Файл: Комаров, В. Н. По следам бесконечности.pdf

вечность. Однако бесконечность неисчерпаема и бесконеч­ ный ряд не может быть завершен. А следовательно, на­ стоящий момент никогда не мог бы наступить. Но так как он все же наступил, следовательно, мир конечен во времени.

Однако это были чисто абстрактные логические рас­ суждения, основанные на ньютоновском представлении об абсолютном пространстве и абсолютном времени.

Гораздо более глубокие мысли о пространстве и вре­ мени высказывал впоследствии Гегель (1770 — 1831).

Он, в какой-то мере предвосхищая будущую физику, критиковал Ньютона, считавшего пространство пустым вместилищем небесных тел, а время некоей абсолютной, зависящей только от самого себя длительностью, и отры­ вавшего, таким образом, пространство и время от материи.

Не принимал Гегель и точку зрения Канта.

«Это уже слишком большая нежность по отношению к миру,— писал он,— удалить из него противоречие, пе­ ренести, напротив, это противоречие в дух, в разум и оста­ вить его там неразрешенным».

Однако и сам Гегель выводил бесконечность мира из бесконечности мирового духовного процесса,— ведь мир для Гегеля представлялся инобытием идеи.

В то же время любопытно отметить, что эту беско­ нечность Гегель понимал не просто как бесконечное по­ вторение одного и того же. Он считал, что с изменением масштабов неизбежно должны возникать и новые каче­ ства.

И Гегель, и Кант, и Декарт понимали бесконечность как отсутствие границ. И главная проблема, которая их занимала, состояла в том, как оправдать использование идеи бесконечности, если на практике мы всегда имеем дело с конечными величинами.

Проблема бесконечного издавна привлекала внимание не только философов и математиков, но также богословов и теологов, утверждавших, что высшая истинная беско­ нечность — это бесконечность бога.

— Именно в бесконечности — высшее совершенство и высшее благо,— утверждали они.— Конечность говорит о несовершенстве и потому относится к материальному миру.

Весна 1960 года. Маленький французский городок Ройямон, недалеко от Парижа. Здесь в тихом и цветущем

51

местечке, словно самой природой предназначенном для отвлеченных размышлений, проходила международная конференция философов. На нее съехались представители самых различных школ и направлений — материалисты, идеалисты, идеологи религии.

Как-то в перерыве между заседаниями один из совет­ ских философов разговорился с богословом-доминиканцем, одним из теоретиков современного католицизма.

— Как вы, теологи, решаете в настоящее время во­ прос о конечности нлп бесконечности мира? Ведь, если не ошибаюсь, в свое время религия категорически отво­ дила бесконечность исключительно для бога?

— Да, таковы были взгляды святого Августина,— подтвердил доминиканец.— Но Фома Аквинский, чье уче­ ние признано теперь единственной истинной философией католической церкви, исходя из Аристотеля, учил, что материя также бесконечна, по только в ином смысле, а именно в смысле формы, а не бытия, которое эту форму определяет и является богом.

—Не значит ли это,— спросил философ,— что вы ос­ тавляете себе возможность, судя по обстоятельствам, поль­ зоваться то одной, то другой стороной этого учения?

Вопрос был достаточно прямой, и доминиканец ух­ мыльнулся:

—Понимаю... Вас интересует, как мы относимся к гипотезам науки?.. Мы признаем право науки исследо­ вать материальный мир. И вполне принимаем ту картину Вселенной, которую она нам рисует... Но, помимо мира

материального, есть другой мир, мир высший, недоступ­ ный науке, бог, сотворивший материю и вдохнувший в

предшествовал творческий проект: геометрия Вселенной. Бог повсюду занимается геометрией, и гений человека состоит в том, что он фиксирует ее буквами, фигурами и уравнениями.

Но философ был хорошо знаком с этой тактикой «мир­ ного сосуществования» и «разделения сфер», пропаган­ дируемой современными богословами. Его интересовало другое.

— А как же все-таки с конечностью и бесконечнос­ тью?— повторил он свой вопрос.

52

— Что бы там ученые ни утверждали — конечен мир или бесконечен, религиозное познание этим не затраги­

— Бесконечность нельзя охватить обычными челове­ ческими понятиями. Для этого необходим сверхъестествен­ ный носитель мудрости — господь бог...

На том и закончилась эта беседа, показавшая еще раз, что современные защитники религии стараются обра­ тить в свою пользу любые данные науки, любые ее вы­ воды и достижения в познании окружающей природы. И делают это довольно искусно. Хотя, разумеется, это все­ го лишь ловкий тактический прием. Существо религии

одной слепой вере в сверхъестественное далеко не уедешь. Вот современные богословы и стараются сделать религию более приемлемой для современного человека, придать ей видимость научной обоснованности. И для этой цели они не только ловко жонглируют научными данными, но идут и на прямую фальсификацию.

Странный мир множеств

Только разработка понятия «предела» помогла уяснить природу бесконечно малых величин. Но само это понятие получило строгое обоснование лишь в теории бесконеч­ ных множеств, создание которой стало одним из выдаю­ щихся достижений математики XIX столетия. Именно в этот период началось изучение множеств, состоящих из бесконечно большого числа элементов.

Пожалуй, самый первый шаг был сделан еще Гали­ лео Галилеем. Великий флорентийский ученый обнару­ жил, что можно установить так называемое взаимно одно­ значное соответствие между натуральными числами и их квадратами. Для этого достаточно соотнести каждому це­ лому числу результат его возведения во вторую степень. Таким образом, получается, что множество квадратов на­ туральных чисел так же велико, как и множество всех

53

натуральных чисел. Галилей обратил внимание на до­ вольно неожиданное обстоятельство: из этого следовало, что бесконечное множество может быть равно своему под­ множеству — ведь далеко не каждое целое число являет­ ся квадратом какого-либо другого целого числа.

А это, в свою очередь, означало, что аксиома «часть меньше целого» может оказаться недействительной, когда речь идет о бесконечности. Замечание великого физика лишь усилило недоверие к бесконечным множествам. Кстати, это недоверие разделял и сам Галилей, а много позже, в 1833 году, математик Коши, один из создателей теории пределов, цитировал его высказывания для под­ тверждения подобной же точки зрения.

И лишь в середине XIX столетия чешский математик Бернард Больцано (1781—1848) пришел к обоснован­ ному выводу о том, что отличие конечных множеств от бесконечных в том именно и состоит, что бесконечное множество равномощно своей собственной части.

Труд Больцано «Парадоксы бесконечного» вышел в свет в 1855 году, спустя три года после смерти ученого. Правда, это было скорее философское, нежели матема­ тическое исследование. Попытки Больцано образовать бес­ конечные множества все более высоких мощностей не увенчались успехом.

Решить эту задачу удалось только выдающемуся не­ мецкому математику Георгу Кантору (1845 — 1918).

В 1883 году Кантор опубликовал статью «О бесконеч­ ных линейных точечных многообразиях». Как и книга Больцано, это было тоже философское сочинение с мате­ матическим уклоном, на что прямо указывал подзаголо­ вок «Математически-философский опыт в учении о бес­ конечности».

Но его автор поставил перед собой сложнейшую за­ дачу: не только осмыслить философское содержание по­ нятия бесконечности, но и отыскать математические сред­ ства для его описания.

Кантор смело отбросил ставший уже чем-то традици­ онным страх математиков перед операциями с бесконеч­ ностью. Он свел понятие бесконечности к понятию бес­ конечных множеств и первым планомерно и последова­ тельно занялся изучением их свойств.

Таким образом, основным объектом исследования в но­ вой теории стало множество — совокупность объектов,

54

отвечающих определенному условию, объединенных неко­ торым общим признаком.

«Под многообразием или множеством,— писал Кан­ тор,— я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т. е. всякую совокупность опреде­ ленных элементов, которая может быть связана в одно целое, с помощью некоторого закона».

Скажем, множество четных чисел можно, по Кантору, определить так: это совокупность всех целых чисел, кото­ рые без остатка делятся на два.

Подобным же способом можно образовать и другие множества, как конечные, так и бесконечные, состоящие из тех или иных объектов. Например, множество всех людей, владеющих французским языком, или множество всех звезд с поверхностной температурой выше 6 тысяч градусов, или множество всех окружностей, обладающих общим центром.

Пожалуй, ни до Кантора, ни после него никто из математиков не брался с такой смелостью за проблему бесконечности и не вкладывал столько сил в ее решение.

«Я отлично знаю, что рассматриваемая мною тема,— писал Кантор,— была во все времена объектом самых различных мнений и толкований. Что ни математики, ни философы не пришли здесь к полному согласшо. По­ этому я очень далек от мысли, что я могу сказать по­ следнее слово в столь трудном, сложном и всеобъемлю­ щем вопросе, как проблема бесконечности. Но так как многолетние занятия этой проблемой привели меня к определенным убеждениям и так как в дальнейшем ходе моих работ эти последние не поколебались, но лишь укре­ пились, то я счел своей обязанностью систематизировать их и опубликовать».

Кантор отлично понимал, что речь идет о расширении ряда целых чисел за бесконечное, то есть об операции совершенно необычной с точки зрения привычных мате­ матических и тем более обыденных житейских представ­

конфликт с широко распространенными взглядами на математическую бесконечность.

Речь шла о взглядах, укоренившихся еще со времен Аристотеля, то есть об отношении к математической бес­

\55

конечности как к бесконечности, становящейся потенци­ альной, которая может стать меньше или больше любой заданной величины, но которая в то же время сама всегда остается величиной конечной.

Даже великий Гаусс считал, что конечный человек не отважится рассматривать бесконечное как нечто дан­ ное и доступное его привычной интуиции.

«...Прежде, всего я протестую против пользования бес­ конечной величиной в качестве законченной, каковое пользование в математике никогда не дозволяется — писал он в одном из своих писем.— Бесконечное является лишь

что его способность образования чисел ограничивается только конечными числами. Но если окажется, что рас­ судок в состоянии также в известном смысле определять и отличать друг от друга бесконечные числа, то придется приписать человеческому рассудку предикат «бесконеч­ ный», что, по моему мнению, единственно правильно. Как ни ограничена человеческая природа, к ней все-таки при­ липло очень много от бесконечного.

Если говорить совершенно строго, то потенциальная бесконечность абсолютно непригодна для решения прак­ тических задач. Ведь потенциальная бесконечность — это «вечно незавершенный процесс».

Другими словами, одно дело осуществимость потенци­ альной бесконечности в теории и совсем другое на прак­ тике. Воспользуемся современным примером из области теоретической кибернетики. С точки зрения этой науки осуществим любой алгоритм, даже если он требует бес­ конечного числа шагов. Но реальная электронно-вычисли­ тельная машина не в силах решить подобную задачу. Такой расчет лежит за пределами ее возможностей — Еедь она обладает всего лишь конечной памятью и спо­ собна осуществить хотя и очень большое, но конечное число операций.

Впрочем, математики находили выход из положения: совсем не обязательно достигать бесконечности: на какомто шаге можно остановиться и вести все расчеты с опре­

56

деленной степенью точности, достаточной, чтобы решение имело практический смысл. Скажем, при вычислении числа я то есть отношения длины окружности к ее попе­ речнику, вовсе не обязательно находить бесконечное число знаков после запятой. Вполне можно ограничиться, напри­ мер, пятью знаками — не сотнями и не десятками знаков, а пятью илп даже четырьмя. Для практических матема­ тических операций этого вполне достаточно.

— Потенциальная бесконечность,— признавал и Георг Кантор,— оказалась весьма хорошим и в высшей степени ценным оружием и в математике и в естествознании.

Но теория множеств, развитая Кантором, по существу, ршеет дело с актуальной бесконечностью. С этой целью Кантор обобщил понятие обычного числа до понятия трансфинитного числа. Он сделал попытку создать мате­ матический аппарат для описания актуально бесконечных множеств.

Например, первое трансфиннтное число со Кантор оп­ ределяет как наименьшее из всех чисел, больших любого натурального числа. При этом он использовал одно из определений предела: Т является пределом {ап}, если Т наименьшее из чисел, больших каждого из ап. После­ дующие трансфинитные числа получаются из со путем прибавления единицы: о>+1, со + 2, со + 3... Трансфпнитное число следующего, второго класса ©2 есть наи­ меньшее из всех чисел, больших чисел вида со+/г и т. д.

Счетные множества имеют мощность первого числово­ го класса. Следующая мощность может быть приписана всем числам второго класса и т. д. Так строится шкала последовательно увеличивающихся мощностей бесконеч­ ных множеств.

«Все так называемые доказательства против возмож­ ности актуально-бесконечных чисел по существу ошибоч­ ны,— писал Кантор в одной из своих работ.— Потому что они заранее приписывают или скорее навязывают беско­ нечным числам все свойства конечных. Между тем, бес­ конечные числа должны образовать благодаря своей про­ тивоположности конечным числам совершенно новый чис­ ловой вид, свойства которого вполне' зависят от природы вещей и образуют предмет исследования, а не нашего произвола или наших предрассудков».

Главной отличительной особенностью теории Кантора явилось то обстоятельство, что бесконечные множества

57

рассматривались в ней в завершенном виде как совокуп­ ность бесконечного числа в с е х содержащихся в них эле­ ментов.

«Эта бесконечность элементов,— писал советский ака­ демик Н, Лузин,— «схваченная» вместе в одно целое данным характеристическим свойством, является тем самым уже данной вся целиком, уже сформированной и неизменной и, следовательно, как бы уже неподвижной и замкнутой в себе».

Георгу Кантору удалось достичь блестящих результа­ тов и решить ряд очень важных задач, имевших перво­ степенное значение для развития математической науки.

Но, пожалуй, одной из самых замечательных особен­ ностей новой теории множеств явилась ее небывалая общ­ ность. Операции с множествами и подмножествами не накладывают абсолютно никаких ограничений на харак­ тер объектов, составляющих эти множества. Они могут быть одушевленными пли неодушевленными, маленькими или большими, реальными пли воображаемыми. Это об­ стоятельство привело к тому, что понятия теории мно­ жеств стали в один ряд с наиболее общими понятиями логики.

А в одном пункте теория множеств даже ушлавперед: ведь ее понятия относятся к бесконечным классам объек­ тов, в то время как даже самые общие понятия формаль­ ной логики относятся к конечным классам. При этом ока­ зывались нарушенными обычные нормы мышления. Поте­ ряло прежний универсальный смысл утверждение «целое больше своей части». Для трансфинитных чисел операция сложения оказалась зависимой от порядка слагаемых.

После работ Кантора операции с бесконечными мно­ жествами стали проводиться как если бы все их элементы находились в нашем распоряжении. Бесконечное в самом деле приобрело актуальный характер.

Смелые идеи Кантора, вступившие в противоречие с многовековыми традициями, господствовавшими в мате­ матике, идеи, которые приводили к неожиданным и пара­ доксальным результатам, встретили серьезную оппозицию в лице многих ученых того времени, хотя ни один зна­ чительный математик не выступил в печати с отрица­ нием теории множеств или ее отдельных положений.

Предубеждение к новой теории в какой-то мере объяс­ нялось еще тем, что Кантор, будучи глубоко верующим

58