Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

Если теперь умножим (4.3.15) на число атомов п в единице объема, то получим интенсивность намагничения

6т

Соответственно отношение интенсивности намагничения 1т к ин­ дукции поля в вакууме В 0 выражает магнитную восприимчивость

Если известно строение атома и средний радиус электронных орбит, то величинах для данного вещества может быть рассчитана

теоретически, например, для а = Ю-10 м, п = 5 -1028 м ~'3 получим

X = К Г6 z.

Из формулы (4.3.17) следует, что магнитная восприимчивость диамагнетиков не зависит от температуры Т, от напряженности поля Я и возрастает с увеличением порядкового номера элемента

zпо линейному закону.

Вотсутствие магнитного поля в металлах свободные электроны

впромежутках между соударениями движутся по прямолинейным траекториям. В магнитном поле электроны движутся по винтовым линиям, что неизбежно приводит к появлению диамагнетизма сво­ бодных электронов. Магнитная восприимчивость, обусловленная диамагнетизмом свободных электронов, может быть выражена сле­ дующей формулой:

(4.3.18)

3|х0Ц

где п — концентрация электронного газа; ps — магнетон Бора; /л — энергия Ферми.

4.3.3. ПАРАМАГНЕТИЗМ ТЕЛ

Рассмотрим вначале классическую теорию парамагнетизма. Па­ рамагнитные свойства обнаруживаются у элементов, атомы и мо­ лекулы которых имеют нечетное число электронов, а также у ато­ мов и ионов с незаполненной внутренней оболочкой. Подобные атомы представляют собой постоянные магнитные диполи и, следо­ вательно, обладают постоянным магнитным моментом р, возникаю­ щим вследствие неполной компенсации орбитальных и спиновых магнитных моментов электронов.

Как известно, потенциальная энергия диполя во внешнем поле напряженностью Н (без учета взаимодействия диполей друг с дру­

где 0 — угол между направлением магнитного момента р и направ­ лением поля Н (рис. 43).

120

Под действием внешнего магнитного поля все диполи стремятся ориентироваться в направлении поля Н, тепловое движение стре­ мится разбросать их равномерно по всем направлениям. Резуль­ тирующее намагничивание определяется статистическим равнове­ сием между ориентирующим действием магнитного поля и дезори­ ентирующим действием теплового движения.

Классическая теория парамагнетизма была развита Ланжевеном в 1905 г. Он полагал, что магнитные моменты атомов могут ориентироваться в однородном магнитном поле произвольным обра­ зом, вследствие чего угол 0 [см. (4.3.19)] может принимать любые значения. Равновесное распределение моментов атомных диполей по направлениям должно подчиняться распределению Больцмана. По­

этому вероятность того, что атомный диполь будет ориентирован от­ носительно поля Я под углом, заключенным между 0 и 0 + dQ, т. е. будет заключен внутри телесного угла dQ (рис. 44), может быть задана в таком виде:

Выражая элементарный телесный угол dQ через плоский dQ = = 2л sin QdQ и подставив в (4.3.20) вместо потенциальной энергии Um ее значение из равенства (4.3.19), получим

где С — 2лСх — постоянная величина.

Среднее значение проекции магнитного момента атома на направ­ ление поля Я было найдено Ланжевеном в таком виде:

121

Ланжевен нашел также зависимость интенсивности намагничи­ вания парамагнетиков от параметра а:

где п — число атомов в единице объема.

Тогда с учетом (4.3.25) магнитная восприимчивость парамагне­ тика будет равна

Формула (4.3.28) выражает собой так называемый закон Кюри

где С — постоянная Кюри, зависящая от рода вещества

(4.3.29!)

Зц0А

В системе единиц СИ магнитный момент измеряется в в-сек-м. Следует заметить, что в ряде учебников и учебных пособий ис­

пользуется формула для магнитного момента в виде pm = IS (без

122

ц0) и рт измеряется в а-ж2, поэтому формулы для %и С имеют вид, отличный от формул (4.3.28) и (4.3.29!). Если же подставить вместо рт значение р = ц0рт , Т0 получим для магнитной восприимчиво­ сти такое же выражение

XпРтУо

3kT ’

какое дается в других источниках. При этом кажущееся несовпаде­ ние формул снимается.

В очень сильных полях или при очень низких температурах не­ равенство a<j(l перестает выполняться и линейная зависимость между L (а) от а нарушается

(рис. 45).

Из (4.3.23) также видно, что при 1 L (а)-5-1. Это предель­ ное значение функции Ланжевена физически соответствует магнитному насыщению, когда большая часть магнитных мо­ ментов атомов ориентирована вдоль направления напряжен­ ности внешнего магнитного поля.

Остановимся кратко на кван­ товой теории парамагнетизма. Классическая теория парамаг­ нетизма, разработанная Ланжевеном, допускала возможность

любых ориентаций магнитных моментов атомов относительно поля Н. Квантовая же теория парамагнетизма учитывает то обстоятель­ ство, что возможны лишь дискретные ориентации магнитного мо­ мента атома относительно поля.

С учетом правил пространственного квантования (см. § 1.2) пол­ ный момент количества движения атома P j [см. (1.1.102) ) опреде­ ляется квантовым числом J:

P j = V J { J + \)hv

Относительно направления магнитного поля Н момент P j может ориентироваться только так, чтобы его проекция на это направ­ ление была кратной [см. (1.1.103)], начиная от величины /гд:

Р j h ~ M j h i ,

где rrij — магнитное квантовое число атома.

С учетом дискретности значений проекции P JH ее среднее зна­ чение P JH будет равно отношению сумм:

123

при записи которых учли, что в функции распределения Больцмана

_Vm

е кт потенциальная энергия атома в магнитном поле равна

Um= - P JHH.

Вычисление этих сумм приводит для среднего значения проекции

JgH„H

Здесь рв — магнетон Бора; fS — параметр, равный р = ----— ; kT

B j (Р) — так называемая функция Бриллюэна, g — фактор спек­ троскопического расщепления, определяемый по формуле Ланде

Численное значение фактора g за­ ключено между 1 и 2.

Интенсивность намагничения, очевидно, равна произведению

Р JH на число (п) атомов или моле­ кул в единице объема парамагне­

тика:

Рис. 46

Im==PjHn=ng\LBJB j($ ). (4.3.30)

Тогда магнитная восприимчивость парамагнетика будет

Формулы (4.3.30) и (4.3.31) для величин Im и х можно исследо­ вать для предельных значений параметра р.

В самом деле, при не слишком сильных магнитных полях и вы­ соких температурах параметр

JgpВН

« 1 -

kT

124

I

В этом случае разложение в ряд функции Бриллюэна приводит к приближенному выражению

(4.3.32)

Тогда, подставляя (4.3.32) и значение параметра р в (4.3.30) и (4.3.31), будем иметь:

а.)

где величина

p = g V J ( j + 1)

определяет эффективное число магнетонов Бора, приходящихся на один атом.

Из формул (4.3.33) и (4.3.34) видно, что в случае высоких темпе­

что и подтверждается опытом.

Хорошее согласование квантовой теории с опытом показано на кривых (рис. 46), выражающих зависимость среднего магнитного

125

момента, приходящегося на ион хрома (Сг3+), железа (Fe3+) и кад­

мия (Cd3+), от отношения — .

Следует заметить, что у всех ионов имеются нескомпенсирован-

Рассмотрим парамагнетизм свободных электронов. Если бы элек­ троны проводимости в металлах вели себя так, как классический электронный газ, то магнитная восприимчивость такого газа под­ чинялась бы закону Кюри, т. е. была бы обратно пропорциональна абсолютной температуре. Однако исследования показали, что у ряда металлов был обнаружен парамагнетизм, не зависящий от температуры. Объяснил это явление Паули, показавший, что па­ рамагнетизм вызывается магнитными моментами, связанными со спинами электронов проводимости. Поэтому его назвали парамагне­ тизмом свободных электронов.

В соответствии с принципом Паули электроны проводимости попарно заполняют свободные энергетические уровни в зоне прово­ димости металла. На каждом занятом уровне размещаются по два электрона с антипараллельными спинами (рис. 47, а). Для нагляд­ ности на рис. 47, б зона проводимости представлена в виде двух полузон: одна из них содержит электроны со спинами, направлен­ ными вверх, другая — со спинами, направленными вниз. Поэтому в отсутствие внешнего магнитного поля суммарный магнитный мо­ мент электронов проводимости равен нулю.

При наложении внешнего магнитного поля картина изменяется. Свободный электрон, имеющий спин, направленный вдоль внеш­ него магнитного поля Я, будет обладать меньшей потенциальной энергией, чем электрон с противоположно направленным спиновым магнитным моментом, вследствие чего первая полузона опускается вниз на — рвЯ (рис. 47, в); у электрона же, имеющего спин, направ­ ленный противоположно внешнему полю Я, энергия увеличивается, вследствие чего вторая полузона поднимается вверх на + рвЯ. Между верхними уровнями этих полузон возникает разность, рав­ ная 2р вЯ. Возникновение этой разности приводит к переходу элек­ тронов из второй полузоны в первую до тех пор, пока верхние уровни полузон не сравняются (рис. 47, г). В результате действия на металл магнитного поля число электронов, спины которых на-, правлены параллельно полю, будет больше числа электронов со спинами, направленными противоположно полю.

126