Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

.диффузии для электронов численно равен плотности потока элек­ тронов при единичном градиенте концентрации.

Если диффузионный поток направлен вдоль оси Ох, то равенство

.(2.6.3) запишется в более простом виде:

(2.6.4)

ах

Плотности диффузионного потока (2.6.3) будет соответствовать плотность диффузионного электронного тока

где Dp — коэффициент диффузии дырок.

Знаки плюс и минус в выражениях (2.6.5) и (2.6.6) легко пояс­ нить. Градиент как вектор должен показывать направление наи­ быстрейшего увеличения скалярной величины (концентрации), а диффузионный поток направлен в сторону убывания концентрации. В результате этого диффузионный поток как вектор всегда пропор­ ционален минус градиенту концентрации. Тогда диффузионный электронный ток за счет отрицательного заряда электрона будет выражаться в (2.6.5) со знаком плюс, а диффузионный дырочный ток в (2.6.6) останется со знаком минус, так как заряд дырки поло­ жительный.

Втеории полупроводников коэффициент диффузии электронов

идырок обычно измеряется в см21сек, так как концентрация [см.

(2.6.4)] измеряется в с.и-3, поток в см2-сек-1, длина в см. Напри­ мер, для лучших образцов германия Dn = 100 см2/сек, a Dp = = 49 см21сек. Такое различие в коэффициентах диффузии электро­ нов и дырок объясняется тем, что у них значительно отличаются подвижности.

Подвижности носителей тока связаны с их коэффициентами диф­ фузии известным .соотношением Эйнштейна, которое для электро­ нов и дырок имеет вид:

Это соотношение легко получить из рассмотрения полного тока на контакте в состоянии равновесия. Приведем для этого необходи­ мые рассуждения.

Из вышеизложенного в настоящем параграфе следует, что в об­ щем случае в полупроводнике может существовать как омический,

74

так и диффузионный ток. Поэтому полный электронный и дырочный токи на основании (2.6.1), (2.6.5), (2.6.2) и (2.6.6) запишутся так:.

Если привести в плоскости, перпендикулярной Ох, в контакт два полупроводника или полупроводник и металл, то между ними возникает контактная разность потенциалов фк (подробно это будет изложено в главе V). Это объясняется тем, что в достаточно тонком приконтактном слое появляется объемный заряд, причем в этом слое потенциал ср — ср (х). В состоянии равновесия контактная раз­ ность потенциалов срк не приводит к возникновению тока через кон­ такт, так как омический ток под влиянием <рк компенсируется про­ тивоположно направленным диффузионным током. Следовательно, полный ток через контакт в состоянии равновесия будет равен нулю,, причем для определенности предположим, что равен нулю [см.. (2.6.9)] полный дырочный ток через контакт, т. е.

1'р = е р и р ё — e D p - ^ - = 0 ,

или

и (2.1.9) ] изменяется вблизи контакта в зависимости от ф (х) по экс­ поненциальному закону

откуда и получаем соотношение (2.6.7):

eDp ир = — р- .

рk T

Разумеется, что то же самое можно было бы проделать для связи ип с Dn, если бы приравнять нулю полный электронный ток (2.6.8).

Под влиянием диффузии носители тока будут смещаться в полу­ проводнике. Тогда возникает вопрос, как велико будет такое диф­ фузионное смещение носителей тока. Этот вопрос связан с рекомби­ нацией носителей тока, которую мы дальше и рассмотрим.

75

2.6.2. РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА И ИХ ДИФФУЗИОННАЯ ДЛИНА

Возвращение электрона из зоны проводимости в валентную зону и заполнение в последней пустого уровня соответствует рекомбина­ ции электрона и дырки. При этом пропадают электрон в зоне про­ водимости и дырка в валентной зоне, а их энергия передается ре­ шетке кристалла. Принято говорить, что в этом случае рекомбина­

(электрон—дырка) за счет тепловой энергии решетки. Такие пары могут образовываться также под воздействием квантов света или электромагнитного излучения другого вида.

Стационарное состояние будет в том случае, когда число созда­ ваемых пар равно числу рекомбинационных пар. Очевидно, что число носителей, рекомбинирующих в 1 см3 за 1 сек, будет пропор­ ционально произведению концентраций носителей, т. е. равно у пр, где у — коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств полупроводника. С другой стороны, будет идти процесс образова­ ния пар за счет тепловой энергии решетки. Поэтому, обозначая че­

где п0 и р0 — концентрации электронов и дырок в состоянии равно­ весия.

Если же концентрация носителей отличается от равновесной,

носителей за счет преобладания рекомбинации будет уменьшаться,

равновесной (пр — я0р0<0), то процессы рекомбинации не преоб­ ладают над генерацией пар.

\ d t / р ек

76

В том случае, когда избыточная концентрация мала, т. е. малы величины Ап = п — п0 и Ар = р — р0, выражения (2.6.14) и (2.6.15) можно упростить. Действительно, если избыточная кон­ центрация не приводит к появлению в полупроводнике объемного заряда р, то р -= е (Ап — Ар) = 0 и

Тогда на основании (2.6.16) разность произведений концентраций равна

или с учетом малости избыточной концентрации

А п < /г 0 + Ро и An2 С Дп(п0 + р0).

Поэтому вместо (2.6.17) можно записать

Приближенное равенство (2.6.17!) выполняется, когда избыточ­ ная концентрация Ап мала по сравнению с концентрацией носите­ лей, например, электронов в электронном полупроводнике. При этом для полупроводника n-типа Ап и Ар могут превышать концен­ трацию неосновных носителей р0.

При выполнении (2.6.17х) уравнение (2.6.14) запишется так:

( - ~ ) = —уАп(п0 + р0) = — у(п — п0)(р — Ро). (2.6.МД

\/рек

Если предположить, что избыточная концентрация носителей возникает вследствие освещения полупроводника и достигает своего стационарного значения Дпст, то при выключении освещения (g = 0 ) изменение во времени концентрации носителей будет описываться уравнением (2.6.14х). Решим это уравнение при том начальном ус­ ловии, что в момент выключения света, соответствующий моменту отсчета времени, Ап = Апст, т. е. при t = 0,

77

Из (2.6.19х) видно, что через время

V (по 4- Ро)

число избыточных носителей уменьшится в е раз. Поэтому время

У («о + Ро)

называется средним временем жизни носителей тока от момента возникновения до момента рекомбинации или, короче, временем, жизни.

За время жизни т носители тока вследствие диффузии проходят среднее расстояние L, которое называется диффузионной длиной. Диффузионная длина тем больше, чем больше подвижность и чем: больше время т. Но подвижность и коэффициент диффузии у элек­ тронов и дырок различны, отсюда для электронов и дырок диффу­ зионные длины Ln и Lp должны быть различными. Диффузионныедлины носителей связаны с их временами жизни и коэффициентами диффузии простым соотношением:1

Необходимо отметить, что Ln и Lp равны длинам смещения элек­ тронов и дырок лишь вследствие диффузии, когда диффузионный ток значительно превышает ток омический. Если же условия та­ ковы, что преобладает омический ток, порождаемый полем &, то за время т, например, электроны проходят путь, равный vx = ип§х. Этот путь для того же образца германия при обычной температуре

Т — 300° и при

для S = 1 в!см будет равен:

ипёх = 3900• 1 • 10_3 = 3,9 см.

1 Это соотношение будет получено в главе V.

78