Файл: Крутецкий, И. В. Физика твердого тела учеб. пособие.pdf

По аналогии с (1.2.31!) распределение частиц по скоростям (ско­ рости частиц лежат в интервале от у до и + dv) будет

с (1.2.32) число частиц, обладающих энергией, лежащей в интервале от £ до £ + dE, будет

33

и вместо множителя при экспоненте в (1.2.32) получим

Распределение (1.2.33) частиц по энергиям носит название рас­ пределения Максвелла—Больцмана, причем распределения (1.2.31!) — (1.2.33) являются его разновидностями.

Необходимо заметить, что в распределениях (1.2.31!), (1.2.32) и (1.2.33) плотность вероятности нахождения частицы в единице объема фазового пространства и есть функция распределения, ана­ логичная (1.2.27!) и обозначаемая f. Под фазовым пространством, вообще говоря, понимается шестимерное пространство импульсов и координат, так что элемент объема в таком пространстве будет

dx — dpxdpydpzdxdydz.

В таком пространстве состояние частицы соответствует точке. В ча­ стном случае независимости распределения от координат

dx = dpxdpydpz или dx == 4np2dp. _

Так, например, функция распределения частиц по импульсам на основании (1.2.312) запишется в виде:

dx (2nmkSf^

Рассмотренное статистическое распределение Максвелла—Больц­ мана применялось ранее для электронов в металлах w полупровод­ никах, при этом для металлов оно являлось основой классической электронной теории. Однако, как было показано, для электронов в кристаллических твердых телах в общем случае справедливой является квантовая статистика Ферми—Дирака.

1.2.3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ— ДИРАКА

Естественно, что при переходе к квантовой статистике, основы­ вающейся на квантовой механике, необходимо учитывать все осо­ бенности последней.

Во-первых, необходимо учитывать соотношение неопределен­ ности Гайзенберга при рассмотрении элемента объема фазового пространства. Как известно, по классической статистике и класси­ ческой механике, движение частицы однозначно определено, если заданы ее координаты и три составляющих импульса. Поэтому элемент объема такого фазового пространства

dx = dxdydzdpxdpydpz,

с учетом соотношения Гейзенберга, не может быть сколь угодно малым, а должен удовлетворять неравенству

dxdydzdpxdpydpz > /г3.

34

Следовательно, удовлетворяя соотношению неопределенности, мы можем разбить фазовое пространство на такие элементарные ячейки,1* которые «по размеру» будут не меньше, чем /г3. Попадая в такую элементарную ячейку фазового пространства, электрон будет обладать вполне определенным состоянием. Поэтому число ячеек в таком шестимерном пространстве, а значит, и число возмож­ ных состояний электрона равно фазовому объему, деленному на /г3, т. е. число возможных состояний будет равно

dxdydzdpxdpydpz

т"

Во-вторых, необходимо учитывать принцип Паули, а это при­ водит к тому, что в каждой ячейке фазового пространства может быть лишь два электрона с различными спинами.

Если перейти от шестимерного фазового пространства к трехмер­ ному пространству импульсов, то элемент объема запишется в виде:

dxdydydpxdpydpz — Vdpxdpydpz = hs,

откуда

dpxdpydpz= ’у ,

где V — объем соответствующей системы или объем кристалла. Следовательно, в трехмерном пространстве импульсов минималь­ ный размер элементарной ячейки будет hW .

В-третьих, в квантовой статистике Ферми—Дирака все частицы (электроны) считаются неразличимыми и перемена их местами не приводит к изменению состояния всей системы частиц. В классиче­ ской же статистике, статистике Максвелла—Больцмана, считалось, что перемена мест частиц приводит к изменению состояния системы.

Итак, к электронам в металлах и полупроводниках применима квантовая статистика, исходящая из необходимости квантовомеха­ нического описания электронов. Найдем функцию распределения электронов по энергиям в статистике Ферми—Дирака.

Мы видели в § 1.1, что согласно квантовой механике электроны могут размещаться лишь на вполне определенных энергетических уровнях. Поэтому в квантовой статистике и нужно рассматривать распределение электронов по этим дозволенным уровням.

Предположим, что система состоит из электронов, которые мо­ гут находиться на различных энергетических уровнях, так что на t-м уровне могут разместиться gt электронов, обладающих энергией Е (. Если п£ есть число электронов, фактически находящихся на /-м уровне, то полная энергия системы запишется в виде:

1 В отличие от этого, по классической статистике, такие ячейки могли быть сколь угодно малыми.

35

В нашу задачу входит отыскание отношения — , т. е. отношения

Si

числа электронов, обладающих энергией E h к полному возможному числу состояний с этой энергией. Такое отношение и называется функцией распределения Ферми-^Дирака.

Обозначим через wt вероятность того, что в i-м состоянии нахо­ дятся nt электронов. Очевидно, что wt будет пропорциональна числу способов, которыми можно выбрать лг занятых мест из общего числа g t свободных мест, т. е. пропорциональна числу сочетаний из g £ элементов по щ:

или, вводя коэффициент пропорциональности ah будем иметь

Для системы в термостате, как мы видели в пункте 1.2.1, в со­ стоянии равновесия свободная энергия F минимальна, т. е. вариа­ ция от свободной энергии должна быть равной нулю:

6F = б (£ — TS) = 0.

энтропия системы в случае рассматриваемого распределения будет равна

i

так как данное макроскопическое состояние системы осуществляется

через W = Пшг микроскопических состояний. При этом в силу не- i

зависимости событий заполнения электронами различных уровней вероятность W распределения электронов по всем состояниям равна произведению вероятностей wt.

Тогда на основании (1.2.34), (1.2.35) и (1.2.36) условие минимума

36

Поэтому минимум свободной энергии, определяемый (1.2.35), не­ обходимо исследовать при дополнительном условии бN = 0. Ис­ пользуя, как и в пункте 1.2.2, метод неопределенных множителей Лагранжа, умножим вариацию 8JV на и сложим с (1.2.37). При этом преобразование такой суммы с помощью формулы Стирлинга [см. (1.2.24) ] с учетом переменной щ приводит к выражению

Итак, функция f t распределения Ферми—Дирака определяет вероятность того, что электрон обладает энергией Е { или что со­ стояние с энергией E t занято электроном.

Опуская в дальнейшем индекс i, введенный произвольно, вместо (1.2.38) окончательно запишем функцию распределения Ферми— Дирака в виде:

Графическое изображение функции (1.2.40) при различных темпера­ турах будет подробно рассмотрено в § 5.1.

Разумеется, что если функция / определяет вероятность запол­ нения энергетического уровня электроном, то вероятность того, что уровень будет пустой, или, что то же, он будет, заполнен дыркой,

равна (1—/).

В заключение запишем распределение частиц по импульсам и по энергиям в квантовой статистике.

Как мы видели выше, число ячеек Z в трехмерном пространстве импульсов будет равно

Z = d x: dpxdpydpz.

Соответственно число ячеек г в единице объема кристалла (системы) запишется в виде:

Тогда число dn электронов в единице объема, импульсы которых лежат в интервале от рх до рх + йрх\ ру до ру + dpy\ р2

37