Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

Отсюда, используя (4.4.5), для U H получим выражение

В рассмотренных выше формулах предполагалось, что величины /, Н, е — имеют численное значение. Однако электрический заряд е носителей тока (электронов и дырок), как мы видели, может быть и отрицательным, и положительным. Поэтому разность потенциалов UH в эффекте Холла, как видно из (4.4.8), будет менять знак в за­ висимости от знака основных носителей тока в твердом теле. Соот­ ветственно будет изменяться и знак постоянной Холла. В частно­ сти, в полупроводниках, как показали опыты, эффект Холла под­ тверждает наличиеэлектронов и дырок.

Что же касается металлов, то для них наблюдается как нормаль­ ный отрицательный эффект Холла (RH<C0), соответствующий элек­ тронам, так и аномальный (положительный) эффект Холла (/?H> 0 ) V свойственный положительным носителям — дыркам. Объясняется это следующим. Для металлов, у которых зона проводимости за­ полнена электронами меньше чем наполовину, электроны ведут себя нормально, как частицы с т * > 0 и е < 0 . К таким проводни­ кам, например, относятся щелочные металлы.

с дырочной проводимостью и RH^>0 являются, например, берил­ лий, цинк и др. Последнее, как мы видели раньше, является под­ тверждением общего положения зонной теории о том, что электроны на верхних краях энергетических зон (любых) ведут себя как по­ ложительно заряженные частицы, имеющие т *< ^ 0 и е^>0.

Приведенный вывод постоянной Холла (4.4.6) не является стро­ гим даже в рамках классической теории электропроводности, так как в нем предполагалось, что все носители тока имеют одинаковую скорость движения v и одинаковое время жизни т. Однако это при­ ближение является допустимым для металлов и сильно вы­ рожденных полупроводников, в которых электроны проводимости располагаются в основном на уровнях, близких к уровню Ферми, так что их примерно одинаковая скорость определяется фиксиро­ ванным значением энергии Ферми. В обычных же полупроводни­ ках имеет место большой разброс скоростей v и времени жизни т носителей.

Поэтому более строгий расчет показывает, что постоянную Холла

где величина А является константой, зависящей от механизма рас­ сеяния носителей. В частности, в полупроводниках, которые обла­ дают атомной решеткой (типа решетки алмаза) и в которых в основ-

133

ном имеет место рассеяние носителей тока на тепловых колебаниях. решетки, константа А = Зя/8 = 1,18 и постоянная Холла соот­ ветственно будет

Если же в полупроводниках рассеяние носителей в основном происходит на целиком ионизированных атомных примесях, то

А = 1,93 и

епс

В полупроводниках с ионной решеткой при температурах ниже температуры Дебая (kT <C^i©m) постоянная R H, как и для метал­ лов, будет равна

Наконец, в полупроводниках, в которых действуют оба меха­ низма рассеяния носителей тока, постоянная Холла R H сложным образом зависит от факторов, характеризующих оба процесса рас­ сеяния. При этом, когда сильно преобладает один из механизмов рассеяния, тогда RH переходит в (4.4.10) или в (4.4.11).

Необходимо заметить, что как гальваномагнитное явление эф­ фект Холла зависит не только от концентрации носителей (п или р), но также и от подвижности электронов (ип) и дырок (ир), которые существенно отличаются друг от друга (всегда ир<Сип). Поэтому расчет, учитывающий это обстоятельство, приводит для R H к сле­ дующей формуле

Ари2р — пип2

(4.4.13)

ес(рир + пип)*

Из (4.4.13) видно, что знак постоянной Холла зависит не только от знака заряда носителей е, но и от знака разности {Ри\ — пип2)-

В заключение этого пункта приведем размерность постоянной Холла RH в системе Гаусса и в системе СИ. В системе Гаусса из фор-

. 134

мулы (4.4.6) следует, что

4.4.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭФФЕКТА ХОЛЛА

Эффект Холла как гальваномагнитное явление, во-первых, по­ зволяет определить значение напряженности магнитного поля Я, ко­ торое его вызывает [см. (4.4.8) ]. В этом смысле прибор, фиксирующий ея или UH, может служить датчиком э. д. с. Холла и датчиком магнитного поля (Я ~ UH). При этом возможным является созда­ ние приборов для измерения не только постоянных, но и перемен­ ных магнитных полей. На основании эффекта Холла можно также создать приборы для измерения токов высокой частоты (UH ~ Г при Я = const), усилители и генераторы электрических колеба­ ний и др.

Во-вторых, на использовании эффекта Холла базируется один из основных физических методов экспериментального исследования полупроводников и металлов. В самом деле, измеряя на опыте R H можно определить: знак носителей тока, концентрацию носителей

а также подвижность носителей при заданных концентрациях [см. (4.4.13) или (4.4.14) ].

Необходимо заметить, что определение подвижности носителей целесообразно производить при одновременном измерении и элек­ тропроводности образца

Очевидно, что в качестве датчиков Холла целесообразно исполь­ зовать материал с большой подвижностью носителей. Как уже ука­ зывалось выше (см. § 2.5) такими полупроводниковыми материалами могут служить соединения типа ASB&. Например, можно использо­ вать сурьмянистый индий InSb и мышьяковистый индий InAs.

135

Г Л А В А 5

ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОНТАКТНЫХ ЯВЛЕНИЙ

§ 5.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВ КОНЦЕНТРАЦИИ НОСИТЕЛЕЙ ТОКА

ИУРОВНЯ ФЕРМИ

Вэтой главе при рассмотрении общих вопросов физики твердого тела, имеющих непосредственное значение для изучения контактных явлений, более подробно остановимся на полупроводниках. Целе­ сообразность этого в первую очередь объясняется тем, что с точки зрения зонной теории твердых тел структура зон полупроводника является наиболее типичной, а металлы и диэлектрики, в этом смысле, являются как бы предельными случаями полупроводников.

Сдругой стороны, из потребностей практики наибольшее значение имеют выпрямляющие контакты полупроводников.

Поэтому в данной главе при расчете концентрации носителей тока и уровня Ферми, при исследовании термоэлектронной эмиссии и контактной разности потенциалов —за исходные образцы твердого тела выбраны полупроводники. Необходимо заметить, однако,что должное внимание уделяется и металлам, так как весьма подробно анализируется контакт металла с полупроводником.

5.1.1.ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАВНОВЕСНОЙ КОНЦЕНТРАЦИИ

НОСИТЕЛЕЙ ТОКА В ПОЛУПРОВОДНИКЕ

В § 1.2 мы установили, что распределение электронов по энерге­ тическим состояниям в кристаллическом теле определяется функ­ цией (1.2.42), причем в качестве масс носителей тока необходимо брать их эффективные массы т * и т * . В § 1.2 также указывалось,

что число состояний в зоне проводимости полупроводника порядка 1022 в 1 см3, а число свободных электронов в 1 см3 электронного по­ лупроводника изменяется в широких пределах от 1012 до 1018.

Однако, по определению функции Ферми (см. § 1.2), при этих условиях она будет

1012 щи

Ю-Юч-Ю-

g 1022

.136

посредственно примыкающих к дну зоны проводимости. Поэтому

зоны проводимости, считая, что энергия электрона на дне зоны про­ водимости равна нулю (Е = 0).

Однако выражение (5.1.2) с точностью до коэффициента совпа­ дает с (1.2.27л) из классической статистики. Поэтому распределение (5.1.2) называют распределением Максвелла—Больцмана. Физи­ чески это соответствует тому, что в состояниях электронов в полу­ проводнике, для которых выполняется условие (5.1.2), электрон­ ный газ ведет себя как невырожденный газ. Дальше будет показано, что для невырожденного электронного газа, так же, как и для иде­ ального газа, средняя энергия пропорциональна температуре. За­ метим, что, как известно из физики, для идеального газа применима статистика Максвелла—Больцмана. Если же свойства газа отли­ чаются от свойств идеального газа, то это называется вырождением. К такому вырожденному газу неприменима статистика Максвелла— Больцмана. По аналогии с этим считается, что для вырожденного электронного газа применима статистика Ферми. Если же к элек­ тронному газу применима статистика Максвелла—Больцмана, то он называется невырожденным.

Для определения в полупроводнике концентрации электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне подсчитаем вначале общее число электронов в зоне проводимости. В § 1.2 мы уже гово­ рили, что общее число состояний в зоне (в частности, в зоне прово­ димости) для 1 см3 кристалла равно числу атомов N, умноженному на кратность атомного уровня ga, из которого образовалась зона, т. е. общее число состояний равно gaN.

Очевидно, что число dn электронов проводимости, для которых энергии лежат в интервале от Е до Е + dE, равно числу состояний в этом интервале g (Е) dE, умноженному на вероятность их запол­ нения, равную функции Ферми f, т. е.

137

причем на основании сказанного выше об общем числе состояний в зоне (рис. 53):

ga^ = .f g {E )d E El

или

так как условились энергию отсчитывать от дна зоны проводимости. Очевидно, что на основании (5.1.3) общее число электронов в зоне

проводимости запишется в виде:

Точный вид функций g (Е) для всей зоны проводимости до сих пор неиз­ вестен, что затрудняет вычисление интеграла (5.1.5). Но если учесть, что с увеличением энергии Е в зоне функция / быстро убывает, то верхний предел интеграла (5.1.5) можно счи­ тать равным бесконечности, а для функции f (Е) ограничиться значени­

ями вблизи дна зоны проводимости. В этом случае расчет по кван­ товой теории показывает, что

и интеграл (5.1.5) с учетом (5.1.2) запишется в виде:

00 £ 4 л { 9 т * I 3 2 _

n = J fg(E )d E — J e kT - L - s L - Y E d E . h3

Переходя в последнем интервале к новой переменной хх = ~

получим *1

т. e. концентрация электронов в зоне проводимости или вообще кон­ центрация свободных электронов в полупроводнике будет

138