Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

объема V. Пусть вначале рассматривается одномерная цепочка ато­ мов длиной L. Очевидно, что наибольшая длина волны стоячих волн, возникающих в такой цепочке, будет равна Кт = L. Этой длине волны будет соответствовать наименьшее значение волнового числа

где v — скорость распространения волны в данной среде. Если также через а обозначить постоянную одномерной цепочки (посто­ янную решетки), то легко видеть, что па — L, где п — целое число. Поэтому дискретные значения волновых чисел будут удовлетво­

рять соотношению k = nkmirl = n ^ — или будут кратными от

В случае трехмерной решетки с кубической симметрией наимень­ шие значения волновых чисел (kx, ky, kz) собственных колебаний попадают в элементарный куб объема (2я/Ь)3 в пространстве волно­ вых чисел (^-пространстве). В таком пространстве каждая точка будет соответствовать определенному состоянию или собственному колебанию, но это пространство с учетом дискретности необходимо нормировать по отношению к размеру элементарного куба (2n/L)3.

Тогда очевидно, что число возможных состояний или число соб­ ственных колебаний Z с волновыми числами, меньшими | k |, будет приближенно равно отношению объема сферы радиуса | k | к объему элементарного куба в пространстве волновых чисел, т. е.

иV

Выражение (4.2.15) при переходе к частоте со перепишется в виде:

2л2 v3

Максимально возможную частоту сот собственных колебаний атомов решетки можно определить из того условия, что полное число колебаний решетки из N атомов, как уже указывалось выше,. равно 3N. Однако для этого необходимо (4.2.14) или (4.2.15) умно­ жить на 3, так как при данном | k \ упругие волны могут иметь три различные поляризации. В случае изотропной среды три такие по­

110

ляризации соответствуют двум волнам сдвига и одной продольной волне. Учитывая это и принимая во внимание (4.2.14), имеем

т. е.

(4.2.17)

где п — концентрация атомов твердого тела.

Из (4.2.17) видно, что максимальная частота собственных коле­ баний твердого тела определяется его упругими свойствами (о), а также структурой решетки тела и связанной с ней плотностью упаковки атомов (п). Соответственно, вводя в (4.2.16) коэффициент 3, учитывающий различные поляризации волн, перепишем это вы­ ражение так:

В результате приведенных рассуждений можно заключить, что для определения полной энергии Е твердого тела (его внутренней энергии) необходимо среднюю энергию одного колебания (осцилля­ тора) [см. (4.2.9) 1 умножить на число колебаний в интервале от со до со -f- day [см. (4.2.1601 и проинтегрировать все это по частоте от оз — 0 до со = сот :

где 0m— характеристическая температура Дебая, различная для различных тел. С учетом (4.2.19), (4.2.20) и (4.2.17) выражение (4.2.18) можно переписать в виде:

111

Дифференцирование энергии (4.2.18) или (4.2.21) по температуре Т и определяет в теории Дебая теплоемкость CVll.

Если продифференцировать (4.2.18) по температуре, то получим

или в обозначениях (4.2.19) и (4.2.20)

Проанализируем формулы, полученные на основании теории Дебая, в предельных случаях низких и высоких температур.

В области низких температур, когда Т 0т , величина xm> 1 и верхний предел в интеграле (4.2.21) можно заменить бесконеч­ ностью, т. е. энергия тела запишется в виде:

стремится к постоянному числу — . Поэтому энергия Е будет равна

15

Следовательно, по Дебаю, теплоемкость твердого тела при низ­ ких температурах изменяется по закону Т3. Последнее хорошо со­

в 1913 г., хорошо согласуется с экспериментом не только качест­ венно, но и количественно. Однако по формулам Дебая при абсолют-

112

ном нуле температуры стремится к нулю не только cV(X[см. (4.2.25) ], но и внутренняя энергия твердого тела [см. (4.2.24)]. Последнее, конечно, лишено здравого смысла, так как при Т ->■ Опрекращается лишь поступательное движение атомов.

Этот ошибочный вывод из теории Дебая объясняется тем, что для энергии квантового осцилЛятора Дебай использовал формулу

Е — tiki®.

Позднее квантовая механика уточнила, что энергия осциллятора

туры.

Однако легко видеть, что такое уточнение формулы для Е не влияет на результат определения теплоемкости cV(A, так как при переходе от Е к cVil (дифференцированием по Т) производная от вто­ рого слагаемого в (4.2.26) равна нулю.

§ 4.3. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

4.3.1. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА АТОМОВ

Согласно представлениям классической физики электроны в ато­ мах движутся по замкнутым орбитам. Такое движение каждого электрона эквивалентно замкнутому току силой / = ev, где е — заряд электрона; v — частота обращения электрона по орбите. Магнитный момент рт электрического тока, вызванного движением электрона по орбите, называется орбитальным магнитным моментом электрона; он численно равен

Рт

где S — площадь орбиты электрона; р0 — магнитная постоянная. Направление движения электрона и направление электрического тока / указаны на рис. 38.

Направление вектора рт образует с направлением тока право­ винтовую, а с направлением движения электрона левовинтовую

Движущийся по орбите электрон обладает также механическим моментом количества движения

где т — масса электрона.

Вектор рi называют орбитальным механическим моментом элек­ трона. Он образует с направлением движения электрона правовин­ товую систему. Следовательно, направление векторов рт и pt про­ тивоположно.

Сравнивая равенства (4.3.1) и (4.3.2), находим

(4-3.3)

2т

Тогда отношение магнитного момента электрона к его механи­

иназывается гиромагнитным отношением.

Вклассической физике предполагалось, что механический мо­ мент количества движения pt и его проекция ориентированы отно­

сительно внешнего поля произвольным образом. Однако такое пред­ положение было ошибочным. В соответствии с законами квантовой механики момент pt и его проекция на направление магнитного поля Н могут принимать только дискретные значения (см. § 1.1), а следовательно, и орбитальный магнитный момент рт и его проек­ ция на Н могут принимать лишь дискретные значения

Здесь I — побочное квантовое число; т г — соответствующее мо­ менту pt магнитное квантовое число, а выражение

называется магнетоном Бора.

У многоэлектронных атомов результирующий орбитальный маг­ нитный момент определяется суммированием моментов отдельных электронов. У атомов с заполненными электронными оболочками он равен нулю. Поэтому отличным от нуля орбитальным магнитным моментом могут обладать лишь атомы с частично заполненными электронными оболочками, например элементы группы железа.

Кроме орбитального момента количества движения электрон обладает собственным механическим моментом ps, называемым спи­ ном. Существование собственных моментов электрона пытались объяснить, рассматривая электрон как заряженный шарик, вращаю­

114