Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

до рг + dpz, с учетом (1.2.40), (1.2.41) и принципа Паули будет определяться выражением

От (1.2.42) легко перейти к распределению электронов по энер­ гиям. Для этого в пространстве импульсов рассмотрим сфериче­ ский слой с объемом dx = 4np2dp. Число ячеек в таком простран­ стве импульсов по аналогии с предыдущим будет

2г 4 np2dpV

Соответственно число ячеек в единице объема кристалла запишется в виде:

Отсюда число электронов в единице объема, энергии которых лежат в интервале от Е до Е + dE, с учетом (1.2.40), (1.2.44) и принципа Паули определится выражением

е kT + 1

\

Г Л А В А 2

ПОЛУПРОВОДНИКИ И ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

§ 2.1. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ КРИСТАЛЛА

2.1.1. ОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ЗОН (КАЧЕСТВЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ)

Энергетические уровни для электрона в изолированном атоме, как уже говорилось в § 1.1, будут дискретными. Как же изменится характер распределения энергетических уровней для электрона в кристалле твердого тела, состоящего из большого числа взаимо­ действующих между собой одинаковых атомов? К этому вопросу можно подойти чисто качественно, а также на основании теории.

С качественной стороны оправданным будет такое рассуждение. Если электрон является связанным в изолированном атоме, то энер­ гия его квантуется, а соответствующая ему волновая функция бы­ стро затухает при удалении от атома. Поэтому наиболее вероятным будет нахождение электрона вблизи ядра атома на некотором рас­ стоянии от него, а энергетические уровни для электрона будут раз­ дельными. Если же имеется несколько взаимодействующих атомов, то вследствие такого возмущающего действия (возмущения) энерге­ тические уровни для электрона расщепляются на ряд подуровней.

Пусть для простоты имеется два одинаковых атома с одинако­ выми энергетическими уровнями для электрона. В этом случае энергия электрона будет одинаковой в обоих атомах, но волновая функция будет различной, так как пространственно атомы разде­ лены. Следовательно, в данном примере имеет место двухкратное вырождение, если даже в самих атомах уровни были невырожден­ ными. При сближении этих двух атомов (пусть, например, обра­ зуется молекула водорода) они будут возмущать друг друга, в ре­ зультате чего вырожденные уровни расщепляются на два' под-, уровня.

Когда же атомы объединяются в более крупные агрегаты, в ча­ стности в кристалл, состоящий из G атомов, то наблюдается G- кратное вырождение энергетических уровней, и каждый уровень, бывший в изолированном атоме невырожденным, распадается на G подуровней (рис. 5). Поскольку число G атомов в кристалле больше

39

или порядка числа Авогадро = 6,02• 1023мол1)')* постольку ко­

личество подуровней будет очень большим и каждый энергетиче­ ский уровень переходит в практически сплошную энергетическую полосу или зону возможных значений энергии. Считают, что в 1 си8 твердого тела содержится примерно 102а атомов.

Очевидно, что чем глубже расположен энергетический уровень в атоме (см. рис. 5), тем меньше на нем сказывается возмущающее действие других атомов. Поэтому такие более глубокие или более низкие энергетические уровни расщепляются в более узкие энерге­ тические зоны. При этом во всех энергетических зонах число под­

уровней (или просто уровней) одина­ ково и равно числу атомов в кристалле. Следует заметить, что, вообще говоря, общее число возможных состояний для электрона в любой зоне кристалла равно числу атомов кристалла G, умноженному на кратность вырождения энергетичес­ кого уровня, образовавшего зону.

Энергетические зоны, или зоны до­ зволенных значений энергии, разделены запрещенными зонами, или зонами за­ прещенных значений энергии. Очевидно, что запрещенные зоны сужаются при переходе к энергетическим зонам с боль­ шим номером.

Мы рассмотрели качественную картину образования энергетических зон для электрона в кристалле как сплошных областей раз­

решенных значений энергии, причем исходили из атомов. Однако к такому же представлению можно прийти, если изучить поведение электрона в кристалле с точки зрения теории.

2.1.2. ДВИЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПОЛЕ КРИСТАЛЛА

Задача о движении электрона в кристалле твердого тела пред­ ставляет собой чрезвычайно трудную многоэлектронную задачу, точное решение которой невозможно. Это объясняется тем, что на данный электрон в кристалле действуют положительные ионы кри­ сталлической решетки и все остальные электроны. Так как потен­ циальное поле, в котором движется электрон, не представляется возможным задать строго аналитически, то и уравнение Шредингера для этого электрона не может быть строго записано и решено. Поэтому возможно лишь приближенное решение такой многоэлек­ тронной задачи.

В настоящее время существует достаточно большое число мето­ дов приближенного решения указанной многоэлектронной задачи.

40

К таким приближенным методам следует отнести метод почти сво­ бодных электронов и метод сильно связанных электронов. При даль­ нейшем развитии теории кристаллов были введены более точные методы: метод ячеек, метод ортогонализированных плоских волн

и др.

Однако в первом приближении основные выводы о поведении электрона в кристалле можно сделать на основании рассмотрения более простой одноэлектронной задачи о движении одного электрона в периодическом поле положительных ионов решетки кристалла. Исторически такая задача впервые была поставлена и решена Бло­ хом в 1927 г., причем рассматривалась одномерная периодическая цепочка атомов (ионов). Впоследствии этот метод при помощи ана­ логичных рассуждений был распространен и на трехмерную перио­ дическую решетку.

Итак, предположим, что имеется одномерная периодическая цепочка положительных ионов, расположенных вдоль оси Ох, (рис. 6), причем период решетки равен а. При условии, что центры атомов, образующих кристалл, лежат на оси Ох в точках — 2а,

— а, 0, а, 2а, . . . , ход потенциальной энергии V электрона в функ­ ции от координаты х будет соответствовать сплошным кривым на рис. 6. Физически такой ход V = V (х) объясняется тем, что при удалении от атома (положительного иона) потенциальная энергия электрона, соответствующая силам притяжения, возрастает, где-то посередине между атомами имеет максимальное значение и затем снова убывает при приближении к соседнему атому. Следовательно, по условию поставленной задачи, потенциальная энергия является периодической функцией

где а — период решетки и п — целое число.

В этом случае для электрона в кристалле уравнение Шредин-

причем сама волновая функция ф = ф (х).

41

Решение уравнения (2.1.2) позволяет определить возможные (собственные) значения энергии Е и соответствующие им собствен­ ные функции. Не останавливаясь на подробном решении уравнения (2.1.2), укажем основную идею, такого решения и проанализируем результаты.

Так как потенциальная энергия V является периодической функ­ цией, то ее можно разложить в ряд Фурье

+00

_ - 2лпх

где Vn — коэффициенты Фурье.

С другой стороны, согласно квантовой механике произвольное волновое поле ф (х) можно представить в виде суперпозиции (нало­ жения) волн де Бройля (плоских волн). Поэтому волновую функцию ф электрона, считая за переменную импульс рх, можно искать вдоль

где волновое число kx = — . h

На^основании (2.1.3) и (2.1.4) уравнение (2.1.2) запишется в виде:

В результате периодичности С (к) уравнение (2.1.6) представ­ ляет собой систему алгебраических линейных однородных уравне­ ний для бесконечного числа неизвестных. Такая система уравнений

42

имеет отличные от нуля решения, если определитель системы ра­ вен нулю:

числа к. Отсюда следует, что энергетический спектр электрона, движущегося в периодическом поле кристалла твердого тела, со­ стоит из отдельных областей (полос)

причем в каждой области энергия есть непрерывная функция вол­ нового числа k. Такие энергетические области называются зонами разрешенных значений энергии или энергетическими зонами. Энер­ гетические зоны разделены между собой зонами запрещенных значе­ ний энергии.

На основании (2.1.6) легко показать, что в пределах системы уравнений для каждой зоны энер­ гия является периодической функ­ цией волнового числа k с периодом

E , f k ± ? f j = E j {k). (2.1.9)

Ход периодической функции Е,- (к) для двух первых зон показан на рис. 7.

В этом случае физически различными будут лишь состояния электрона в пределах одного периода. В силу периодичности энер­ гии Ej (k) она может быть разложена в ряд Фурье

N = 0

где коэффициенты EjN определяются видом потенциальной энергии V (х). При этом в силу четности Vn ряд (2.1.10) содержит только cos (Nak).

Такие достаточно простые рассуждения приводят к следующему выражению для собственных волновых функций электрона (блоховских функций):

4-00

(2. 1. 11)

Л=-*-00

43