Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

Индексом нуль мы обозначили здесь концентрацию электронов п, чтобы отметить, что это равновесная концентрация свободных элек­ тронов в полупроводнике. Равновесной она будет потому, что при получении (5.1.7) пользовались функцией распределения Ферми, описывающей систему, находящуюся в состоянии термодинамиче­ ского теплового равновесия. Здесь и в дальнейшем чаще всего мы будем пользоваться равновесными концентрациями электронов п& и дырок р 0, хотя индекс нуль иногда будем опускать.

Если прологарифмируем (5.1.7), то определим значение уровня или величину отрезка р на рис. 53:

2 (2nm*nkT

Необходимо заметить, что по сравнению с распределением (1.2.33) классической статистики выражение (5.1.6) имеет в знаме­ нателе величину К3. Это объясняется тем (см. § 1.2), что в квантовой статистике все фазовое пространство разбивается на ячейки разме­ ром h, причем принцип Паули здесь сводится к тому, что в -каждой ячейке объемом Ь? может находиться не более двух электронов, имеющих противоположные спины.

Вычисления, аналогичные тем, которые привели к выражениям (5.1.7) и (5.1.8), позволяют получить концентрацию дырок р в за­ полненной зоне полупроводника (см. рис. 53):

где р' есть расстояние по энергии от уровня Ферми р до верхнего края валентной зоны, определяемое из условия

На основании (5.1.10) выражение (5.1.9) можно переписать-в виде, близком к (5.1.7):

Также нетрудно рассчитать концентрацию электронов nd на донорных и акцепторных уровнях. Очевидно, что отношение числа электронов nd к общему числу (концентрации) донорных уровней Nd согласно (1.2.38) должно быть равным функции распределения Ферми [см. (1.2.40)], в которой энергия соответствует донорному уровню (см. рис. 53):

П£ ________1_____

139

или

(5-1.11)

где E gn есть энергия, соответствующая донорному уровню, отсчи­ тываемая вниз от дна зоны проводимости. Если при этом nd — кон­ центрация электронов на донорных уровнях, то концентрация электронов в зоне проводимости за счет их перехода с донорных уровней, очевидно, равна Nd — nd.

Из рассмотрения (5.1.7), (5.1.9) и (5.1.11) следует, что если из­ вестен уровень Ферми р, ширина запрещенной зоны Eg и энергия E gn, то можно определить концентрацию электронов в зоне прово­ димости, концентрацию дырок в заполненной зоне и концентрацию электронов на донорных уровнях.

5.1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРОВНЯ ФЕРМИ

Величина уровня Ферми р может быть определена из того ус­ ловия, что общее число свободных электронов в системе (полупро­ воднике) нам известно. В самом деле количество свободных электро­ нов в зоне проводимости определяется числом электронов, забро­ шенных (в основном вследствие теплового движения) из валентной зоны, и числом электронов, перешедших в зону проводимости с до­ норных уровней. Если учесть, что концентрация электронов, пере­ шедших из валентной зоны, равна концентрации дырок, оставшихся в валентной зоне [п из (5.1.7) равно р из (5.1.9)], то полная концен­ трация п свободных электронов будет:

Тогда, подставляя выражения (5.1.7), (5.1.9) и (5.1.10) в равен­ ство (5.1.12), получим уравнение для определения р:

(5.1.13)

Нетрудно проверить, что уравнение (5.1.13) является кубичеJL

ским уравнением относительно еkT :

(5.1.14)

140

где

Уравнение (5.1.14) в таком виде затруднительно для решения и исследования этого решения. Однако для практически интерес­ ных случаев преобладания в полупроводнике собственной или при­ месной проводимости уравнения (5.1.12) или (5.1.13) значительно упрощаются.

Случай собственной проводимости. Предположим, что темпера­ тура достаточно высока, так что за счет примесей концентрация электронов в зоне проводимости мала и преобладают переходы элек­ тронов из валентной зоны в зону проводимости. Тогда в (5.1.12)

Рffld—nd) и га — р, а (5.1.13) запишется так:

Из (5.1.15) видно, что если Т ^>0 и эффективные массы носителей тока равны (/га* = /га*), то р = — , т. е. уровень Ферми прохо­

дит точно посередине запрещенной зоны (рис. 54). Очевидно, что тот же самый результат будет при абсолютном нуле температуры (Т = 0). Если же Г > 0 и /га* ^ /га*, то уровень р изменяется с тем­

пературой по линейному закону, поднимаясь ко дну зоны прово­ димости. Подставляя теперь (5.1.15) в (5.1.7) и (5.1.9^, для концен­ трации электронов и дырок при собственной проводимости получим выражение

Из (5.1.16) видно, что концентрация носителей тока за счет собст­ венной проводимости практически растет с температурой по экспо­ ненциальному закону, так как предэкспоненциальный множитель в (5.1.16) растет с температурой значительно медленнее.

На основании (5.1.16) легко получить зависимость концентра­ ции носителей тока при собственной проводимости в логарифмиче­ ском масштабе. Действительно, обозначая предэкспоненциальный множитель в (5.1.16) буквой А, получим

1 2kT

141

На графике выражение (5.1.17) как зависимость In п = f (1/7) изобразится в виде прямой 1 (рис. 55) с угловым коэффициентом,

венную концентрацию носителей тока в германии при комнатной

Случай примесной проводимости. Если, наоборот, собственная проводимость мала, т. е. переход электронов из валентной зоны в зону проводимости незначителен, то можно рассматривать лишь примесную проводимость. Другими словами, когда электроны пе­ реходят в зону проводимости в основном с примесных донорных

In т

£

y, ■ ///////////,

t

c(

уровней, то концентрацией р дырок в уравнении (5.1.12) можно пренебречь [р <Д (Nd — пd)] и вместо (5.1.13) рассматривать урав­ нение

kT

Простым преобразованием (5.1.18) приводится к квадратному уравJL

нению относительно еьт :

142

Для выяснения смысла решения (5.1.20) рассмотрим его предель­ ные значения.

В области низких температур можно считать, что

( 2*

(5.1.21)

^2h3Nd

Тогда

>1 И

(2яяг* fe7’)3 2 (2nm*nk T f 2

На основании последних неравенств выражение (5.1.20) запишется в виде:

(2ntnnkT)3,2. Следовательно, в первом случае уровень р поднимается вверх к зоне проводимости, а во втором — опускается ниже при­ месного уровня (см. рис. 56). Точка перегиба кривой р = р (Т), показанная на рис. 56, очевидно, может быть определена из усло­ вия

h3Nd

- 1 ,

2 [2кm*nk T f :2

при котором логарифмы в (5.1.22) обращается в нуль. Если, напри­

143