадратичной. Тогда коэффициент Eji как постоянную величину можно включить в пер­ вое слагаемое (2.2.60 и переписать это выражение так:

Ej (k) —const —Eji

или на основании (2.2.7)

С другой стороны, для свободного электрона [см. (2.2.1)] имели

Выражение (2.2.9) по сравнению с (2.2.1) содержит постоянную величину, что отражает тот факт, что в классической физике энергия всегда определяется с точностью до постоянного слагаемого.